CalcOpenly
தமிழ்

t சோதனை மற்றும் z சோதனைக் கணிப்பான்

ஒரு மாதிரி, இரு மாதிரி (Welch அல்லது இணைத்த), இணை t சோதனைகளுக்கும், சராசரி அல்லது விகிதத்தின் z சோதனைகளுக்கும் கணிப்பான்: p மதிப்பு, முக்கிய மதிப்பு, முடிவு.

செயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 7

இணைச் சோதனைக்கு ஒவ்வோர் இணையின் முதல் அளவீடு.
முயற்சிக்கவும்
p மதிப்பு
p மதிப்பு: 0.035527
அதிகபட்ச தசம இடங்கள்: 6; அருகிலுள்ள மதிப்பு; சம தூரத்தில் பூச்சியத்திலிருந்து விலகி
முடிவு
H₀ ஐ நிராகரி
சோதனைப் புள்ளியளவு
−2.395294
விடுதலைப் பாகைகள்
11
முக்கிய மதிப்பு
2.201
மதிப்பீடு
498.641667
திட்டப்பிழை
0.567084

α = 0.05 இல் H₀ ஐ நிராகரி. உண்மைச் சராசரி 500 ஆக இருந்தது எனில், குறைந்தது இவ்வளவு மிகையான முடிவின் நிகழ்தகவு 0.0355. p மதிப்பு என்பது H₀ உண்மை என்பதன் நிகழ்தகவு அல்ல; மேலும் மிகைப்புள்ள முடிவு விளைவின் அளவையோ முக்கியத்துவத்தையோ தெரிவிக்காது.

11 விடுதலைப் பாகையுள்ள t இன் கீழுள்ள p மதிப்புப் பரப்பு (பெயரிடாத கோடு: t = −2.395)

00.10.20.3-4-2024tஅடர்த்தி−2.2012.201
கணக்கிடும் முறை S

  1. கருதுகோள்கள்

    H0:μ=500,H1:μ≠500H_0: \mu = 500,\quad H_1: \mu \ne 500

  2. மாதிரிச் சுருக்கம்

    xˉ=498.641667,s=1.964438,n=12\bar x = 498.641667,\quad s = 1.964438,\quad n = 12

  3. திட்டப்பிழை

    SE=sn=1.96443812=0.567084SE = \frac{s}{\sqrt n} = \frac{1.964438}{\sqrt{12}} = 0.567084

  4. சோதனைப் புள்ளியளவு

    t=498.641667−5000.567084=−2.395294,ν=n−1=11t = \frac{498.641667 - 500}{0.567084} = -2.395294,\quad \nu = n - 1 = 11

  5. p மதிப்பு

    p=2 P(t≥∣−2.395294∣)=0.035527177p = 2\,P(t \ge |-2.395294|) = 0.035527177

  6. முடிவு

    p≤α=0.05p \le \alpha = 0.05

    H₀ ஐ நிராகரி

    இருபுறச் சோதனைக்கு |t| ஐ 2.201 உடன் ஒப்பிடவும்.

t சோதனை மற்றும் z சோதனைக் கணிப்பான் பற்றி

t சோதனை மாதிரிச் சராசரிக்கும் கருதப்பட்ட மதிப்பிற்கும் அல்லது இரு மாதிரிச் சராசரிகளுக்கும் உள்ள வேறுபாட்டைத் திட்டப்பிழையால் வகுக்கிறது. ஒரு மாதிரி அல்லது இணை வேறுபாடுகளுக்கு n − 1; இணைத்த இரு மாதிரிக்கு n₁ + n₂ − 2; மாறுபாடுகள் வேறுபடலாம் எனில் Welch–Satterthwaite விடுதலைப் பாகைகளுடன் விகிதம் Student t பரவலைப் பின்பற்றும். முழுத்தொகுதி σ தெரிந்தால் அதே விகிதம் z புள்ளியளவு; விகிதச் சோதனை இதேபோல் மாதிரி விகிதத்தை p₀ உடன் ஒப்பிடும்.

தரச் சோதனைகள், A/B சோதனைகள், முன்-பின் ஆய்வுகளில் பயன்படும். இயல்புநிலையில் 12 நிரப்பு எடைகள் இலக்கு 500 உடன் ஒப்பிடப்படுகின்றன: சராசரி 498.64; 11 விடுதலைப் பாகையில் t = −2.395; இருபுற p = 0.0355. எனவே α = 0.05 இல் சராசரி 500 இலிருந்து வேறுபடுகிறது.

சார்பற்ற மாதிரி t சோதனைகளில் பதிவுகள் சார்பற்றவையாகவும் முழுத்தொகுதிகள் தோராயமாக இயல்நிலையாகவும் இருக்க வேண்டும்; இணைத்த சோதனை சம மாறுபாடுகளையும் கருதுகிறது. இணைச் சோதனைகளில் இணைகள் சார்பற்றவை; அவற்றின் வேறுபாடுகள் தோராய இயல்நிலையாக இருக்க வேண்டும். முடிவுறு மாறுபாடும் பொருத்தமான மாதிரி எடுப்பும் இருந்தால் பெரிய மாதிரிகள் மிதமான இயல்நிலையின்மையைத் தாங்கலாம்.

ஆய்வு வடிவமைப்பிற்கேற்ப சோதனையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்

ஒரு மாதிரியை இலக்குச் சராசரியுடன் ஒப்பிட ஒரு மாதிரி t; இரு சார்பற்ற குழுக்களுக்கு Welch அல்லது இணைத்த t; ஒரே நபர்கள் அல்லது பொருட்களின் முன்-பின் அளவுகளுக்கு இணை t பயன்படுத்தவும். இணைத் தரவின் இரு பட்டியல்களிலும் அதே வரிசையில் பொருந்தும் அளவுகள் இருக்க வேண்டும். இணைச் சோதனை வேறுபாடுகளில் ஒரு மாதிரி சோதனை செய்கிறது; இரு பட்டியல்களைத் தனித்த குழுக்களாக்குவதில்லை.

தெரிந்த முழுத்தொகுதி σ உடன் சராசரிக்கு z முறை உள்ளது. ஒரு விகித z சோதனை வெற்றி எண்ணிக்கையையும் முயற்சி எண்ணிக்கையையும் கருதப்பட்ட p₀ உடன் ஒப்பிடும். மாதிரித் திட்டவிலக்கத்தை முழுத்தொகுதியின் தெரிந்த மதிப்பாகக் குறிப்பிட வேண்டாம். சுருக்கங்களில் இணை முறையைத் தேர்ந்தெடுத்தால் தனித்த மாதிரிகளின் பரவலை அல்லாமல் வேறுபாடுகளின் சராசரி, திட்டவிலக்கத்தை உள்ளிடவும்.

கருதுகோளையும் வாலையும் தரவைப் பார்க்குமுன் அமைக்கவும்

H₀ இல் கருதப்பட்ட சராசரி அல்லது வேறுபாட்டை அமைக்கவும். இருபுறம், இடப்புறம், வலப்புறம் ஆகியவை வேறு மாற்றுக் கருதுகோள்கள். கண்ட முடிவிற்கு ஏற்றவாறு பின்னர் வாலை மாற்றினால் பிழை விகிதம் பொருந்தாது. α முடிவெடுக்கும் எல்லை; புள்ளியியல் விளைவின் அளவு அல்ல.

வழக்கு / உள்ளீடுகள்புள்ளியளவுp மதிப்பு
இயல்புநிலை எடைகள்; இருபுறம்-2.3952940.035527
அதே எடைகள்; இடப்புறம்-2.3952940.017764
அதே எடைகள்; வலப்புறம்-2.3952940.982236
Welch; 20.1,3.2,15 எதிராக 17.4,4.8,121.6736110.111135

p மதிப்பைச் சரியாக வாசிக்கவும்

பூச்சிய மாதிரியும் கருதுகோள்களும் உண்மை எனில் குறைந்தது கண்ட அளவு மிகையான புள்ளியளவின் வாய்ப்பே p. அது H₀ உண்மையாக இருப்பதன் வாய்ப்பல்ல. நிராகரிக்கப் போதிய ஆதாரம் இல்லை என்பது H₀ நிரூபிக்கப்பட்டது என்ற முடிவும் அல்ல. சிறிய மாதிரி உண்மையான விளைவைக் கண்டறியாமல் போகலாம்; பெரிய மாதிரி சிறிய விளைவையும் மிகைப்புள்ளதாகக் காட்டலாம்.

Welch சம மாறுபாட்டைக் கோராது; இணைத்த சோதனை அதைக் கோரும். சார்பற்ற பதிவுகள் தேவை. சிறிய மாதிரிகளுக்கு பொருத்தமான இயல்நிலைக் கருதுகோள் முக்கியம்; இணைச் சோதனையில் அது வேறுபாடுகளைச் சார்ந்தது. எல்லா மதிப்புகளும் சமம் எனில் திட்டப்பிழை பூச்சியமாகி t வரையறுக்கப்படாமல் போகலாம். காலி முடிவை பூச்சிய விளைவாகக் கருத வேண்டாம்.

முடிவுடன் மாதிரி அளவு, மதிப்பீடு, நம்பக இடைவெளி ஆகியவற்றையும் தெரிவிக்கவும். விவரணப் புள்ளியியல் மூலம் பரவலை முதலில் பார்க்கலாம். NIST இரு மாதிரி t வரையறைகள் இணை, சார்பற்ற, சமமற்ற மாறுபாட்டு வேறுபாடுகளை விளக்குகின்றன.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

நிரப்பு எடைகளில் ஒரு மாதிரி t (இயல்புநிலை)

சோதனை
ஒரு மாதிரி t சோதனை
உள்ளிடுவது
மூலத் தரவு
மாதிரி 1
498.2, 501.3, 497.6, 499.1, 495.8, 500.4, 496.9, 498.7, 497.3, 499.8, 502.1, …
கருதப்பட்ட சராசரி μ₀
500
மாற்றுக் கருதுகோள்
≠ (இருபுறம்)
மிகைப்பு நிலை α
0.05
சோதனைப் புள்ளியளவு
-2.395294
விடுதலைப் பாகைகள்
11
p மதிப்பு
0.035527
முடிவு
H₀ ஐ நிராகரி
முக்கிய மதிப்பு
2.201

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: சராசரி, மாதிரித் திட்டவிலக்கத்திலிருந்து t; ஒற்றை ν க்கு A&S 26.7.3 நேரடிச் சூத்திரத்திலிருந்து p; t₀.₉₇₅,₁₁ = 2.201.

சுருக்கப் புள்ளியியலிலிருந்து Welch t

சோதனை
இரு மாதிரி t சோதனை; Welch (சமமற்ற மாறுபாடுகள்)
உள்ளிடுவது
சுருக்கப் புள்ளியியல்
மாதிரி 1 சராசரி
20.1
திட்டவிலக்கம் s₁
3.2
மாதிரி அளவு n₁
15
மாதிரி 2 சராசரி
17.4
திட்டவிலக்கம் s₂
4.8
மாதிரி அளவு n₂
12
கருதப்பட்ட வேறுபாடு Δ₀
0
மாற்றுக் கருதுகோள்
≠ (இருபுறம்)
மிகைப்பு நிலை α
0.05
சோதனைப் புள்ளியளவு
1.673611
விடுதலைப் பாகைகள்
18.3865
p மதிப்பு
0.111135

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: துல்லியப் பின்னங்களில் Welch–Satterthwaite விடுதலைப் பாகைகள்; t அடர்த்தியின் Gauss–Legendre தொகையீட்டில் p மதிப்பு.

அதே சுருக்கங்களில் இணைத்த t

சோதனை
இரு மாதிரி t சோதனை; இணைத்த மாறுபாடு
உள்ளிடுவது
சுருக்கப் புள்ளியியல்
மாதிரி 1 சராசரி
20.1
திட்டவிலக்கம் s₁
3.2
மாதிரி அளவு n₁
15
மாதிரி 2 சராசரி
17.4
திட்டவிலக்கம் s₂
4.8
மாதிரி அளவு n₂
12
கருதப்பட்ட வேறுபாடு Δ₀
0
மாற்றுக் கருதுகோள்
≠ (இருபுறம்)
மிகைப்பு நிலை α
0.05
சோதனைப் புள்ளியளவு
1.749856
விடுதலைப் பாகைகள்
25
p மதிப்பு
0.09241

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: துல்லியப் பின்னங்களில் இணைத்த மாறுபாடு; ν = 25 உடன் A&S 26.7.3 நேரடிச் சூத்திரத்திலிருந்து p மதிப்பு.

இணை t; வலப்புறம்

சோதனை
இணை t சோதனை
உள்ளிடுவது
மூலத் தரவு
மாதிரி 1
142 138 150 145 160 155 139 148
மாதிரி 2
136 135 146 144 150 149 138 141
கருதப்பட்ட வேறுபாடு Δ₀
0
மாற்றுக் கருதுகோள்
> (வலப்புற வால்)
மிகைப்பு நிலை α
0.05
சோதனைப் புள்ளியளவு
4.32649
விடுதலைப் பாகைகள்
7
p மதிப்பு
0.001726
மதிப்பீடு
4.75

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: இணை வேறுபாடுகளின் சராசரி, மாதிரித் திட்டவிலக்கம்; ν = 7 உடன் A&S நேரடிச் சூத்திரத்திலிருந்து p மதிப்பு.

கேள்விகள்

p மதிப்பு எதைக் கூறுகிறது?

பூச்சியக் கருதுகோள் உண்மை என்ற நிலையில், கண்டதைவிடக் குறையாத மிகையான சோதனைப் புள்ளியளவின் நிகழ்தகவு. இயல்புநிலையில் p = 0.0355: உண்மைச் சராசரி 500 எனில், 500 இலிருந்து குறைந்தது இவ்வளவு விலகிய மாதிரிகள் சுமார் 3.6% நேரங்களில் வரும். இது H₀ உண்மையின் நிகழ்தகவும் அல்ல; விளைவு அளவையும் அளக்காது என American Statistical Association இன் 2016 அறிக்கை வலியுறுத்துகிறது.

Welch t சோதனையா இணைத்த t சோதனையா பயன்படுத்துவது?

மாறுபாடுகள் சமம் என நம்பத் தகுந்த காரணமில்லாவிட்டால் Welch பயன்படுத்தவும். சம மாறுபாட்டுக் கருதுகோளை நீக்கியும் அவை உண்மையில் சமமாக இருக்கும்போது சிறிதளவே திறனை இழக்கிறது. மாறுபாடுகளும் குழு அளவுகளும் வேறுபட்டால் இணைத்த சோதனையின் தவறான நேர்ம விகிதம் α இலிருந்து விலகும். எடுத்துக்காட்டில் s = 3.2, 4.8; n = 15, 12; Welch இல் 18.4 விடுதலைப் பாகையில் p = 0.111; இணைத்ததில் 25 விடுதலைப் பாகையில் p = 0.092.

இணை t சோதனையை எப்போது பயன்படுத்துவது?

ஒரு மாதிரியின் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் மற்றதில் பொருந்தும் மதிப்பு இருக்கும்போது: அதே நோயாளியின் சிகிச்சைக்கு முன்-பின் அளவுகள் அல்லது அதே பொருளை அளக்கும் இரு கருவிகள். வேறுபாடுகளில் ஒரு மாதிரி t சோதனை செய்வதால் நபர்களிடையேயான மாறுபாடு நீங்கும். இணை எடுத்துக்காட்டில் எட்டு இணைகளின் சராசரி வேறுபாடு 4.75; 7 விடுதலைப் பாகையில் t = 4.33; ஒருபுற p = 0.0017.

t சோதனைக்கும் z சோதனைக்கும் என்ன வேறுபாடு?

z சோதனை தெரிந்த முழுத்தொகுதித் திட்டவிலக்கம் σ, திட்ட இயல்நிலைப் பரவல் ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தும். t சோதனை மாதிரியிலிருந்து σ ஐ மதிப்பிட்டு Student t ஐப் பயன்படுத்தும்; அதன் கனமான வால்கள் கூடுதல் உறுதியின்மையை அனுமதிக்கும். இருபுற 5% முக்கிய மதிப்புகள் z க்கு 1.960; 11 விடுதலைப் பாகையுள்ள t க்கு 2.201; 30 க்கு 2.042. நடைமுறையில் σ அரிதாகவே தெரியும்; எனவே சராசரிகளுக்கு t வழக்கமான தேர்வு.

ஒருபுறச் சோதனையா இருபுறச் சோதனையா பயன்படுத்துவது?

தரவைப் பார்க்குமுன் திசை நிர்ணயிக்கப்பட்டு, எதிர்த்திசை விளைவு இல்லாத விளைவாகவே கருதப்படாவிட்டால் இருபுறச் சோதனை பயன்படுத்தவும். ஒருபுறச் சோதனை α முழுவதையும் ஒரு வாலில் வைக்கும். விளைவு எதிர்பார்த்த திசையில் இருக்கும்போது அதன் p மதிப்பு இருபுறத்தின் பாதி: 11 விடுதலைப் பாகையில் t = −2.395 க்கு இருபுறம் 0.0355; இடப்புறம் 0.0178. தரவைப் பார்த்தபின் வாலைத் தேர்ந்தெடுத்தால் உண்மையான தவறான நேர்ம விகிதம் இருமடங்காகும்.

இந்தக் கணிப்பான் பற்றி

t=xˉ−μ0s/n,tWelch=xˉ1−xˉ2−Δ0s12/n1+s22/n2,z=p^−p0p0(1−p0)/nt = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt n},\qquad t_{\text{Welch}} = \frac{\bar x_1 - \bar x_2 - \Delta_0}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}},\qquad z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}

ஆதாரங்கள்

  1. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.5.3 Two-sample t-test for equal means
  2. NIST/SEMATECH e-Handbook, §7.2.2 Are the data consistent with the assumed process mean?
  3. Welch, B. L. (1947). The generalization of Student's problem when several different population variances are involved. Biometrika 34, 28–35

ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது

இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 7 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.

இந்தக் கணிப்பானை உங்கள் தளத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள்

கணிப்பான் எங்கு தோன்ற வேண்டுமோ அங்கே இதை ஒட்டுங்கள். இதைப் பயன்படுத்துவது இலவசம், இங்கே செய்யப்படும் திருத்தங்கள் இதிலும் தானாகவே வந்துவிடும், அதற்குக் கீழே உள்ள நன்றிக் குறிப்பு மூலப் பக்கத்தை இணைப்பதால் உங்கள் வாசகர்கள் முழு வடிவத்தைக் கண்டறியலாம்.

உயரம்
உட்பொதிப்பின் முன்னோட்டத்தைப் பார்

நன்றிக் குறிப்பை அப்படியே வைத்திருங்கள். இது ஒன்றே நிபந்தனை, இதுவே இந்தக் கணிப்பான்களை இலவசமாக வைத்திருக்கிறது.

தொடர்புடைய கணிப்பான்கள்