மூன்று அளவுகளிலிருந்து முக்கோணத்தின் பக்கங்கள், கோணங்கள், பரப்பளவு, சுற்றளவு, உயரங்கள், உள்வட்ட மற்றும் சுற்றுவட்ட ஆரங்களைக் கணக்கிடுங்கள். SSA-வின் இரு தீர்வுகளும் கிடைக்கும்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 8
முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 7, 8, 9 cm; கோணங்கள் 48.1897°, 58.4119°, 73.3985°. இது அசமபக்கக் குறுங்கோண முக்கோணம்; பரப்பளவு 26.8328 cm².
Δ பரப்பளவு; s அரைச் சுற்றளவு.
குறைந்தது ஒரு பக்கத்துடன் பொருந்தும் மூன்று அளவுகள் முக்கோணத்தைத் தீர்மானிக்கலாம்; SSA இல் இரு தீர்வுகள் இருக்கலாம். கோசைன் விதி c² = a² + b² − 2ab cos C மூலம் SSS, SAS தீர்க்கப்படும். சைன் விதி a/sin A = b/sin B = c/sin C மூலம் ASA, AAS தீர்க்கப்படும். பரப்பளவு ½ab sin C; சுற்றளவு, மூன்று உயரங்கள், உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரமும் கிடைக்கும்.
இயல்புநிலைப் பக்கங்கள் 7, 8, 9 cm எனில் கோணங்கள் 48.19°, 58.41°, 73.40°; பரப்பளவு 26.8328 cm². நேரடியாக அளக்க முடியாத நீளங்களைத் தெரிந்த அளவுகளிலிருந்து காண நிலஅளவையிலும் கூரை அமைப்பிலும் இவ்விரு விதிகளும் பயன்படுகின்றன.
இரு பக்கங்களும் அவற்றிற்கிடையே இல்லாத கோணமும் (SSA) ஒரு முக்கோணத்தையோ இரண்டையோ உருவாக்கலாம்; சில அளவுகளுக்கு முக்கோணமே இல்லை. a = 6, b = 8, A = 35° எனில் B = 49.89°, B = 130.11° இரண்டும் பொருந்தும்; இரு முக்கோணங்களும் வரையப்பட்டு அட்டவணையில் ஒப்பிடப்படும்.
முக்கோணத்தில் a, b, c பக்கங்கள் முறையே A, B, C கோணங்களுக்கு எதிரே உள்ளன. தெரிந்த மூன்று அளவுகளுக்கேற்ற முறையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்; குறைந்தது ஒரு பக்கம் தேவை. SSS மூன்று பக்கங்கள்; SAS இரு பக்கங்களும் இடைக்கோணமும்; ASA இரு கோணங்களும் இடைப்பக்கமும்; AAS இரு கோணங்களும் எதிர்ப்பக்கங்களில் ஒன்றும். SSA இரு பக்கங்களும் அவற்றில் ஒன்றுக்கு எதிரான கோணமும்.
கோசைன் விதி c²=a²+b²−2ab cos C; சைன் விதி a/sin A=b/sin B=c/sin C. SAS இல் C உண்மையில் a, b இடைக்கோணமா என்பதைப் பெயர்களுடன் சரிபார்க்கவும். OpenStax சைன் விதிப் பாடமும் கோசைன் விதிப் பாடமும் இத்தகவல் சேர்க்கைகளின் வேறுபாட்டை விளக்குகின்றன.
கீழுள்ள பக்கங்கள் cm; பரப்பு cm². அட்டவணை SSS நிலையைச் சரிபார்க்கிறது; மற்ற முறைகளுக்கு அதே முக்கோணத்தின் கோணங்களையும் பக்கங்களையும் மாற்றிப் பயன்படுத்தலாம்.
| பக்கங்கள் a, b, c | பரப்பளவு | உள்வட்ட ஆரம் | வெளிவட்ட ஆரம் |
|---|---|---|---|
| 1, 1, 1 | 0.433013 | 0.288675 | 0.57735 |
| 2, 2, 2 | 1.732051 | 0.57735 | 1.154701 |
| 5, 5, 5 | 10.825318 | 1.443376 | 2.886751 |
| 7, 8, 9 | 26.832816 | 2.236068 | 4.695743 |
| 3, 4, 5 | 6 | 1 | 2.5 |
| 5, 12, 13 | 30 | 2 | 6.5 |
A குறுங்கோணம் எனில் h=b sin A என்ற உயரத்துடன் a ஐ ஒப்பிடவும். a<h எனில் தீர்வு இல்லை; a=h எனில் ஒரு செங்கோணத் தீர்வு; h<a<b எனில் இரு தீர்வுகள்; a≥b எனில் ஒரு தீர்வு. a=6, b=8, A=35° க்கு h≈4.589; B≈49.89° அல்லது 130.11°. இரண்டிலும் C மற்றும் c வேறுபடும்; இரண்டாம் விடையை அமைதியாகத் தவிர்க்க வேண்டாம்.
A செங்கோணம் அல்லது விரிகோணம் எனில் a>b தேவை; குறுங்கோணத்திற்கான இருதீர்வு விதியை அப்படியே பயன்படுத்த வேண்டாம். இரண்டு விடைகள் இருந்தால் ஒப்பீட்டு அட்டவணையும் இரு படங்களும் கிடைக்கும்; ஒரே முதன்மை பரப்பை மட்டும் வாசித்தால் இரண்டாம் முக்கோணம் தவறவிடப்படலாம்.
பரப்பு Δ=ab sin C/2. அரைச் சுற்றளவு s=(a+b+c)/2; உள்வட்ட ஆரம் Δ/s; வெளிவட்ட ஆரம் abc/(4Δ). ஒரு பக்கத்தின் மீதான உயரம் 2Δ/அந்தப் பக்கம். வெளிவட்ட மையமோ உயரத்தின் பாதமோ முக்கோணத்திற்கு வெளியே வரக்கூடும்; அது மட்டும் பிழையல்ல.
பக்கங்கள் நேர்மமாகவும் முக்கோணச் சமனின்மைக்கு உட்பட்டும் இருக்க வேண்டும். A, B கூட்டுத்தொகை 180° க்குக் குறைய வேண்டும். எல்லைக்கு அருகே பரப்பு மிகச் சிறியதாகவும் வெளிவட்ட ஆரம் மிகப் பெரியதாகவும் ஆகலாம்; வட்டமிட்ட அளவுகளால் தவறான வகைப்பாடு வரலாம். கோண அலகுகளைச் சரியாகத் தேர்ந்தெடுத்து இடைநிலையில் வட்டமிட வேண்டாம்.
செங்கோணம் உறுதியாக இருந்தால் செங்கோண முக்கோணம் எளிதானது. ஆயங்கள் தெரிந்தால் மூன்று புள்ளி வட்டம், பரப்பு மட்டும் வேண்டுமெனில் வடிவக் கணிப்பான் பயன்படும்.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: செங்கோண முக்கோணம்: பரப்பளவு ½·3·4, r = (3 + 4 − 5)/2, R = கர்ணம்/2; கோணங்கள் arccos(0.8), arccos(0.6).
சரிபார்ப்பின் மூலம்: பரப்பளவு √3/4*25; வெளிவட்ட ஆரம் 5/√3 எனச் சரிபார்க்கப்பட்டது.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: கோசைன் விதி மற்றும் பரப்பளவு ½ab·sin C மூலம் சரிபார்க்கப்பட்டது.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: C = 80°; சைன் விதியில் a = 10·sin40/sin80.
இரு பக்கங்களும் இடைக்கோணமும் தெரிந்தால் கோசைன் விதி c² = a² + b² − 2ab cos C. a = 5, b = 7, C = 49° எனில் c = √(74 − 70 cos 49°) ≈ 5.2987. இரு கோணங்களும் ஒரு பக்கமும் தெரிந்தால் சைன் விதி a/sin A = b/sin B. C = 90° எனில் கோசைன் உறுப்பு பூச்சியம்; பிதாகரஸ் தேற்றம் கிடைக்கும்.
SSA நிலையில் இரு பக்கங்களும் அவற்றில் ஒன்றுக்கு எதிரான கோணமும் இரு வேறு முக்கோணங்களுக்குப் பொருந்தலாம். A குறுங்கோணம் எனில் h = b sin A காணவும். a < h எனில் தீர்வு இல்லை; a = h எனில் ஒரு செங்கோண முக்கோணம்; h < a < b எனில் இரு தீர்வுகள்; a ≥ b எனில் ஒரு தீர்வு. a = 6, b = 8, A = 35° எனில் h = 4.589; B என்பது 49.89° அல்லது 130.11°.
கோசைன் விதியை மாற்றி cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) பயன்படுத்தவும்; B, C க்கும் இதே அமைப்பு. பக்கங்கள் 7, 8, 9 எனில் cos A = (64 + 81 − 49)/144 = 0.6667; A = 48.19°. B = 58.41°, C = 73.40°; மூன்றும் சேர்ந்து 180°. மிக நீண்ட பக்கத்திற்கு எதிரே மிகப் பெரிய கோணம் இருக்கும்.
இரு பக்கங்களின் பெருக்கலையும் இடைக்கோணத்தின் சைனையும் பெருக்கிப் பாதியாக்கவும்: பரப்பளவு = ½ab sin C. பக்கங்கள் 7, 8; C = 73.40° எனில் ½ × 7 × 8 × 0.9583 ≈ 26.83. மூன்று பக்கங்கள் தெரிந்தால் ஹீரான் சூத்திரமும் இதே விடையைத் தரும்: அரைச் சுற்றளவு 12; √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 ≈ 26.83.
மிக நீண்ட பக்கம் c இன் வர்க்கத்தை மற்ற இரண்டின் வர்க்கக் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒப்பிடவும். c² < a² + b² எனில் குறுங்கோண முக்கோணம்; சமம் எனில் செங்கோணம்; அதிகம் எனில் விரிகோணம். 7, 8, 9 க்கு 81 < 113; 3, 4, 5 க்கு 25 = 25; 4, 5, 8 க்கு 64 > 41.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 8 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.