ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

Q: “ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್” ಎಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿದೆ?

ನಿಖರತೆ ನಿಮ್ಮ ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಗಣನೆ 50 ಸಾರ್ಥಕ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂದಾಜುಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ದತ್ತಾಂಶ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾಗಿರಬಹುದು; ಪ್ರದರ್ಶಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರೌಂಡ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಈ ಮಿತಿಗಳು ನಿವಾರಣೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಮೂಲಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: 7. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, “(3 + 4i)(1 − 2i)” ಅನ್ನು 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i (hand calculation; Python (3+4j)*(1-2j)) ಜೊತೆಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

Add, subtract, multiply and divide complex numbers, raise them to powers, find nth roots, and convert a + bi to polar form, with an Argand diagram.

ನವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 28, 2026ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: 7

ಫಲಿತಾಂಶ

11 − 2i

Real part: 11
Imaginary part: −2
Modulus |z|: 11.1803398875
Argument (angle): −10.3048464688
Polar form: 11.18034 ∠ −10.304846°

z₁ × z₂ = 11 − 2i, which is 11.18034 ∠ −10.304846° in polar form.

Argand diagram (dashed: unit circle)

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನ S

Multiply out, using i² = −1
$(ac - bd) + (ad + bc)\,i = (3\cdot1 - 4\cdot(-2)) + (3\cdot(-2) + 4\cdot1)\,i = 11 - 2i$
Polar form of the result
$11.18033989\,\angle\,-10.30484647^\circ$

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಗ್ಗೆ

A complex number z = a + bi has a real part a and an imaginary part b, where i² = −1. Addition, subtraction and multiplication work in rectangular form; division multiplies top and bottom by the conjugate of the divisor. Powers and roots use polar form, z = r(cos θ + i sin θ): De Moivre's formula raises the modulus r to the power n and multiplies the angle θ by n.

Electrical engineers use complex numbers for AC impedance and phasors, and algebra students meet them as roots of polynomials. The default multiplies (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i, whose modulus is √125 ≈ 11.1803.

Inputs can be rectangular (3 + 4i, with j accepted for i) or polar (2∠90). Angles follow the degree, radian or gradian setting, and the argument is given between −180° and 180°. The Argand diagram draws each number as an arrow from the origin.

ಪರಿಹರಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

(3 + 4i)(1 − 2i)

Operation: Multiply z₁ × z₂
z₁: 3 + 4i
z₂: 1 - 2i

ಫಲಿತಾಂಶ: 11 − 2i
Real part: 11
Imaginary part: -2

ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲ: 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i (hand calculation; Python (3+4j)*(1-2j))

(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)

Operation: Divide z₁ ÷ z₂
z₁: 3 + 4i
z₂: 1 - 2i

ಫಲಿತಾಂಶ: −1 + 2i
Real part: -1
Imaginary part: 2

ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲ: Python (3+4j)/(1-2j) = (-1+2j)

Polar form of 3 + 4i

Operation: Convert to polar form
z₁: 3 + 4i

Modulus |z|: 5
Argument (angle): 53.1301023542

ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲ: Python decimal: atan2(4, 3) in degrees via Machin-series arctangent (hp.py)

(1 + i)⁸

Operation: Power z₁ⁿ
z₁: 1 + i
n: 8

ಫಲಿತಾಂಶ: 16
Real part: 16
Imaginary part: 0

ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಮೂಲ: Python (1+1j)**8 = (16+0j); (√2)⁸ = 16 at angle 8 × 45° = 360°

ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

How do you multiply complex numbers?

Expand the brackets and replace i² with −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. For (3 + 4i)(1 − 2i) that is (3 + 8) + (−6 + 4)i = 11 − 2i. In polar form the rule is shorter: multiply the moduli and add the angles, so 5∠53.13° × 2.236∠−63.43° = 11.18∠−10.30°.

How do you divide complex numbers?

Multiply the top and bottom by the conjugate of the divisor, which makes the denominator a real number. (3 + 4i)/(1 − 2i) = (3 + 4i)(1 + 2i)/(1² + 2²) = (3 + 6i + 4i + 8i²)/5 = (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i. Division by 0 + 0i is undefined.

How do you convert a complex number to polar form?

The modulus is r = √(a² + b²) and the argument is θ = atan2(b, a), which picks the correct quadrant. For 3 + 4i, r = √(9 + 16) = 5 and θ ≈ 53.130°, so 3 + 4i = 5∠53.130°. Plain arctan(b/a) gives the wrong angle when the real part is negative: −3 − 4i has an argument of about −126.870°, not 53.130°.

What is De Moivre's theorem?

For z = r(cos θ + i sin θ) and a whole number n, zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). So (1 + i)⁸, with r = √2 and θ = 45°, equals (√2)⁸ = 16 at an angle of 8 × 45° = 360°, which is the real number 16. The same idea gives n evenly spaced nth roots: the cube roots of 8 are 2 and −1 ± 1.732051i, 120° apart.

What is the square root of −1?

The imaginary unit i, defined by i² = −1; −i is the other square root. Every negative number has two imaginary square roots, so √−4 = ±2i, and the principal root, the one with argument 90°, is 2i. Powers of i repeat every four steps: i, −1, −i, 1, then i again.

“ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್” ಎಷ್ಟು ನಿಖರವಾಗಿದೆ?

ನಿಖರತೆ ನಿಮ್ಮ ಇನ್‌ಪುಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ದಶಮಾಂಶ ಗಣನೆ 50 ಸಾರ್ಥಕ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂದಾಜುಗಳು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲ ದತ್ತಾಂಶ ಕಡಿಮೆ ನಿಖರವಾಗಿರಬಹುದು; ಪ್ರದರ್ಶಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರೌಂಡ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಈ ಮಿತಿಗಳು ನಿವಾರಣೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಮೂಲಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: 7. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, “(3 + 4i)(1 − 2i)” ಅನ್ನು 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i (hand calculation; Python (3+4j)*(1-2j)) ಜೊತೆಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನದ ಮೂಲ ಯಾವುದು?

Wolfram MathWorld — Complex Number; Wolfram MathWorld — de Moivre's Identity.

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಗ್ಗೆ

\begin{gathered} z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) \\[4pt] r = \sqrt{a^2+b^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b, a) \\[10pt] z^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta) \end{gathered}

ಮೂಲಗಳು

ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಆಧಾರಗಳಿಂದ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆದ 7 ಬಿಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಇವು ಪರೀಕ್ಷಾ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತವೆ; ನೀವು ಇಲ್ಲಿಯೂ ನಡೆಸಬಹುದು.