# ബഹുഭുജ കോണുകൾ: ആന്തരികവും ബാഹ്യവും

> വശങ്ങളുടെ എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കോൺ ഉപയോഗിച്ച് സമബഹുഭുജത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ തുക, ഓരോ ആന്തരിക-ബാഹ്യ കോണും, വികർണങ്ങളുടെ എണ്ണവും കണ്ടെത്തുക.

സംവേദനാത്മക പതിപ്പ്: https://www.calcopenly.com/ml/geometry/polygon-angles-calculator
വിഷയം: ജ്യാമിതി കാൽക്കുലേറ്ററുകൾ

From one vertex, a polygon with n sides splits into n − 2 triangles, so its interior angles add up to (n − 2) × 180°. In a regular polygon all the angles are equal: each interior angle is (n − 2) × 180°/n and each exterior angle 360°/n, because the exterior angles of a convex polygon make one full turn. The number of diagonals is n(n − 3)/2.

The default pentagon has interior angles adding up to 540°, or 108° each when regular, with 72° exterior angles and 5 diagonals. Working backwards is common in tiling and woodwork: an interior angle of 140° means 360/(180 − 140) = 9 sides, and each joint of a regular n-sided frame is mitred at 180°/n, 36° for a pentagon.

An angle that fits no whole number of sides, such as 100°, is rejected with the nearest valid polygon. A rounded entry is accepted when it matches an exact angle: 128.57° is read as the heptagon's 900/7°.

## ഇൻപുട്ടുകൾ

- **അറിയാവുന്ന അളവ്** (തിരഞ്ഞെടുപ്പുകൾ: Number of sides, Interior angle, Exterior angle)
- **Number of sides**
- **Each interior angle**
- **Each exterior angle**

## ഫലങ്ങൾ

- Sum of interior angles (°) — പ്രധാന ഫലം
- Each interior angle (regular polygon) (°)
- Each exterior angle (regular polygon) (°)
- Sum of exterior angles (°)
- Central angle (regular polygon) (°)
- Number of diagonals
- Triangles from one vertex
- Sum of interior angles in radians (rad)
- Number of sides
- Name

## സൂത്രവാക്യം

$$
S = (n - 2) \times 180^\circ,\quad \text{interior} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n},\quad \text{exterior} = \frac{360^\circ}{n},\quad \text{diagonals} = \frac{n(n - 3)}{2}
$$

## പരിഹരിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ

### Triangle (edge case: no diagonals)

- അറിയാവുന്ന അളവ്: Number of sides
- Number of sides: 3
- **Sum of interior angles: 180 °**
- **Each interior angle (regular polygon): 60 °**
- **Each exterior angle (regular polygon): 120 °**
- **Number of diagonals: 0**
- **Triangles from one vertex: 1**
- **Name: Triangle**
- പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: Angle sum of a triangle (Euclid I.32); a triangle has no diagonals

### Pentagon

- അറിയാവുന്ന അളവ്: Number of sides
- Number of sides: 5
- **Sum of interior angles: 540 °**
- **Each interior angle (regular polygon): 108 °**
- **Each exterior angle (regular polygon): 72 °**
- **Number of diagonals: 5**
- പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: 3 × 180; 540/5; 360/5; 5·2/2

### Heptagon (repeating decimal)

- അറിയാവുന്ന അളവ്: Number of sides
- Number of sides: 7
- **Sum of interior angles: 900 °**
- **Each interior angle (regular polygon): 128.57142857 °**
- **Each exterior angle (regular polygon): 51.42857143 °**
- **Number of diagonals: 14**
- പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: Python 3.8 fractions: 900/7, 360/7; 7·4/2

### Dodecagon

- അറിയാവുന്ന അളവ്: Number of sides
- Number of sides: 12
- **Sum of interior angles: 1,800 °**
- **Each interior angle (regular polygon): 150 °**
- **Number of diagonals: 54**
- **Name: Dodecagon**
- **Sum of interior angles in radians: 31.41592654 rad**
- പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: 10 × 180; 1800/12; 12·9/2; Python 3.8 math: 10*pi

### Interior angle 140°

- അറിയാവുന്ന അളവ്: Interior angle
- Each interior angle: 140 °
- **Number of sides: 9**
- **Name: Nonagon**
- **Number of diagonals: 27**
- **Sum of interior angles: 1,260 °**
- പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: 360/(180 − 140) = 9; 9·6/2; 7 × 180

### Exterior angle 24°

- അറിയാവുന്ന അളവ്: Exterior angle
- Each exterior angle: 24 °
- **Number of sides: 15**
- **Sum of interior angles: 2,340 °**
- **Each interior angle (regular polygon): 156 °**
- പരിശോധനയുടെ ഉറവിടം: 360/24 = 15; 13 × 180; 180 − 24

## ചോദ്യങ്ങൾ

### What is the sum of the interior angles of a polygon?

(n − 2) × 180°, where n is the number of sides. A triangle has 180°, a quadrilateral 360°, a pentagon 540°, a hexagon 720° and an octagon 1,080°. The rule holds for any simple polygon, regular or not, because diagonals from one vertex split it into n − 2 triangles of 180° each.

### How do you find each interior angle of a regular polygon?

Divide the angle sum by the number of sides: (n − 2) × 180°/n, which is the same as 180° − 360°/n. A regular hexagon has 120° angles, an octagon 135° and a dodecagon 150°. The angle approaches 180° as n grows; a 1,000-sided polygon has angles of 179.64°.

### How do you find the number of sides from an interior angle?

Subtract the angle from 180° to get the exterior angle, then divide 360° by it: n = 360°/(180° − interior angle). An interior angle of 140° gives 360/40 = 9 sides, a nonagon. If the result is not a whole number, no regular polygon has that angle: 100° gives 4.5.

### What do the exterior angles of a polygon add up to?

360° for any convex polygon, whatever the number of sides. Walking once around the boundary, you turn through each exterior angle and finish facing your starting direction, which is one full turn. In a regular polygon each exterior angle is 360°/n: 72° for a pentagon, 60° for a hexagon and 45° for an octagon.

### How many diagonals does a polygon have?

n(n − 3)/2. Each of the n vertices joins n − 3 others by a diagonal (not itself and not its two neighbours), and every diagonal is counted from both ends, hence the division by 2. A pentagon has 5 diagonals, a hexagon 9, an octagon 20 and a dodecagon 54; a triangle has none.

### “ബഹുഭുജ കോണുകൾ: ആന്തരികവും ബാഹ്യവും” എത്രത്തോളം കൃത്യമാണ്?

കൃത്യത നിങ്ങളുടെ ഇൻപുട്ടുകളെയും രീതിയുടെ അനുമാനങ്ങളെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ദശാംശ ഗണിതം 50 സാർഥക അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ അനുമാനക്കണക്കുകൾ, സംഖ്യാത്മക രീതികൾ, ഉറവിട ഡാറ്റ എന്നിവയ്ക്ക് കൃത്യത കുറവാകാം; പ്രദർശിപ്പിക്കുന്ന മൂല്യം റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നത് ഈ പരിമിതികൾ നീക്കില്ല. സ്വതന്ത്ര ഉറവിടങ്ങളിലെ പരിഹാരങ്ങളുമായി പരിശോധിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ: 8. ഉദാഹരണത്തിന്, “Triangle (edge case: no diagonals)” എന്നത് Angle sum of a triangle (Euclid I.32); a triangle has no diagonals ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നു.

### ഈ രീതിയുടെ ഉറവിടം എന്താണ്?

Weisstein, E. W. “Polygon”, “Regular Polygon”, “Polygon Diagonal” — MathWorld; Euclid, Elements, Book I, Proposition 32 (angle sum of a triangle, extended to polygons by triangulation).

## സ്രോതസ്സുകൾ

- [Weisstein, E. W. “Polygon”, “Regular Polygon”, “Polygon Diagonal” — MathWorld](https://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html)
- [Euclid, Elements, Book I, Proposition 32 (angle sum of a triangle, extended to polygons by triangulation)](https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI32.html)