त्रिभुज कैलकुलेटर: SSS, SAS, ASA, AAS और SSA

Q: जो त्रिभुज समकोण नहीं है, उसकी अज्ञात भुजा कैसे निकालें?

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण हो तो कोज्या नियम लें: c² = a² + b² − 2ab cos C। a = 5, b = 7 और C = 49° के लिए c = √(74 − 70 cos 49°) ≈ 5.2987। दो कोण और कोई भुजा हो तो ज्या नियम a/sin A = b/sin B लें। C = 90° होने पर कोज्या वाला पद शून्य होता है और कोज्या नियम पाइथागोरस प्रमेय बन जाता है।

Q: ज्या नियम की द्व्यर्थी स्थिति क्या है?

यह SSA स्थिति है: दो भुजाएँ और उनमें से एक के सामने का कोण दो अलग त्रिभुज दे सकते हैं। न्यून कोण A के लिए ऊँचाई h = b sin A निकालें। a < h पर कोई त्रिभुज नहीं, a = h पर एक समकोण त्रिभुज, h < a < b पर दो त्रिभुज और a ≥ b पर एक त्रिभुज मिलता है। a = 6, b = 8 और A = 35° के लिए h = 4.589 है; B या तो 49.89° है या 130.11°।

Q: तीनों भुजाओं से त्रिभुज के कोण कैसे निकालें?

कोज्या नियम को इस रूप में लिखें: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc)। B और C के लिए भी यही क्रम लें। 7, 8 और 9 भुजाओं से cos A = (64 + 81 − 49)/144 ≈ 0.6667, इसलिए A = 48.19°। इसी तरह B = 58.41° और C = 73.40° हैं; तीनों का योग 180° है। सबसे बड़ा कोण हमेशा सबसे लंबी भुजा के सामने होता है।

Q: ऊँचाई के बिना त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल का आधा लें: क्षेत्रफल = ½ab sin C। 7 और 8 भुजाओं तथा C = 73.40° से ½ × 7 × 8 × 0.9583 ≈ 26.83 मिलता है। केवल तीनों भुजाएँ हों तो हीरोन सूत्र यही उत्तर देता है: अर्धपरिमाप 12 है और √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26.83।

Q: भुजाओं से कैसे पहचानें कि त्रिभुज न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण है?

सबसे लंबी भुजा c के वर्ग की तुलना बाकी दोनों भुजाओं के वर्गों के योग से करें। c² 41, इसलिए अधिककोण।

तीन मापों से त्रिभुज की भुजाएँ, कोण, क्षेत्रफल, परिमाप, ऊँचाइयाँ, अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या निकालें। SSA के दोनों संभव हल देखें।

लेखक: Admin AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया 23 अक्टूबर 2026जाँचे गए उदाहरण: 8

क्षेत्रफल

cm²

अधिकतम दशमलव स्थान: 4; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर

भुजा a: 7cm
भुजा b: 8cm
भुजा c: 9cm
कोण A: 48.1897°
कोण B: 58.4119°
कोण C: 73.3985°
परिमाप: 24cm
अंतःवृत्त त्रिज्या: 2.2361cm
परिवृत्त त्रिज्या: 4.6957cm
a पर ऊँचाई: 7.6665cm
b पर ऊँचाई: 6.7082cm
c पर ऊँचाई: 5.9628cm
प्रकार: विषमबाहु, न्यूनकोण
त्रिभुजों की संख्या: 1

त्रिभुज की भुजाएँ 7, 8 और 9 cm तथा कोण 48.1897°, 58.4119° और 73.3985° हैं। यह विषमबाहु, न्यूनकोण त्रिभुज है और इसका क्षेत्रफल 26.8328 cm² है।

पैमाने के अनुसार त्रिभुज

गणना कैसे होती है S

हर कोण के लिए कोज्या नियम
$\begin{gathered} \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = 0.666667 \Rightarrow A = 48.189685^\circ \\[6pt] \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = 0.52381 \Rightarrow B = 58.411864^\circ \\[6pt] \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = 0.285714 \Rightarrow C = 73.39845^\circ \end{gathered}$
क्षेत्रफल
$\Delta = \tfrac{1}{2}ab\sin C = \tfrac{1}{2} \times 7 \times 8 \times \sin 73.39845^\circ = 26.832816\,\text{cm}^{2}$
अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या
$\begin{gathered} r = \frac{\Delta}{s} = \frac{26.832816}{12} = 2.236068\,\text{cm} \\[6pt] R = \frac{a}{2\sin A} = 4.695743\,\text{cm} \end{gathered}$
Δ क्षेत्रफल और s अर्धपरिमाप है।
ऊँचाइयाँ
$\begin{gathered} h_a = \frac{2\,\Delta}{a} = 7.666519\,\text{cm} \\[6pt] h_b = \frac{2\,\Delta}{b} = 6.708204\,\text{cm},\quad h_c = \frac{2\,\Delta}{c} = 5.962848\,\text{cm} \end{gathered}$

त्रिभुज कैलकुलेटर: SSS, SAS, ASA, AAS और SSA के बारे में

तीन संगत माप त्रिभुज निर्धारित कर सकते हैं, यदि कम से कम एक माप भुजा का हो; SSA स्थिति में दो हल हो सकते हैं। कोज्या नियम c² = a² + b² − 2ab cos C से तीन भुजाएँ (SSS), या दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (SAS) हल होते हैं। ज्या नियम a/sin A = b/sin B = c/sin C से दो कोण और एक भुजा (ASA, AAS) हल होते हैं। क्षेत्रफल ½ab sin C है। परिणाम में परिमाप, तीनों ऊँचाइयाँ, अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या भी मिलती हैं।

पहले से दी 7, 8 और 9 cm भुजाओं के कोण 48.19°, 58.41° और 73.40° तथा क्षेत्रफल 26.8328 cm² हैं। सर्वेक्षण और छत की चौखट में इन्हीं दो नियमों से सीधे नापना मुश्किल लंबाई को उपलब्ध मापों से निकाला जाता है।

दो भुजाएँ और उनके बीच न होने वाला कोण (SSA) दो त्रिभुज, एक त्रिभुज या कोई त्रिभुज नहीं दे सकते हैं। a = 6, b = 8 और A = 35° के लिए B = 49.89° तथा B = 130.11° दोनों मान्य हैं। इसलिए दोनों त्रिभुज बनाए जाते हैं और तालिका में उनकी तुलना होती है।

ज्ञात भुजाओं और कोणों से त्रिभुज हल करें

SSS, SAS, ASA, AAS या SSA में अपने मापों का विकल्प चुनें। छोटी a, b, c भुजाएँ हैं और बड़े A, B, C उनके सामने के कोण हैं। SAS में C, भुजाओं a और b के बीच का कोण है। पहले चित्र में ये नाम तय करें, फिर मान भरें।

प्रारंभिक SSS में 7, 8 और 9 cm की भुजाएँ हैं। क्षेत्रफल 26.832816 cm², परिमाप 24 cm और कोण लगभग 48.189685°, 58.411864°, 73.398450° हैं। सबसे बड़ी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण होना चाहिए; c को हर बार कर्ण मानना सही नहीं है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

तीनों भुजाएँ x हों तो हर कोण 60°, ऊँचाई x√3/2, क्षेत्रफल x²√3/4 और परिमाप 3x है। SSS में तीनों भुजाएँ समान भरें। x = 5 cm पर क्षेत्रफल 10.825318 cm² तथा ऊँचाई 4.330127 cm है। लंबाइयाँ cm और क्षेत्रफल cm² में हैं।

भुजा, cm	ऊँचाई, cm	क्षेत्रफल, cm²	परिमाप, cm
1	0.866025	0.433013	3
2	1.732051	1.732051	6
3	2.598076	3.897114	9
4	3.464102	6.928203	12
5	4.330127	10.825318	15
6	5.196152	15.588457	18
8	6.928203	27.712813	24
10	8.660254	43.30127	30
12	10.392305	62.353829	36

समद्विबाहु त्रिभुज में आधार और ऊँचाई

बराबर भुजाएँ L और आधार q हों तो h = √(L²−(q/2)²), क्षेत्रफल qh/2 है। SSS में बराबर भुजाएँ a तथा b में और आधार c में दें। 5, 5, 6 cm पर h = 4 cm, क्षेत्रफल 12 cm², परिमाप 16 cm है। तिरछी 5 cm भुजा ऊँचाई नहीं है। आधार 2L से छोटा होना चाहिए।

बराबर भुजा, cm	आधार, cm	ऊँचाई, cm	क्षेत्रफल, cm²	परिमाप, cm
5	6	4	12	16
5	8	3	12	18
10	12	8	48	32
13	10	12	60	36
13	24	5	60	50
17	16	15	120	50

हर विधि के लिए सही माप चुनें

SSS में तीन भुजाएँ, SAS में दो भुजाएँ और बीच का कोण चाहिए। ASA में A, B और उनके बीच की c; AAS में A, B तथा A के सामने a दिया जाता है। दो कोणों से तीसरा 180°−A−B है, लेकिन आकार की लंबाई तय करने के लिए एक भुजा भी जरूरी है।

तीन भुजाओं पर हीरोन सूत्र में s = (a+b+c)/2 और क्षेत्रफल √(s(s−a)(s−b)(s−c)) है। दो भुजाओं और बीच के कोण पर क्षेत्रफल ab sin C/2 मिलता है। कोसाइन नियम cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) से कोण निकाल सकते हैं। OpenStax का पाठ इन संबंधों की व्युत्पत्ति देता है।

विधि	दिए गए माप	भुजा c, cm	क्षेत्रफल, cm²	हल
SSS	a=7, b=8, c=9	9	26.832816	1
SAS	a=5, b=7, C=49°	5.298667	13.207418	1
ASA	A=40°, B=60°, c=10	10	28.262897	1
AAS	A=30°, B=45°, a=10	19.318517	68.30127	1
SSA	A=35°, a=6, b=8	10.419047	23.904479	2

SSA में दो उत्तर क्यों मिलते हैं

a, b और a के सामने A मिलने पर कभी दो अलग त्रिभुज संभव होते हैं। न्यूनकोण A के लिए h = b sin A लें: a < h पर कोई हल नहीं, a = h पर एक, h < a < b पर दो और a ≥ b पर एक हल है। A समकोण या अधिककोण हो तो a का b से बड़ा होना जरूरी है।

a = 6 cm, b = 8 cm, A = 35° पर दो हल मिलते हैं। मुख्य क्षेत्रफल पहले त्रिभुज का है; दूसरे त्रिभुज के अलग परिणाम और तुलना तालिका देखें। अतिरिक्त जानकारी के बिना किसी एक को सही मानकर दूसरा हटाएँ नहीं।

त्रिभुज	कोण B, °	कोण C, °	भुजा c, cm	क्षेत्रफल, cm²
1	49.886408	95.113592	10.419047	23.904479
2	130.113592	14.886408	2.687386	6.165685

इकाइयाँ, अमान्य माप और अंतिम परिणाम

सभी भुजाएँ धनात्मक हों और SSS में हर भुजा बाकी दो के योग से छोटी हो। दिए गए कोण 0° और 180° के बीच तथा दो ज्ञात कोणों का योग 180° से कम हो। लंबाई की इकाइयाँ बदली जा सकती हैं; क्षेत्रफल में उनका वर्ग लगता है। 3, 4, 5 in को cm में दिखाने पर परिमाप 30.48 cm तथा क्षेत्रफल 38.7096 cm² है।

हर ऊँचाई अपनी नामित भुजा पर लंबवत है। अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या अलग वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। केवल आधार और ऊँचाई हों तो क्षेत्रफल कैलकुलेटर, समकोण निश्चित हो तो समकोण त्रिभुज कैलकुलेटर चुनें। आगे की गणना में मूल मान रखें और अंतिम माप ही उचित दशमलवों तक गोल करें।

हल किए गए उदाहरण

SSS 3-4-5

ज्ञात मान: SSS
भुजा a (A के सामने): 3 cm
भुजा b (B के सामने): 4 cm
भुजा c (C के सामने): 5 cm
परिणाम की इकाई: सेंटीमीटर (cm)

क्षेत्रफल: 6 cm²
कोण C: 90 °
कोण A: 36.869898 °
कोण B: 53.130102 °
अंतःवृत्त त्रिज्या: 1 cm
परिवृत्त त्रिज्या: 2.5 cm
प्रकार: विषमबाहु, समकोण
त्रिभुजों की संख्या: 1

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: समकोण त्रिभुज: क्षेत्रफल ½·3·4, r = (3 + 4 − 5)/2, R = कर्ण/2

समबाहु, भुजा 5

ज्ञात मान: SSS
भुजा a (A के सामने): 5 cm
भुजा b (B के सामने): 5 cm
भुजा c (C के सामने): 5 cm
परिणाम की इकाई: सेंटीमीटर (cm)

क्षेत्रफल: 10.825318 cm²
कोण A: 60 °
कोण B: 60 °
कोण C: 60 °
प्रकार: समबाहु
परिवृत्त त्रिज्या: 2.886751 cm

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

SAS a = 5, b = 7, C = 49°

ज्ञात मान: SAS
भुजा a (A के सामने): 5 cm
भुजा b (B के सामने): 7 cm
कोण C (a और b के बीच): 49 °
परिणाम की इकाई: सेंटीमीटर (cm)

भुजा c: 5.298667 cm
कोण A: 45.411694 °
कोण B: 85.588306 °
क्षेत्रफल: 13.207418 cm²

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

ASA A = 40°, c = 10, B = 60°

ज्ञात मान: ASA
भुजा c (C के सामने): 10 cm
कोण A: 40 °
कोण B: 60 °
परिणाम की इकाई: सेंटीमीटर (cm)

कोण C: 80 °
भुजा a: 6.527036 cm
भुजा b: 8.793852 cm
क्षेत्रफल: 28.262897 cm²

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

सवाल

जो त्रिभुज समकोण नहीं है, उसकी अज्ञात भुजा कैसे निकालें?

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण हो तो कोज्या नियम लें: c² = a² + b² − 2ab cos C। a = 5, b = 7 और C = 49° के लिए c = √(74 − 70 cos 49°) ≈ 5.2987। दो कोण और कोई भुजा हो तो ज्या नियम a/sin A = b/sin B लें। C = 90° होने पर कोज्या वाला पद शून्य होता है और कोज्या नियम पाइथागोरस प्रमेय बन जाता है।

ज्या नियम की द्व्यर्थी स्थिति क्या है?

यह SSA स्थिति है: दो भुजाएँ और उनमें से एक के सामने का कोण दो अलग त्रिभुज दे सकते हैं। न्यून कोण A के लिए ऊँचाई h = b sin A निकालें। a < h पर कोई त्रिभुज नहीं, a = h पर एक समकोण त्रिभुज, h < a < b पर दो त्रिभुज और a ≥ b पर एक त्रिभुज मिलता है। a = 6, b = 8 और A = 35° के लिए h = 4.589 है; B या तो 49.89° है या 130.11°।

तीनों भुजाओं से त्रिभुज के कोण कैसे निकालें?

कोज्या नियम को इस रूप में लिखें: cos A = (b² + c² − a²)/(2bc)। B और C के लिए भी यही क्रम लें। 7, 8 और 9 भुजाओं से cos A = (64 + 81 − 49)/144 ≈ 0.6667, इसलिए A = 48.19°। इसी तरह B = 58.41° और C = 73.40° हैं; तीनों का योग 180° है। सबसे बड़ा कोण हमेशा सबसे लंबी भुजा के सामने होता है।

ऊँचाई के बिना त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल का आधा लें: क्षेत्रफल = ½ab sin C। 7 और 8 भुजाओं तथा C = 73.40° से ½ × 7 × 8 × 0.9583 ≈ 26.83 मिलता है। केवल तीनों भुजाएँ हों तो हीरोन सूत्र यही उत्तर देता है: अर्धपरिमाप 12 है और √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26.83।

भुजाओं से कैसे पहचानें कि त्रिभुज न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण है?

सबसे लंबी भुजा c के वर्ग की तुलना बाकी दोनों भुजाओं के वर्गों के योग से करें। c² < a² + b² पर न्यूनकोण, बराबरी पर समकोण और c² बड़ा होने पर अधिककोण त्रिभुज है। 7, 8 और 9 के लिए 81 < 113, इसलिए न्यूनकोण; 3, 4 और 5 के लिए 25 = 25, इसलिए समकोण; 4, 5 और 8 के लिए 64 > 41, इसलिए अधिककोण।

इस कैलकुलेटर के बारे में

\begin{gathered} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,\qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \\ \Delta = \tfrac{1}{2}ab\sin C,\qquad r = \frac{\Delta}{s} \end{gathered}

स्रोत

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 8 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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ऊँचाई

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  <a href="https://www.calcopenly.com/hi/geometry/triangle-solver">त्रिभुज कैलकुलेटर: SSS, SAS, ASA, AAS और SSA</a> by <a href="https://www.calcopenly.com/">CalcOpenly</a>
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पैमाने के अनुसार त्रिभुज

हर कोण के लिए कोज्या नियम

क्षेत्रफल

अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या

ऊँचाइयाँ

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ज्ञात भुजाओं और कोणों से त्रिभुज हल करें

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

समद्विबाहु त्रिभुज में आधार और ऊँचाई

हर विधि के लिए सही माप चुनें

SSA में दो उत्तर क्यों मिलते हैं

इकाइयाँ, अमान्य माप और अंतिम परिणाम

हल किए गए उदाहरण

SSS 3-4-5

समबाहु, भुजा 5

SAS a = 5, b = 7, C = 49°

ASA A = 40°, c = 10, B = 60°

सवाल

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