CalcOpenly
اردو

مختلط اعداد کا کیلکولیٹر

Add, subtract, multiply and divide complex numbers, raise them to powers, find nth roots, and convert a + bi to polar form, with an Argand diagram.

تازہ کاری جانچی گئی مثالیں: 7

Rectangular a + bi (j also works) or polar r∠θ; θ uses the angle unit from settings unless you add ° or rad
آزمائیں
نتیجہ
11 − 2i
نتیجہ: 11 − 2i
Real part
11
Imaginary part
−2
Modulus |z|
11.1803398875
Argument (angle)
−10.3048464688
Polar form
11.18034 ∠ −10.304846°

z₁ × z₂ = 11 − 2i, which is 11.18034 ∠ −10.304846° in polar form.

Argand diagram (dashed: unit circle)

ReImz₁ = 3 + 4iz₂ = 1 − 2iresult = 11 − 2i
حساب کا طریقہ S

  1. Multiply out, using i² = −1

    (ac−bd)+(ad+bc) i=(3⋅1−4⋅(−2))+(3⋅(−2)+4⋅1) i=11−2i(ac - bd) + (ad + bc)\,i = (3\cdot1 - 4\cdot(-2)) + (3\cdot(-2) + 4\cdot1)\,i = 11 - 2i

  2. Polar form of the result

    11.18033989 ∠ −10.30484647∘11.18033989\,\angle\,-10.30484647^\circ

مختلط اعداد کا کیلکولیٹر کے بارے میں

A complex number z = a + bi has a real part a and an imaginary part b, where i² = −1. Addition, subtraction and multiplication work in rectangular form; division multiplies top and bottom by the conjugate of the divisor. Powers and roots use polar form, z = r(cos θ + i sin θ): De Moivre's formula raises the modulus r to the power n and multiplies the angle θ by n.

Electrical engineers use complex numbers for AC impedance and phasors, and algebra students meet them as roots of polynomials. The default multiplies (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i, whose modulus is √125 ≈ 11.1803.

Inputs can be rectangular (3 + 4i, with j accepted for i) or polar (2∠90). Angles follow the degree, radian or gradian setting, and the argument is given between −180° and 180°. The Argand diagram draws each number as an arrow from the origin.

حل شدہ مثالیں

(3 + 4i)(1 − 2i)

Operation
Multiply z₁ × z₂
z₁
3 + 4i
z₂
1 - 2i
نتیجہ
11 − 2i
Real part
11
Imaginary part
-2

جانچ کا ماخذ: ⁨3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i (hand calculation; Python (3+4j)*(1-2j))⁩

(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)

Operation
Divide z₁ ÷ z₂
z₁
3 + 4i
z₂
1 - 2i
نتیجہ
−1 + 2i
Real part
-1
Imaginary part
2

جانچ کا ماخذ: ⁨Python (3+4j)/(1-2j) = (-1+2j)⁩

Polar form of 3 + 4i

Operation
Convert to polar form
z₁
3 + 4i
Modulus |z|
5
Argument (angle)
53.1301023542

جانچ کا ماخذ: ⁨Python decimal: atan2(4, 3) in degrees via Machin-series arctangent (hp.py)⁩

(1 + i)⁸

Operation
Power z₁ⁿ
z₁
1 + i
n
8
نتیجہ
16
Real part
16
Imaginary part
0

جانچ کا ماخذ: ⁨Python (1+1j)**8 = (16+0j); (√2)⁸ = 16 at angle 8 × 45° = 360°⁩

سوالات

How do you multiply complex numbers?

Expand the brackets and replace i² with −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. For (3 + 4i)(1 − 2i) that is (3 + 8) + (−6 + 4)i = 11 − 2i. In polar form the rule is shorter: multiply the moduli and add the angles, so 5∠53.13° × 2.236∠−63.43° = 11.18∠−10.30°.

How do you divide complex numbers?

Multiply the top and bottom by the conjugate of the divisor, which makes the denominator a real number. (3 + 4i)/(1 − 2i) = (3 + 4i)(1 + 2i)/(1² + 2²) = (3 + 6i + 4i + 8i²)/5 = (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i. Division by 0 + 0i is undefined.

How do you convert a complex number to polar form?

The modulus is r = √(a² + b²) and the argument is θ = atan2(b, a), which picks the correct quadrant. For 3 + 4i, r = √(9 + 16) = 5 and θ ≈ 53.130°, so 3 + 4i = 5∠53.130°. Plain arctan(b/a) gives the wrong angle when the real part is negative: −3 − 4i has an argument of about −126.870°, not 53.130°.

What is De Moivre's theorem?

For z = r(cos θ + i sin θ) and a whole number n, zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). So (1 + i)⁸, with r = √2 and θ = 45°, equals (√2)⁸ = 16 at an angle of 8 × 45° = 360°, which is the real number 16. The same idea gives n evenly spaced nth roots: the cube roots of 8 are 2 and −1 ± 1.732051i, 120° apart.

What is the square root of −1?

The imaginary unit i, defined by i² = −1; −i is the other square root. Every negative number has two imaginary square roots, so √−4 = ±2i, and the principal root, the one with argument 90°, is 2i. Powers of i repeat every four steps: i, −1, −i, 1, then i again.

“⁨مختلط اعداد کا کیلکولیٹر⁩” کتنا درست ہے؟

درستی آپ کی درج کردہ قدروں اور طریقے کے مفروضوں پر منحصر ہے۔ اعشاری حساب 50 بامعنی ہندسے استعمال کرتا ہے، مگر تخمینے، عددی طریقے اور ماخذ کا ڈیٹا کم درست ہو سکتے ہیں؛ دکھائی گئی قدروں کو راؤنڈ کرنے سے یہ حدود ختم نہیں ہوتیں۔ آزاد ذرائع کی حل شدہ مثالوں سے جانچ: 7۔ مثلاً، “⁨(3 + 4i)(1 − 2i)⁩” کو ⁨3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i (hand calculation; Python (3+4j)*(1-2j))⁩ سے جانچا جاتا ہے۔

اس طریقے کا ماخذ کیا ہے؟

Wolfram MathWorld — Complex Number; Wolfram MathWorld — de Moivre's Identity.

اس کیلکولیٹر کے بارے میں

z=a+bi=r(cos⁡θ+isin⁡θ)r=a2+b2,θ=atan2⁡(b,a)zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{gathered} z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta) \\[4pt] r = \sqrt{a^2+b^2},\quad \theta = \operatorname{atan2}(b, a) \\[10pt] z^n = r^n(\cos n\theta + i \sin n\theta) \end{gathered}

ماخذ

  1. Wolfram MathWorld — Complex Number
  2. Wolfram MathWorld — de Moivre's Identity

حوالوں سے جانچ شدہ

اس کیلکولیٹر میں آزاد ذرائع سے حاصل کردہ جوابات والی 7 حل شدہ مثالیں شامل ہیں۔ یہ ٹیسٹ مجموعے میں چلتی ہیں اور آپ انہیں یہاں بھی چلا سکتے ہیں۔

متعلقہ کیلکولیٹر