(3 + 4i)(1 − 2i)
- संक्रिया
- गुणा करें z₁ × z₂
- z₁
- 3 + 4i
- z₂
- 1 - 2i
- परिणाम
- 11 − 2i
- वास्तविक भाग
- 11
- काल्पनिक भाग
- -2
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i
सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर
सम्मिश्र संख्याएँ जोड़ें, घटाएँ, गुणा और भाग करें, उनकी घात व nवें मूल निकालें और a + bi को आर्गंड आरेख के साथ ध्रुवीय रूप में बदलें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7
परिणाम
11 − 2i
परिणाम: 11 − 2i
- वास्तविक भाग
- 11
- काल्पनिक भाग
- −2
- मापांक |z|
- 11.1803398875
- कोणांक (कोण)
- −10.3048464688
- ध्रुवीय रूप
- 11.18034 ∠ −10.304846°
z₁ × z₂ = 11 − 2i, जिसका ध्रुवीय रूप 11.18034 ∠ −10.304846° है।
आर्गंड आरेख: zᵣ परिणाम है (टूटी रेखा: इकाई वृत्त)
गणना कैसे होती है S
i² = −1 का उपयोग करके गुणा खोलें
परिणाम का ध्रुवीय रूप
सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर के बारे में
सम्मिश्र संख्या z = a + bi में a वास्तविक भाग और b काल्पनिक भाग है, जहाँ i² = −1। जोड़, घटाव और गुणा आयतीय रूप में होते हैं; भाग के लिए अंश और हर को भाजक के संयुग्मी से गुणा करते हैं। घात और मूल ध्रुवीय रूप z = r(cos θ + i sin θ) का उपयोग करते हैं: डी मूव्र के सूत्र में मापांक r की घात n ली जाती है और कोण θ को n से गुणा करते हैं।
विद्युत अभियंता प्रत्यावर्ती धारा की प्रतिबाधा और फेज़र के लिए सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हैं; बीजगणित में ये बहुपदों के मूल के रूप में आती हैं। पहले से दिया गुणा (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i है, जिसका मापांक √125 ≈ 11.1803 है।
इनपुट आयतीय (3 + 4i; i की जगह j भी मान्य) या ध्रुवीय (2∠90) हो सकता है। कोण डिग्री, रेडियन या ग्रेडियन की सेटिंग का पालन करते हैं और कोणांक −180° से 180° के बीच दिया जाता है। आर्गंड आरेख प्रत्येक संख्या को मूल बिंदु से निकले तीर के रूप में दिखाता है।
a+bi में वास्तविक और काल्पनिक भाग अलग रखें
i²=−1 है। जोड़ में समान प्रकार के भाग जोड़ें; गुणा में प्रत्येक पद का गुणा करके i² को −1 रखें। (3+4i)(1−2i)=11−2i। भाग देने के लिए हर के संयुग्मी 1+2i से अंश और हर दोनों गुणा करें: (3+4i)/(1−2i)=−1+2i। उत्तर को हर से गुणा करने पर 3+4i वापस मिलता है।
3+4i का मापांक √(3²+4²)=5 है। कोण निकालने में वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों के चिह्न देखें; केवल arctan(4/3) हर चतुर्थांश के लिए पर्याप्त नहीं है। शून्य का मापांक 0 है, लेकिन उसका कोण अपरिभाषित है। प्रदर्शन में उसके लिए रखा स्थानापन्न कोई वास्तविक दिशा नहीं बताता।
संक्रियाओं के उदाहरण
| संक्रिया | z₁ | z₂ या n | परिणाम |
|---|---|---|---|
| जोड़ | 3 + 4i | 1 - 2i | 4 + 2i |
| घटाव | 3 + 4i | 1 - 2i | 2 + 6i |
| गुणा | 3 + 4i | 1 - 2i | 11 − 2i |
| भाग | 3 + 4i | 1 - 2i | −1 + 2i |
| घात | 1 + i | 8 | 16 |
| nवें मूल | -4 | 2 | 2i, −2i |
ध्रुवीय रूप और सभी मूल
3+4i या 3+4j आयताकार रूप हैं। 2∠90° में मापांक 2 और कोण 90 डिग्री है। °, deg या rad स्पष्ट लिखें; बिना इकाई के कोण पर चुनी हुई कोण सेटिंग लागू होती है।
भिन्न घात के लिए उपकरण एक मुख्य मान देता है, जबकि nवें मूल वाली संक्रिया सभी n मूल देती है। (−4)^0.5 का मुख्य मान 2i है; −4 के दोनों वर्गमूल 2i और −2i हैं। OpenStax का ध्रुवीय रूप पाठ घात और मूल के संबंध को समझाता है।
0+0i से भाग देना अपरिभाषित है। कोण में 360° जोड़ने से वही दिशा मिलती है, फिर भी मुख्य कोण की परिपाटी के कारण प्रदर्शित संख्या दूसरी हो सकती है। वास्तविक और सम्मिश्र मूल साथ खोजने के लिए बहुपद मूल खोजक देखें।
हल किए गए उदाहरण
(3 + 4i) ÷ (1 − 2i)
- संक्रिया
- भाग दें z₁ ÷ z₂
- z₁
- 3 + 4i
- z₂
- 1 - 2i
- परिणाम
- −1 + 2i
- वास्तविक भाग
- -1
- काल्पनिक भाग
- 2
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
3 + 4i का ध्रुवीय रूप
- संक्रिया
- ध्रुवीय रूप में बदलें
- z₁
- 3 + 4i
- मापांक |z|
- 5
- कोणांक (कोण)
- 53.1301023542
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
(1 + i)⁸
- संक्रिया
- घात z₁ⁿ
- z₁
- 1 + i
- n
- 8
- परिणाम
- 16
- वास्तविक भाग
- 16
- काल्पनिक भाग
- 0
जाँच का स्रोत: (√2)⁸ = 16 और कोण 8 × 45° = 360°
सवाल
सम्मिश्र संख्याओं को कैसे गुणा करें?
कोष्ठक खोलकर i² की जगह −1 रखें: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i। (3 + 4i)(1 − 2i) के लिए (3 + 8) + (−6 + 4)i = 11 − 2i मिलता है। ध्रुवीय रूप में मापांक गुणा करें और कोण जोड़ें: 5∠53.13° × 2.236∠−63.43° = 11.18∠−10.30°।
सम्मिश्र संख्याओं का भाग कैसे करें?
अंश और हर को भाजक के संयुग्मी से गुणा करें, जिससे हर वास्तविक बनता है। (3 + 4i)/(1 − 2i) = (3 + 4i)(1 + 2i)/(1² + 2²) = (3 + 6i + 4i + 8i²)/5 = (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i। 0 + 0i से भाग अपरिभाषित है।
सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में कैसे बदलें?
मापांक r = √(a² + b²) और कोणांक θ = atan2(b, a) है; atan2 सही चतुर्थांश चुनता है। 3 + 4i के लिए r = √(9 + 16) = 5 और θ ≈ 53.130°, इसलिए 3 + 4i = 5∠53.130°। वास्तविक भाग ऋणात्मक होने पर केवल arctan(b/a) गलत कोण देता है: −3 − 4i का कोणांक लगभग −126.870° है, 53.130° नहीं।
डी मूव्र की प्रमेय क्या है?
z = r(cos θ + i sin θ) और पूर्णांक n के लिए zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)। इसलिए (1 + i)⁸ में r = √2 और θ = 45° से (√2)⁸ = 16 तथा कोण 8 × 45° = 360° मिलता है, यानी वास्तविक संख्या 16। इसी विचार से समान कोणीय अंतर पर n अदद nवें मूल मिलते हैं: 8 के घनमूल 2 और −1 ± 1.732051i हैं, जो 120° के अंतर पर हैं।
−1 का वर्गमूल क्या है?
काल्पनिक इकाई i को i² = −1 से परिभाषित करते हैं; −i दूसरा वर्गमूल है। हर ऋणात्मक वास्तविक संख्या के दो काल्पनिक वर्गमूल होते हैं। −4 के वर्गमूल ±2i हैं और मुख्य वर्गमूल 2i का कोणांक 90° है। i की घातें चार चरणों में दोहराती हैं: i, −1, −i, 1, फिर i।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।