CalcOpenly
தமிழ்

இயல்நிலைப் பரவல் மற்றும் z மதிப்பெண் கணிப்பான்

இயல்நிலைப் பரவல் கணிப்பான்: z மதிப்பெண்கள், மதிப்புகளுக்குக் கீழே, மேலே அல்லது இடையே நிகழ்தகவு, கொடுத்த சதமானத்திற்கான மதிப்பு (தலைகீழ் இயல்நிலை).

செயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 7

முயற்சிக்கவும்
முடிவு
முடிவு: 0.97725
அதிகபட்ச தசம இடங்கள்: 6; அருகிலுள்ள மதிப்பு; சம தூரத்தில் பூச்சியத்திலிருந்து விலகி
சதவீதமாக
97.725%
z மதிப்பெண்
2

இப்பரவலின் மதிப்புகளில் 97.725% என்பது 130 க்கு கீழே உள்ளது. z மதிப்பெண் 2; பூச்சியம் சராசரியில், எதிர்மம் கீழே, நேர்மம் மேலே உள்ளது.

P(X < 130)

00.010.025075100125150xஅடர்த்திx = 130
கணக்கிடும் முறை S

  1. பரவல்

    X∼N(100, 152)X \sim N(100,\ 15^2)

  2. திட்ட அளவிற்கு மாற்று

    z=130−10015=2z = \frac{130 - 100}{15} = 2

  3. இடப்புறப் பரப்பு

    P(X<130)=Φ(2)=0.9772498681P(X < 130) = \Phi(2) = 0.9772498681

இயல்நிலைப் பரவல் மற்றும் z மதிப்பெண் கணிப்பான் பற்றி

இயல்நிலைப் பரவல் அதன் சராசரி μ, திட்டவிலக்கம் σ ஆகியவற்றால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. z = (x − μ)/σ மூலம் மதிப்பு z மதிப்பெண்ணாக மாற்றப்படும். z க்கு இடப்புற மணிவளைவின் பரப்பைத் தரும் திட்ட இயல்நிலைத் தொகைநிகழ்தகவு Φ, அச்சிட்ட அட்டவணையிலிருந்து பெறப்படாமல் பிழைச் சார்பையும் 50 இலக்கத் தசமக் கணக்கையும் பயன்படுத்திக் கணக்கிடப்படுகிறது. மேலே, இடையே, வெளியே உள்ள பரப்புகள் Φ இலிருந்து பெறப்படும்; தலைகீழ் முறையில் பரப்பிலிருந்து x பெறப்படும்.

இயல்புநிலை IQ மாதிரியில் சராசரி 100, திட்டவிலக்கம் 15. 130 க்கு z = 2; மதிப்புகளில் 97.725% அதற்குக் கீழே உள்ளன. இதே முறை தேர்வு மதிப்பெண்களைச் சதமானங்களாக மாற்றவும் குறிப்பு வரம்புகளைப் பெறவும் உதவும்; IQ இன் மைய 95% வரம்பு 70.6 முதல் 129.4 வரை.

இயல்நிலை மாதிரி பொருந்தினால் மட்டுமே பதில்கள் பயன்படும். வருமானம், காத்திருப்பு நேரம் போன்ற கோட்டமான அல்லது கனமான வால்கள் கொண்ட தரவில் 3σ க்கு அப்பால் உள்ளவை எதிர்பார்க்கும் 0.27% ஐவிடப் பல மடங்கு அதிகமாகலாம். தொலைவால் நிகழ்தகவுகளை நம்புமுன் அலைவெண் செவ்வகப்படத்தைச் சரிபார்க்கவும்.

ஒரு மதிப்பை z மதிப்பெண்ணாக மாற்றவும்

சராசரி μ, நேர்மத் திட்டவிலக்கம் σ, ஆராயும் x ஆகியவற்றை உள்ளிடவும். z=(x−μ)/σ என்பது x சராசரியிலிருந்து எத்தனை திட்டவிலக்கங்கள் தொலைவில் உள்ளது என்பதைக் காட்டும். z எதிர்மம் எனில் கீழே; நேர்மம் எனில் மேலே; பூச்சியம் எனில் சராசரியில். ஒரே z இருந்தாலும் வேறு சராசரி அல்லது திட்டவிலக்கமுள்ள அளவுகளில் x மாறும்.

இயல்புநிலை μ=100, σ=15, x=130; எனவே z=2. இடப்புற நிகழ்தகவு சுமார் 0.97725; சதவீதமாக 97.725%. இது அவ்வியல்நிலை மாதிரியின் விளைவு; உள்ளிடும் தரவு உண்மையில் அம்மாதிரிக்கு ஏற்றதா என்பதையும் பார்க்க வேண்டும். z மதிப்பெண் மட்டும் ஒருவரின் திறனையோ மருத்துவ நிலையையோ தீர்மானிக்காது.

தேடும் பரப்பைத் தெளிவாகத் தேர்ந்தெடுக்கவும்

P(X<x) இடப்புறத் தொகைநிகழ்தகவு; P(X>x) வலப்புற வால். இரு எல்லைகளுக்கு இடையிலோ வெளியிலோ தேடும்போது a<b தேவை. தொடர்ச்சிப் பரவலில் ஒரு துல்லியப் புள்ளியின் நிகழ்தகவு பூச்சியம் என்பதால் < அல்லது ≤ பயன்படுத்துவதால் பரப்பு மாறாது. எல்லைகளை மாற்றி உள்ளிடும்போது கருவி தானாக இடமாற்றம் செய்யாது.

சில அச்சிட்ட z அட்டவணைகள் சராசரியிலிருந்து z வரையிலான பரப்பைத் தருகின்றன. இங்குள்ள இடப்புற முடிவு எதிர்ம முடிவிலியிலிருந்து வருகிறது. உதாரணமாக z=2 க்கு 0.47725 உடன் கீழ்ப்பாதி 0.5 ஐச் சேர்த்தால்தான் 0.97725 கிடைக்கும்.

திட்ட இயல்நிலை மதிப்புகளை ஒப்பிடவும்

இவ்வட்டவணைக்கு μ=0, σ=1. மிகச் சிறிய வால் நிகழ்தகவு அறிவியல் குறியீட்டில் உள்ளது; அதை பூச்சியமாகப் படிக்க வேண்டாம்.

z; தேடும் பரப்புநிகழ்தகவு
-2; இடப்புறம்0.02275
-1; இடப்புறம்0.158655
0; இடப்புறம்0.5
1; இடப்புறம்0.841345
2; இடப்புறம்0.97725
8; வலப்புறம்6.220961e-16

கொடுத்த பரப்பிலிருந்து எல்லையைப் பெறவும்

தலைகீழ் முறையில் சதவீதப் பரப்பை உள்ளிடுங்கள். இடப்புறம், வலப்புறம் அல்லது μ ஐச் சுற்றிய மையப் பகுதியைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம். மைய 95% க்கு z சுமார் 1.959964; இருபுறமும் தலா 2.5% மீதம். ஒருபுற 95% எல்லைக்கான z சுமார் 1.644854; இவ்விரண்டையும் பரிமாறிப் பயன்படுத்த வேண்டாம்.

சாதாரணப் பரப்பின் வரம்பு 0 க்கும் 100% க்கும் நடுவில் இருக்க வேண்டும்; இக்கருவியின் தலைகீழ் கணக்கிற்கு மேலும் குறுகிய கணக்கீட்டு வரம்பு உள்ளது. 100% ஐ அடக்கும் முடிவுறு x இல்லை. முடிவில் காட்டும் தசம இடங்கள் மட்டும் தரவின் துல்லியத்தை நிரூபிக்காது. கோட்டமான அல்லது கனமான வால்களுள்ள தரவிற்கு இயல்நிலை வால் மதிப்புகள் பொருந்தாமல் போகலாம். முதலில் விவரணப் புள்ளியியல் மூலம் வடிவத்தைப் பாருங்கள். வரையறைகளுக்கு NIST இயல்நிலைப் பரவல் உதவும்.

தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்

IQ 130 க்குக் கீழ் (z = 2)

கண்டறி
P(X < x)
சராசரி μ
100
திட்டவிலக்கம் σ
15
x மதிப்பு
130
முடிவு
0.97725
z மதிப்பெண்
2

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: திட்ட இயல்நிலை அட்டவணை Φ(2.00) = 0.97725 (NIST e-Handbook §1.3.6.7.1)

ஒரு திட்டவிலக்கத்திற்குள் (85 முதல் 115 வரை)

கண்டறி
P(a < X < b)
சராசரி μ
100
திட்டவிலக்கம் σ
15
கீழ் மதிப்பு a
85
மேல் மதிப்பு b
115
முடிவு
0.682689
z மதிப்பெண்
-1
b இன் z மதிப்பெண்
1

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: 68–95–99.7 விதி

IQ இன் 95 ஆம் சதமானம்

கண்டறி
கொடுத்த பரப்பிற்கான x (தலைகீழ்)
சராசரி μ
100
திட்டவிலக்கம் σ
15
கொடுத்த பரப்பு
x க்கு இடப்புறம் (சதமானம்)
பரப்பளவு
95%
முடிவு
124.672804

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: z₀.₉₅ = 1.644854

IQ இன் மைய 95%

கண்டறி
கொடுத்த பரப்பிற்கான x (தலைகீழ்)
சராசரி μ
100
திட்டவிலக்கம் σ
15
கொடுத்த பரப்பு
மையம்: μ − d முதல் μ + d வரை
பரப்பளவு
95%
கீழ் மதிப்பு μ − d
70.60054
மேல் மதிப்பு μ + d
129.39946

சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: z₀.₉₇₅ = 1.959964

கேள்விகள்

z மதிப்பெண்ணை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

மதிப்பிலிருந்து சராசரியைக் கழித்து திட்டவிலக்கத்தால் வகுக்கவும்: z = (x − μ)/σ. சராசரி 100, திட்டவிலக்கம் 15 உள்ள அளவில் IQ 130 எனில் z = (130 − 100)/15 = 2; சராசரிக்கு இரண்டு திட்டவிலக்கங்கள் மேல். எதிர்ம z சராசரிக்குக் கீழ்; z = 0 சராசரியில். z க்கு அலகு இல்லை; இதனால் வெவ்வேறு தேர்வுகளின் மதிப்பெண்களை ஒப்பிடலாம்.

68–95–99.7 விதி என்றால் என்ன?

இயல்நிலைப் பரவலில் சராசரியின் 1 திட்டவிலக்கத்திற்குள் 68.27%, 2 க்குள் 95.45%, 3 க்குள் 99.73% உள்ளன. IQ சராசரி 100, திட்டவிலக்கம் 15 எனில் சுமார் 68% பேர் 85–115 வரையிலும் 95% பேர் 70–130 வரையிலும் இருப்பர். மைய 95% பரப்பிற்கான பெருக்கி சுமார் 1.959964; வழக்கமாக 1.96 என வட்டமிடப்படும். இது 2 அல்ல; அதனால்தான் நம்பக இடைவெளிகளில் 1.96 வருகிறது.

z = 1 என்பது எந்தச் சதமானம்?

84.13 ஆம் சதமானம். சதமானம் என்பது z க்கு இடப்புறப் பரப்பான Φ(z) × 100. பொதுவான மதிப்புகள்: z = 1.645 க்கு 95 ஆம் சதமானம்; z = 1.96 க்கு 97.5; z = 2 க்கு 97.72; z = −1 க்கு 15.87. இங்கு P(X < x) தேர்ந்தெடுத்து சராசரி 0, திட்டவிலக்கம் 1 என அமைத்து x ஆக z ஐ உள்ளிடவும்.

z = 2 க்கு என் அட்டவணை 0.9772 க்குப் பதிலாக 0.4772 தருவது ஏன்?

அந்த அட்டவணை எதிர்ம முடிவிலியிலிருந்து அல்லாமல் 0 முதல் z வரையிலான பரப்பைத் தருகிறது. NIST/SEMATECH e-Handbook §1.3.6.7.1 இவ்வகையே: z = 2.00 க்கு 0.47725; சராசரிக்குக் கீழுள்ள 0.5 ஐச் சேர்த்தால் Φ(2) = 0.97725. தொகைநிகழ்தகவு அட்டவணைகளும் இக்கணிப்பானின் P(X < x) உம் 0.97725 ஐ நேரடியாகத் தருகின்றன.

95% நம்பகத்தன்மைக்கான z மதிப்பு என்ன?

இருபுற 95% இடைவெளிக்கு 1.96; ஏனெனில் −1.96 மற்றும் +1.96 க்கு அப்பால் தலா 2.5% பரப்பு உள்ளது. ஒருபுற 95% எல்லைக்கு 1.645. இருபுற 90%, 99% க்கு முறையே 1.645, 2.576. கொடுத்த பரப்பிற்கான x முறையில் சராசரி 0, திட்டவிலக்கம் 1 என அமைத்து மையப் பரப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

இந்தக் கணிப்பான் பற்றி

z=x−μσ,P(X<x)=Φ(z)=12[1+erf⁡ ⁣(z2)]z = \frac{x - \mu}{\sigma},\qquad P(X < x) = \Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]

ஆதாரங்கள்

  1. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.6.6.1 Normal distribution and §1.3.6.7.1 cumulative normal table
  2. Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §26.2 (normal probability function)

ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது

இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 7 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.

இந்தக் கணிப்பானை உங்கள் தளத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள்

கணிப்பான் எங்கு தோன்ற வேண்டுமோ அங்கே இதை ஒட்டுங்கள். இதைப் பயன்படுத்துவது இலவசம், இங்கே செய்யப்படும் திருத்தங்கள் இதிலும் தானாகவே வந்துவிடும், அதற்குக் கீழே உள்ள நன்றிக் குறிப்பு மூலப் பக்கத்தை இணைப்பதால் உங்கள் வாசகர்கள் முழு வடிவத்தைக் கண்டறியலாம்.

உயரம்
உட்பொதிப்பின் முன்னோட்டத்தைப் பார்

நன்றிக் குறிப்பை அப்படியே வைத்திருங்கள். இது ஒன்றே நிபந்தனை, இதுவே இந்தக் கணிப்பான்களை இலவசமாக வைத்திருக்கிறது.

தொடர்புடைய கணிப்பான்கள்