CalcOpenly
தமிழ்

தொடர்புக் கெழுக் கணிப்பான் (Pearson மற்றும் Spearman)

இணைத் தரவிற்கு Pearson r அல்லது Spearman தரத் தொடர்புக் கணிப்பான்; r², t புள்ளியளவு, இருபுற p மதிப்பு ஆகியவற்றுடன்.

செயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 4

படிப்பு மணிநேரங்கள் (இயல்புநிலை எடுத்துக்காட்டு).
அதே மாணவர்களின் தேர்வு மதிப்பெண்கள்; அதே வரிசையில்.
முயற்சிக்கவும்
தொடர்புக் கெழு
தொடர்புக் கெழு: 0.981638
அதிகபட்ச தசம இடங்கள்: 6; அருகிலுள்ள மதிப்பு; சம தூரத்தில் பூச்சியத்திலிருந்து விலகி
வலிமை
வலுவான நேர்மம்
தீர்மானக் கெழு r²
0.963613
t புள்ளியளவு
14.555426
விடுதலைப் பாகைகள்
8
p மதிப்பு (இருபுறம்)
4.865 × 10⁻⁷
இணைகள் n
10

r = 0.9816. வலிமை: வலுவான நேர்மம்; தொடர்பு: நேரியல். r² = 0.9636: இடைமறிப்புள்ள மீச்சிறு வர்க்கக் கோடு, y இல் கண்ட மாறுதலில் 96.36% ஐ விளக்குகிறது. சார்பற்ற 10 இணைகளுக்கு பூச்சிய மாதிரிக் கருதுகோள்களின்கீழ் Pearson t சோதனை தரும் p = 4.86 × 10⁻⁷. தொடர்பு மட்டும் காரணத்தை நிறுவாது.

x க்கு எதிராக y

6070802468xy
இணைகள்மீச்சிறு வர்க்கக் கோடு
கணக்கிடும் முறை S

  1. சராசரிகள்

    xˉ=4.3,yˉ=66.8\bar x = 4.3,\quad \bar y = 66.8

  2. வர்க்கங்கள் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கல்களின் கூட்டுத்தொகைகள்

    Sxx=48.1,Syy=993.6,Sxy=214.6S_{xx} = 48.1,\quad S_{yy} = 993.6,\quad S_{xy} = 214.6

  3. ஒட்டுறவு

    r=SxySxxSyy=214.648.1×993.6=0.981638r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} = \frac{214.6}{\sqrt{48.1 \times 993.6}} = 0.981638

  4. சோதனைப் புள்ளியளவு

    t=rn−21−r2=0.98163881−0.963613=14.555426t = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} = 0.981638\sqrt{\frac{8}{1-0.963613}} = 14.555426

  5. இருபுற p மதிப்பு

    p=2 P(T8>∣t∣)=4.86464×10−7p = 2\,P(T_{8} > |t|) = 4.86464 \times 10^{-7}

    இணைகள் சார்பற்றவை, தோராயமாக இருமாறி இயல்நிலையானவை எனக் கருதுகிறது.

தொடர்புக் கெழுக் கணிப்பான் (Pearson மற்றும் Spearman) பற்றி

இணை மதிப்புகள் நேர்கோட்டை எவ்வளவு நெருங்கிப் பின்பற்றுகின்றன என்பதை Pearson r அளக்கும்: r = Sxy/√(Sxx·Syy). இரு சராசரிகளிலிருந்தும் விலகல்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் கூட்டுத்தொகையை, இரு வர்க்கக் கூட்டுத்தொகைகளின் பெருக்கலின் வர்க்கமூலத்தால் வகுக்கும். முழுமையாக இறங்கும் கோட்டிற்கு −1, தொடர்பற்ற நேரியலுக்கு 0, முழுமையாக ஏறும் கோட்டிற்கு +1. தரங்களில் கணக்கிடும் Pearson r தான் Spearman ρ; அது தொடர்ந்து ஏறும் அல்லது இறங்கும் போக்கை அளந்து விலகிய மதிப்புகளால் குறைவாகப் பாதிக்கப்படும். n − 2 விடுதலைப் பாகையில் t = r√((n − 2)/(1 − r²)) இலிருந்து p பெறப்படும். Pearson இன் இச்சோதனை பூச்சியத் தொடர்பின்கீழ் இருமாறி இயல்நிலை முழுத்தொகுதியின் சார்பற்ற இணைகளைக் கருதுகிறது. Spearman க்கு இது தோராயம்; துல்லிய வரிசைமாற்றச் சோதனை அல்ல.

இயல்புநிலை 10 மாணவர்களின் படிப்பு நேரத்தையும் மதிப்பெண்ணையும் இணைக்கிறது: r = 0.9816, r² = 0.9636, p = 4.9 × 10⁻⁷; வலுவான நேர்மத் தொடர்பு.

0 அருகிலுள்ள தொடர்புக் கெழு நேர்கோட்டுத் தொடர்பை மட்டுமே விலக்கும்: x என்பது −3 முதல் 3 வரை, y = x² எனில் r துல்லியமாக 0.

நேரியல் தொடர்பா அல்லது ஒரே திசைப் போக்கா?

Pearson r மூல மதிப்புகளின் நேரியல் தொடர்பை அளக்கும். Spearman ρ ஒவ்வொரு மாறியின் தரங்களில் Pearson கணக்கைப் பயன்படுத்தும்; தொடர்ந்து ஏறும் அல்லது இறங்கும் நேரியலற்ற போக்கிற்கும் பயன்படும். அளவீடு எதைக் குறிக்கிறது என்பதற்கேற்ப முறையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். விரும்பிய பெரிய கெழு வரும்வரை முறையை மாற்றுவது ஆய்வு வடிவமைப்பிற்குப் பதிலாகாது.

ஒவ்வொரு x க்கும் அதே வரிசையில் y தேவை. இணைகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றவையாக இருக்க வேண்டும். ஒரு பட்டியலின் மதிப்புகள் அனைத்தும் சமம் எனில் கெழு வரையறுக்கப்படாது. வெவ்வேறு நபர்களின் அளவுகளைத் தவறான வரிசையில் இணைத்தால் அர்த்தமற்ற தொடர்பு கிடைக்கலாம். சமத் தரங்களுக்கு அவை பிடிக்கும் இடங்களின் சராசரித் தரம் வழங்கப்படும்.

குறியும் அளவும் வேறு தகவல்கள்

கெழு −1 முதல் +1 வரை. நேர்மம் ஒன்றுடன் மற்றொன்று உயர முனைவதைக் குறிக்கும்; எதிர்மம் ஒன்று உயர மற்றொன்று குறைவதைக் குறிக்கும். பூச்சியம் அருகிலுள்ள Pearson நேரியல் தொடர்பு குறைவைக் காட்டும்; எந்தத் தொடர்பும் இல்லை என்பதல்ல. வளைவான உறவிற்கு நேரியல் கெழு பூச்சியமாக இருக்கலாம்.

வழக்கு / உள்ளீடுகள்கெழுp மதிப்பு
இயல்புநிலை; Pearson0.9816384.864640e-7
எதிர்மத் தொடர்பு-0.8910420.017161
சமத் தரங்கள்; Spearman0.5757680.135297
பூச்சிய நேரியல் தொடர்பு01

p மதிப்பின் கருதுகோள்கள்

இங்கு t=r√((n−2)/(1−r²)) மூலம் p பெறப்படும். Pearson குறிப்புச் சோதனைக்கு சார்பற்ற, தோராய இருமாறி இயல்நிலைத் தரவு முக்கியம். Spearman க்கு இது t தோராயம்; துல்லிய வரிசைமாற்றச் சோதனை அல்ல. சிறிய மாதிரி, அதிக சமத் தரங்கள் அல்லது கெழு எல்லைக்கு மிக அருகில் இருந்தால் இவ்வேறுபாட்டைக் கவனிக்கவும். கணக்கீட்டுத் துல்லியத்தில் முழுத் தொடர்பாகக் காட்டும் பூச்சிய p ஐ எல்லாச் சாத்தியமான சோதனைகளின் துல்லிய முடிவாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டாம்.

வலிமைப் பெயர்கள் வழிகாட்டும் மரபுகள் மட்டுமே; துறையையும் ஆய்வின் நோக்கத்தையும் சார்ந்தவை. பெரிய மாதிரியில் சிறிய தொடர்பும் மிகைப்புள்ளதாகலாம். Pearson r² நேர்கோடு விளக்கும் மூல y மாறுதலைக் குறிக்கலாம்; Spearman இன் வர்க்கம் தரங்களுக்கானது. இரண்டையும் பரிமாறிப் பயன்படுத்த வேண்டாம்.

தொடர்பு காரணத்தை நிறுவாது. மறைந்த மாறிகள், எதிர்த்திசைக் காரணம், தேர்வு சாய்வு, பல சோதனைகள் ஆகியவை விளக்கத்தை மாற்றலாம். தரவு, மாதிரி அளவு, முறை, புள்ளிப்படம் ஆகியவற்றுடன் முடிவைத் தெரிவிக்கவும். பொருத்தக் கோட்டிற்கு பின்னடைவு, பரவலுக்கு விவரணப் புள்ளியியல் பயன்படுத்தலாம்.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

படிப்பு மணிநேரம் எதிராக மதிப்பெண் (இயல்புநிலை)

x மதிப்புகள்
1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8
y மதிப்புகள்
52, 55, 61, 58, 66, 70, 68, 75, 79, 84
கெழு
Pearson r
தொடர்புக் கெழு
0.981638
தீர்மானக் கெழு r²
0.963613
t புள்ளியளவு
14.555426
விடுதலைப் பாகைகள்
8
p மதிப்பு (இருபுறம்)
4.865 × 10⁻⁷
வலிமை
Strong positive

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: துல்லியப் பின்னங்களிலும் தசம வர்க்கமூலத்திலும் Sxx, Syy, Sxy; முழு எண் விடுதலைப் பாகைக்கு Abramowitz & Stegun 26.7.4 நேரடிச் சூத்திரத்திலிருந்து p.

எதிர்மத் தொடர்பு

x மதிப்புகள்
10, 20, 30, 40, 50, 60
y மதிப்புகள்
8.1, 7.4, 7.9, 6.2, 5.8, 6.0
கெழு
Pearson r
தொடர்புக் கெழு
-0.891042
t புள்ளியளவு
-3.925982
p மதிப்பு (இருபுறம்)
0.017161
வலிமை
Strong negative

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: துல்லியப் பின்னங்கள், தசம வர்க்கமூலங்கள்; A&S 26.7.4 இல் p = 2·(1 − F_t(|t|; 4)).

சமத் தரங்களுடன் Spearman

x மதிப்புகள்
1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6
y மதிப்புகள்
3, 1, 4, 4, 5, 9, 2, 6
கெழு
Spearman ρ
தொடர்புக் கெழு
0.575768
t புள்ளியளவு
1.724946
p மதிப்பு (இருபுறம்)
0.135297
விடுதலைப் பாகைகள்
6
வலிமை
Strong positive

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: சம மதிப்புகளுக்குச் சராசரித் தரங்கள் 1, 2.5, 2.5, 4, 5, 6.5, 6.5, 8; துல்லியப் பின்னங்களில் தரங்களின் Pearson r: Sxy = 95/4, Sxx = 41, Syy = 83/2; A&S 26.7.4 இலிருந்து p.

முழுமையான நேர்கோடு

x மதிப்புகள்
1, 2, 3, 4
y மதிப்புகள்
3, 5, 7, 9
கெழு
Pearson r
தொடர்புக் கெழு
1
தீர்மானக் கெழு r²
1
p மதிப்பு (இருபுறம்)
0
வலிமை
Strong positive

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: y = 2x + 1 துல்லியமாக இருப்பதால் வரையறைப்படி r = 1; இதைவிட மிகையான மாதிரி இல்லை.

கேள்விகள்

தொடர்புக் கெழு 0.7 என்றால் என்ன?

வலுவான நேர்ம நேரியல் தொடர்பு: x உயரும்போது y உயர முனைகிறது. r² = 0.49 என்பதால் y இன் மாறுதலில் 49% ஐ நேர்கோடு விளக்கும். Cohen (1988) r = 0.1 சிறியது, 0.3 நடுத்தரம், 0.5 பெரியது எனக் கூறினார்; வலிமை வெளியீடு இவ்வெல்லைகளைப் பயன்படுத்தும். இவை நடத்தையியல் துறையின் தோராய மரபுகள்; வலிமையின் பொருள் துறையைச் சார்ந்தது.

Pearson, Spearman தொடர்புகள் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன?

Pearson r நேரடி மதிப்புகளில் நேரியல் தொடர்பை அளக்கும்; Spearman ρ அதே சூத்திரத்தைத் தரங்களில் பயன்படுத்துவதால் தொடர்ந்து ஒரே திசையில் மாறும் போக்கை அளக்கும். x என்பது 1 முதல் 10 வரை, y = x³ எனில் Spearman துல்லியமாக 1; Pearson 0.928. Spearman விலகிய மதிப்புகளைத் தாங்கி மதிப்பீட்டுத் தரவு போன்ற வரிசைத் தரவிற்கும் பொருந்தும்; மீச்சிறு வர்க்கக் கோட்டுடன் நேரடியாகப் பொருந்துவது Pearson r.

தொடர்பு காரணத்தைக் குறிக்கிறதா?

இல்லை. இரு மாறிகளும் சேர்ந்து மாறுவதைத் தொடர்பு காட்டும்; காரணத்தை அல்ல. வெப்பமான வானிலை பனிக்கூழ் விற்பனையையும் நீரில் மூழ்குதலையும் உயர்த்துவது போல மூன்றாம் மாறி இரண்டையும் இயக்கலாம். காரணம் எதிர்த்திசையிலும் இருக்கலாம் அல்லது தற்செயலாக இருக்கலாம்: தொடர்பற்ற 20 இணைகளை α = 0.05 இல் சோதித்தால் சுமார் ஒன்று மிகைப்புள்ளதாகத் தோன்றும். காரணத்திற்குச் சீரற்ற ஒதுக்கீட்டுப் பரிசோதனை அல்லது கவனமான காரணவியல் வடிவமைப்பு தேவை.

தொடர்பு மிகைப்புள்ளதா என எவ்வாறு சோதிப்பது?

r ஐ t = r√((n − 2)/(1 − r²)) ஆக மாற்றி n − 2 விடுதலைப் பாகையுள்ள t பரவலுடன் ஒப்பிடவும். இயல்புநிலையில் r = 0.9816, n = 10; எனவே 8 விடுதலைப் பாகையில் t = 14.56, p = 4.9 × 10⁻⁷. மிகைப்பு n ஐ மிகவும் சார்ந்தது: 1,000 இணைகளில் r = 0.07 க்கே p = 0.027; ஆனால் அது மாறுதலில் 0.5% க்கும் குறைவாகவே விளக்கும்.

இந்தக் கணிப்பான் பற்றி

r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2,t=rn−21−r2r = \frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2 \sum (y_i-\bar y)^2}},\qquad t = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}

ஆதாரங்கள்

  1. SciPy statistical documentation: Spearman correlation and permutation-test guidance
  2. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §7.1.3 / Dataplot CORRELATION (Pearson and rank correlation)
  3. Spearman (1904), The proof and measurement of association between two things, American Journal of Psychology 15
  4. Cohen (1988), Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences, 2nd ed., §3.2 (r = 0.1, 0.3, 0.5)

ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது

இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 4 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.

இந்தக் கணிப்பானை உங்கள் தளத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள்

கணிப்பான் எங்கு தோன்ற வேண்டுமோ அங்கே இதை ஒட்டுங்கள். இதைப் பயன்படுத்துவது இலவசம், இங்கே செய்யப்படும் திருத்தங்கள் இதிலும் தானாகவே வந்துவிடும், அதற்குக் கீழே உள்ள நன்றிக் குறிப்பு மூலப் பக்கத்தை இணைப்பதால் உங்கள் வாசகர்கள் முழு வடிவத்தைக் கண்டறியலாம்.

உயரம்
உட்பொதிப்பின் முன்னோட்டத்தைப் பார்

நன்றிக் குறிப்பை அப்படியே வைத்திருங்கள். இது ஒன்றே நிபந்தனை, இதுவே இந்தக் கணிப்பான்களை இலவசமாக வைத்திருக்கிறது.

தொடர்புடைய கணிப்பான்கள்