पाइथागोरस प्रमेय और त्रिकोणमितीय अनुपातों से किसी भी दो मानों के आधार पर समकोण त्रिभुज का कर्ण, अज्ञात भुजा, दोनों न्यून कोण, क्षेत्रफल और परिमाप निकालें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 6
3 और 4 cm की भुजाएँ समकोण पर मिलती हैं। कर्ण 5 cm, न्यून कोण 36.8699° और 53.1301°, तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 cm² है।
समकोण त्रिभुज का परिवृत्त केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु है।
समकोण त्रिभुज के दो उपयुक्त माप, जिनमें कम से कम एक भुजा हो, उसे निर्धारित करते हैं। दोनों लम्बवत भुजाएँ ज्ञात हों तो पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण c = √(a² + b²) मिलता है। एक भुजा और एक न्यून कोण हो तो sin α = a/c, cos α = b/c और tan α = a/b से बाकी मान मिलते हैं। दोनों न्यून कोणों का योग हमेशा 90° है।
पहले से दी 3 cm और 4 cm भुजाएँ 3-4-5 त्रिभुज बनाती हैं: कर्ण 5 cm, क्षेत्रफल 6 cm², परिमाप 12 cm और कोण 36.8699° तथा 53.1301°। निर्माण में कोना समकोण करने के लिए यह अनुपात उपयोग होता है: कोने से दोनों दीवारों पर 3 m और 4 m दूर निशानों के बीच दूरी ठीक 5 m होनी चाहिए। परिणाम में कर्ण पर ऊँचाई (ab/c), अंतःवृत्त त्रिज्या ((a + b − c)/2) और परिवृत्त त्रिज्या (c/2) भी हैं।
कोण α भुजा a के सामने और β भुजा b के सामने है। कोण डिग्री, रेडियन, ग्रेडियन या चक्करों में लिख सकते हैं; वे 0° से अधिक और 90° से कम होने चाहिए।
आपके पास जो दो माप हैं, उनके अनुसार ज्ञात माप का विकल्प चुनें। दोनों लंबवत भुजाएँ a और b मालूम हों तो c = √(a²+b²) है। 3 cm और 4 cm पर कर्ण 5 cm, क्षेत्रफल 6 cm² और परिमाप 12 cm है। मुख्य क्षेत्रफल परिणाम और अलग कर्ण परिणाम को उनके नाम से पहचानें।
c हमेशा समकोण के सामने और सबसे लंबी भुजा है। α के सामने a और β के सामने b है। कोण तथा भुजा वाला तरीका चुनते समय यही नाम देखें; सामने और सटी हुई भुजा हर कोण के लिए एक जैसी नहीं होती।
नीचे सभी लंबाइयाँ cm में और क्षेत्रफल cm² में हैं। दोनों भुजाएँ भरकर कर्ण निकालें या कर्ण और एक भुजा से दूसरी वापस निकालकर जाँचें।
| लंबवत भुजा a, cm | लंबवत भुजा b, cm | कर्ण c, cm | क्षेत्रफल, cm² | परिमाप, cm |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 | 12 |
| 5 | 12 | 13 | 30 | 30 |
| 6 | 8 | 10 | 24 | 24 |
| 8 | 15 | 17 | 60 | 40 |
| 7 | 24 | 25 | 84 | 56 |
a और c दिए हों तो b = √(c²−a²) है। a = 5 तथा c = 13 पर √(169−25) = 12 मिलेगा। यहाँ वर्गों का अंतर लेना है; उनका योग दूसरा कर्ण बनाएगा। कर्ण दी गई भुजा से बड़ा होना चाहिए। बराबर या छोटा होने पर धनात्मक वास्तविक त्रिभुज नहीं बनेगा और त्रुटि आएगी।
पाइथागोरस का सूत्र केवल समकोण त्रिभुज पर लागू है। किसी सामान्य त्रिभुज की दो भुजाओं से तीसरी तय नहीं होती। ऐसे प्रश्न के लिए त्रिभुज हलकर्ता में संगत भुजाएँ और कोण दें।
α के लिए sin α = a/c, cos α = b/c और tan α = a/b है। c = 10 cm, α = 30° पर a = 5 cm, b = 5√3 cm ≈ 8.660254 cm और β = 60° है। a = 7 cm और α = 45° पर दोनों लंबवत भुजाएँ बराबर तथा कर्ण 7√2 cm होगा।
कोण की इकाई डिग्री, रेडियन, ग्रेडियन या चक्कर हो सकती है। चुना गया न्यूनकोण 0° से बड़ा और 90° से छोटा होना चाहिए। समकोण पहले से निश्चित है; α में 90° देना मान्य त्रिभुज नहीं बनाता। pi/6 रेडियन वही 30° है।
कर्ण पर लंबवत ऊँचाई ab/c है। 3–4–5 त्रिभुज में यह 2.4 cm है, जिससे 5 × 2.4 / 2 = 6 cm² की वही जाँच मिलती है। अंतःत्रिज्या (a+b−c)/2 = 1 cm और परित्रिज्या c/2 = 2.5 cm हैं। पहली अंदर स्पर्श करने वाले वृत्त की है; दूसरी तीनों शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त की।
एक ही धनात्मक गुणक से सभी भुजाएँ बढ़ाने पर कोण समान रहते हैं। 6–8–10 त्रिभुज की भुजाएँ 3–4–5 की दुगुनी हैं, लेकिन क्षेत्रफल चार गुना है। चित्र नाम पहचानने में मदद करता है; उसका स्क्रीन आकार वास्तविक माप का पैमाना नहीं है।
6 in और 8 in की भुजाओं पर कर्ण 10 in = 25.4 cm, क्षेत्रफल 24 in² = 154.8384 cm² है। लंबाई और क्षेत्रफल का परिवर्तन गुणक अलग घात में लगता है। परिणाम लेते समय कर्ण सबसे लंबा और दोनों न्यूनकोणों का योग 90° जाँचें। मापे गए डेटा के अनुसार अंतिम मान गोल करें। निर्देशांकों से दूरी के लिए निर्देशांक ज्यामिति, केवल मूल के लिए वर्गमूल कैलकुलेटर उपयोग करें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: 3-4-5 त्रिक; h = 3·4/5; r = (3 + 4 − 5)/2
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: 5-12-13 त्रिक
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: 30° के सामने की भुजा आधा कर्ण है
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: tan 45° = 1, इसलिए b = a
दोनों लम्बवत भुजाओं के वर्ग जोड़कर वर्गमूल लें: c = √(a² + b²)। 3 और 4 की भुजाएँ √25 = 5 देती हैं; 6 in और 8 in की भुजाएँ 10 in देती हैं। एक भुजा और उसके सामने का कोण ज्ञात हो तो साइन से भाग दें: c = a / sin α। 30° के सामने 5 cm भुजा हो तो कर्ण 10 cm है।
अज्ञात लम्बवत भुजा के लिए वर्गों का अंतर लें: b = √(c² − a²)। कर्ण 13 और भुजा 5 से √(169 − 25) = 12 मिलता है। कर्ण दोनों भुजाओं से लंबा होना चाहिए, वरना समकोण त्रिभुज नहीं बनता। एक भुजा और कोण हो तो SOHCAHTOA उपयोग करें: सम्मुख भुजा = कर्ण × sin α, और संलग्न भुजा = कर्ण × cos α।
30-60-90 त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 1 : √3 : 2 है। इसलिए 30° के सामने की भुजा आधे कर्ण के बराबर है; कर्ण 10 हो तो भुजाएँ 5 और 8.6603 हैं। 45-45-90 त्रिभुज की लम्बवत भुजाएँ समान हैं और कर्ण भुजा का √2 ≈ 1.4142 गुना है। इसलिए 7 की भुजाएँ 9.8995 कर्ण देती हैं।
यह समकोण त्रिभुज के तीन त्रिकोणमितीय अनुपात याद रखने की तरकीब है: sine = सम्मुख/कर्ण, cosine = संलग्न/कर्ण, tangent = सम्मुख/संलग्न। 3-4-5 त्रिभुज में 3 की भुजा के सामने वाले कोण के लिए sin = 0.6, cos = 0.8 और tan = 0.75 है। हर संबंधित प्रतिलोम फलन वही 36.87° कोण देता है।
कोने से एक भुजा पर 3 इकाई और दूसरी पर 4 इकाई का निशान लगाएँ। कोण 90° हो तो निशानों के बीच विकर्ण ठीक 5 होगा। लंबा विकर्ण अधिक खुला कोण दर्शाता है: 3 m और 4 m भुजाओं पर 5.05 m विकर्ण लगभग 91.2° और 4.95 m लगभग 88.8° देता है। 6-8-10 या 9-12-15 जैसे गुणज बड़ी सतहों की अधिक सटीक जाँच में उपयोगी हैं।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 6 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।