IQ 130 से नीचे (z = 2)
- ज्ञात करें
- P(X < x)
- औसत μ
- 100
- मानक विचलन σ
- 15
- मान x
- 130
- परिणाम
- 0.97725
- z-स्कोर
- 2
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: मानक सामान्य सारणी Φ(2.00) = 0.97725 (NIST पुस्तिका खंड 1.3.6.7.1)
सामान्य वितरण और z-स्कोर कैलकुलेटर
सामान्य वितरण में z-स्कोर, किसी मान से नीचे या ऊपर तथा दो मानों के बीच की प्रायिकता निकालें। किसी प्रतिशतक का मान भी जानें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7
परिणाम
परिणाम: 0.97725
- प्रतिशत के रूप में
- 97.725%
- z-स्कोर
- 2
इस वितरण के 97.725% मान 130 से नीचे हैं। z-स्कोर 2 है; शून्य औसत पर, ऋणात्मक नीचे और धनात्मक ऊपर दर्शाता है।
P(X < 130)
गणना कैसे होती है S
वितरण
मानकीकरण करें
बाईं ओर का क्षेत्रफल
सामान्य वितरण और z-स्कोर कैलकुलेटर के बारे में
सामान्य वितरण अपने औसत μ और मानक विचलन σ से तय होता है। कैलकुलेटर किसी मान को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलता है और मानक सामान्य संचयी वितरण Φ से उसके बाईं ओर का क्षेत्रफल निकालता है। इसके लिए छपी सारणी के बजाय त्रुटि फलन और 50 सार्थक अंकों की दशमलव गणना का उपयोग होता है। ऊपर, बीच और बाहर के क्षेत्रफल Φ से मिलते हैं; प्रतिलोम विकल्प दिए गए क्षेत्रफल से मान x निकालता है।
डिफ़ॉल्ट में IQ का सामान्य मॉडल है (औसत 100, मानक विचलन 15): 130 पर z = 2 और लगभग 97.725% मान उससे नीचे हैं। इन्हीं चरणों से परीक्षा-अंकों के मॉडल-आधारित प्रतिशतक और संदर्भ अंतराल मिलते हैं। IQ के इस मॉडल का केंद्रीय 95% लगभग 70.6 से 129.4 है।
परिणाम तभी उपयोगी हैं जब सामान्य मॉडल डेटा के लिए उपयुक्त हो। आय या प्रतीक्षा-अवधि जैसे विषम अथवा भारी पूँछ वाले डेटा में 3σ से बाहर के मान, अनुमानित 0.27% से बहुत अधिक हो सकते हैं। दूर की पूँछों की प्रायिकता पर भरोसा करने से पहले डेटा का आकार जाँचें।
z-स्कोर और उसका प्रतिशतक कैसे निकालें
z-स्कोर बताता है कि कोई मान औसत से कितने मानक विचलन दूर है: z = (x − μ) ÷ σ। मान लें कि परीक्षा का औसत 72, मानक विचलन 8 और विद्यार्थी के अंक 84 हैं।
- औसत घटाएँ: 84 − 72 = 12 अंक ऊपर।
- मानक विचलन से भाग दें: z = 12 ÷ 8 = 1.5।
- मानक सामान्य वक्र में z = 1.5 के बाईं ओर का क्षेत्रफल लें: Φ(1.5) ≈ 0.93319।
- सामान्य मॉडल के अनुसार यह लगभग 93.32वाँ प्रतिशतक है और 6.68% मान इससे ऊपर हैं।
कैलकुलेटर में P(X < x), औसत 72, मानक विचलन 8 और x = 84 डालें; परिणाम लगभग 0.933193 और z = 1.5 होगा। 60 अंकों पर z = −1.5 और Φ(−1.5) ≈ 0.06681 है, यानी लगभग 6.68वाँ प्रतिशतक।
z की इकाई नहीं होती, इसलिए अलग पैमानों की सापेक्ष स्थिति की तुलना संभव है। औसत 500 और मानक विचलन 100 वाले परीक्षण में 610 का z = 1.1 है, जिसका सामान्य-मॉडल प्रतिशतक लगभग 86.43 है। 84 अंक वाला विद्यार्थी अपने समूह में अधिक ऊँची सापेक्ष स्थिति पर है। अलग वितरणों में समान z का वास्तविक प्रतिशतक समान हो, यह ज़रूरी नहीं।
वापस मूल अंक पाने का सूत्र x = μ + zσ है। सामान्य मॉडल में शीर्ष 10% की सीमा के लिए z ≈ 1.2816, इसलिए x ≈ 72 + 1.2816 × 8 = 82.25। प्रतिलोम विकल्प में बाईं ओर 90% क्षेत्रफल रखने पर लगभग 82.2524 मिलता है।
68–95–99.7 नियम और दूर की पूँछें
सामान्य वितरण में औसत से 1, 2 और 3 मानक विचलन के भीतर क्रमशः लगभग 68%, 95% और 99.7% मान होते हैं। इस परीक्षा के मॉडल में करीब 68% अंक 64–80 और 95% अंक 56–88 के बीच हैं।
| ±kσ के भीतर | भीतर का प्रतिशत | बाहर का प्रतिशत | बाहर लगभग इतने में 1 |
|---|---|---|---|
| 1σ | 68.27% | 31.73% | 3 |
| 1.5σ | 86.64% | 13.36% | 7 |
| 2σ | 95.45% | 4.55% | 22 |
| 2.5σ | 98.76% | 1.24% | 81 |
| 3σ | 99.73% | 0.27% | 370 |
| 4σ | 99.9937% | 0.0063% | 15,787 |
| 5σ | 99.99994% | 0.000057% | 1,744,278 |
| 6σ | 99.9999998% | 0.000000197% | 506,797,346 |
बाहर का क्षेत्रफल दोनों पूँछों में बराबर बँटता है। इसलिए औसत से 2σ से अधिक ऊपर लगभग 44 में 1 मान होता है, 22 में 1 नहीं। ये आदर्श सामान्य मॉडल की प्रायिकताएँ हैं, किसी वास्तविक छोटे समूह की निश्चित गिनती नहीं।
असममित अंतराल के लिए दोनों सीमाएँ अलग मानकीकृत करें। परीक्षा में 60–80 अंक, z = −1.5 से z = 1 तक हैं। क्षेत्रफल Φ(1) − Φ(−1.5) ≈ 0.84134 − 0.06681 = 0.77454, यानी लगभग 77.45% है। P(a < X < b) विकल्प यही करता है।
z-सारणी: बाईं ओर का क्षेत्रफल
संचयी सारणी में Φ(z), z से नीचे के वितरण का हिस्सा है। यहाँ धनात्मक z के लिए बाएँ, दाएँ और केंद्रीय क्षेत्रफल दिए गए हैं।
| z | नीचे का क्षेत्रफल Φ(z) | ऊपर का क्षेत्रफल | −z और z के बीच |
|---|---|---|---|
| 0.00 | 0.50000 | 0.50000 | 0.00000 |
| 0.25 | 0.59871 | 0.40129 | 0.19741 |
| 0.50 | 0.69146 | 0.30854 | 0.38292 |
| 0.75 | 0.77337 | 0.22663 | 0.54675 |
| 1.00 | 0.84134 | 0.15866 | 0.68269 |
| 1.25 | 0.89435 | 0.10565 | 0.78870 |
| 1.50 | 0.93319 | 0.06681 | 0.86639 |
| 1.75 | 0.95994 | 0.04006 | 0.91988 |
| 2.00 | 0.97725 | 0.02275 | 0.95450 |
| 2.25 | 0.98778 | 0.01222 | 0.97555 |
| 2.50 | 0.99379 | 0.00621 | 0.98758 |
| 2.75 | 0.99702 | 0.00298 | 0.99404 |
| 3.00 | 0.99865 | 0.00135 | 0.99730 |
| 3.50 | 0.99977 | 0.00023 | 0.99953 |
ऋणात्मक z के लिए सममिति लें: Φ(−z) = 1 − Φ(z)। इसलिए Φ(−1.5) ≈ 1 − 0.93319 = 0.06681। यह +1.5 के ऊपर का क्षेत्रफल भी है। बहुत छोटी पूँछों में लगभग 1 के बराबर संख्याएँ घटाने से संख्यात्मक सटीकता खो सकती है; सीधे पूँछ की गणना अधिक उपयोगी है।
हर z-सारणी संचयी नहीं होती। NIST की सारणी 0 से z तक का क्षेत्रफल देती है। z = 2 पर उसके 0.47725 में 0.5 जोड़कर संचयी 0.97725 मिलता है। सारणी पढ़ने से पहले उसके शीर्षक और छायांकित क्षेत्र को देखें।
प्रतिशतक और सीमा-अंक
प्रतिशतक से मूल मान निकालने के लिए पहले उसका z लें, फिर x = μ + zσ लागू करें।
| प्रतिशतक | z |
|---|---|
| 1वाँ | −2.3263 |
| 5वाँ | −1.6449 |
| 10वाँ | −1.2816 |
| 20वाँ | −0.8416 |
| 25वाँ | −0.6745 |
| 50वाँ | 0 |
| 75वाँ | 0.6745 |
| 80वाँ | 0.8416 |
| 90वाँ | 1.2816 |
| 95वाँ | 1.6449 |
| 99वाँ | 2.3263 |
| 99.5वाँ | 2.5758 |
परीक्षा के सामान्य मॉडल में निचले 5% लगभग 72 − 1.6449 × 8 = 58.84 से नीचे हैं। बीच के आधे अंक 25वें और 75वें प्रतिशतकों के बीच, लगभग 72 ± 0.6745 × 8, यानी 66.60–77.40 हैं।
प्रतिशतक रैंक है, सही उत्तरों का प्रतिशत नहीं। 90वाँ प्रतिशतक बताता है कि लगभग 90% वितरण उससे नीचे है; इससे यह नहीं पता चलता कि 90% प्रश्न सही किए गए। वास्तविक कक्षा के मूल अंकों की प्रतिशतक रैंक और रैखिक समायोजन के लिए ग्रेड-कर्व कैलकुलेटर देखें।
डेटा सामान्य न हो तो क्या करें
औसत और धनात्मक मानक विचलन वाले डेटा पर z-स्कोर निकाला जा सकता है, लेकिन Φ से प्रतिशतक निकालने के लिए सामान्य वितरण की मान्यता चाहिए। यह हर डेटा पर सही नहीं होती।
मान लें बस आने की प्रतीक्षा घातांकीय वितरण का अनुसरण करती है, जिसका औसत और मानक विचलन दोनों 10 मिनट हैं। इन्हीं दो मानों वाला सामान्य मॉडल 30 मिनट से अधिक प्रतीक्षा की प्रायिकता 2.28% और शून्य से कम प्रतीक्षा की 15.87% बताता है। घातांकीय मॉडल में 30 मिनट से अधिक की प्रायिकता लगभग 4.98% तथा शून्य से कम की 0 है। समान औसत और मानक विचलन से समान पूँछें नहीं मिलतीं।
- हिस्टोग्राम और विषमता देखें। वर्णनात्मक सांख्यिकी कैलकुलेटर हिस्टोग्राम बनाता और विषमता निकालता है। लगभग ±1 से आगे की विषमता सावधानी का संकेत हो सकती है, लेकिन अकेला कोई कटऑफ़ सामान्यता सिद्ध या असिद्ध नहीं करता।
- सामान्य प्रायिकता प्लॉट देखें। सामान्य डेटा के बिंदु मोटे तौर पर सीधी रेखा पर आते हैं। वक्रता और सिरों का मुड़ना अलग आकार का संकेत है; NIST का मार्गदर्शन इसका अर्थ समझाता है।
- वितरण-मुक्त सीमा की शर्त समझें। सीमित औसत और सीमित, धनात्मक प्रसरण वाले वितरण के लिए चेबिशेव असमानता कम-से-कम 1 − 1/k² हिस्सा k मानक विचलनों के भीतर रखती है, जहाँ k > 1। इससे 2σ के भीतर कम-से-कम 75% और 3σ के भीतर कम-से-कम 88.9% मिलता है। ये सामान्य वितरण के 95.45% और 99.73% से कमजोर सीमाएँ हैं।
छोटे नमूने में औसत और मानक विचलन स्वयं अनुमान हों तो औसत के विश्वास अंतराल में अतिरिक्त अनिश्चितता आती है। स्वतंत्र, सामान्य समष्टि से नमूने और अज्ञात समष्टि मानक विचलन की स्थिति में Student t का उपयोग होता है; t, काई-वर्ग और F वितरण कैलकुलेटर देखें। इससे यह निष्कर्ष न निकालें कि छोटे नमूने के हर व्यक्तिगत मान की प्रायिकता स्वतः t-वितरण से मिलेगी।
निश्चित संख्या के स्वतंत्र प्रयासों में समान सफलता-प्रायिकता वाले परिणामों की गिनती के लिए द्विपद वितरण कैलकुलेटर अधिक उपयुक्त हो सकता है।
उत्तर बदल देने वाली आम गलतियाँ
- प्रसरण से भाग देना: z में मानक विचलन चाहिए। परीक्षा के उदाहरण में 12 ÷ 64 से z = 0.1875 और लगभग 57वाँ प्रतिशतक मिलेगा, जबकि सही परिणाम लगभग 93वाँ है।
- गलत पूँछ चुनना: “84 से अधिक” का अर्थ P(X > 84) ≈ 6.68% है। यह P(X < 84) का पूरक है। पहले वांछित क्षेत्र तय करें।
- z को जल्दी पूर्णांकित करना: z = 1.96 और z = 2 के ऊपर के क्षेत्रफल लगभग 2.50% और 2.28% हैं। छोटा अंतर भी पूँछ की प्रायिकता को प्रभावित करता है। मूल अंकों की सटीकता गणना के अंत तक रखें।
- < और ≤ में अनावश्यक अंतर करना: सतत सामान्य वितरण में एक सटीक मान की प्रायिकता शून्य है, इसलिए P(X < 84) और P(X ≤ 84) बराबर हैं।
हल किए गए उदाहरण
एक मानक विचलन के भीतर (85 से 115)
- ज्ञात करें
- P(a < X < b)
- औसत μ
- 100
- मानक विचलन σ
- 15
- निचला मान a
- 85
- ऊपरी मान b
- 115
- परिणाम
- 0.682689
- z-स्कोर
- -1
- b का z-स्कोर
- 1
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 68–95–99.7 नियम
IQ का 95वाँ प्रतिशतक
- ज्ञात करें
- दिए गए क्षेत्रफल से x (प्रतिलोम)
- औसत μ
- 100
- मानक विचलन σ
- 15
- दिया गया क्षेत्रफल
- x के बाईं ओर (प्रतिशतक)
- क्षेत्रफल
- 95%
- परिणाम
- 124.672804
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: z₀.₉₅ = 1.644854 (z-सारणी)
IQ का केंद्रीय 95%
- ज्ञात करें
- दिए गए क्षेत्रफल से x (प्रतिलोम)
- औसत μ
- 100
- मानक विचलन σ
- 15
- दिया गया क्षेत्रफल
- केंद्रीय, μ − d और μ + d के बीच
- क्षेत्रफल
- 95%
- निचला मान μ − d
- 70.60054
- ऊपरी मान μ + d
- 129.39946
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: z₀.₉₇₅ = 1.959964
सवाल
z-स्कोर कैसे निकालें?
मान से औसत घटाकर मानक विचलन से भाग दें: z = (x − μ)/σ। औसत 100 और मानक विचलन 15 वाले पैमाने पर IQ 130 का z = (130 − 100)/15 = 2 है, यानी औसत से दो मानक विचलन ऊपर। ऋणात्मक z औसत से नीचे और z = 0 ठीक औसत पर है। z की कोई इकाई नहीं होती, इसलिए अलग पैमानों पर सापेक्ष स्थिति की तुलना की जा सकती है।
68–95–99.7 नियम क्या है?
सामान्य वितरण में औसत से 1 मानक विचलन के भीतर 68.27%, 2 के भीतर 95.45% और 3 के भीतर 99.73% मान होते हैं। IQ के सामान्य मॉडल (औसत 100, मानक विचलन 15) में लगभग 68% मान 85–115 और 95% मान 70–130 के बीच हैं। केंद्रीय 95% का गुणक लगभग 1.959964 है, जिसे सामान्यतः 1.96 तक पूर्णांकित करते हैं, 2 तक नहीं; इसलिए विश्वास अंतरालों में 1.96 आता है।
z-स्कोर 1 का प्रतिशतक क्या है?
लगभग 84.13वाँ प्रतिशतक। प्रतिशतक, z के बाईं ओर के क्षेत्रफल Φ(z) का 100 गुना है। अन्य सन्निकट मान: z = 1.645 पर 95वाँ, z = 1.96 पर 97.5वाँ, z = 2 पर 97.72वाँ और z = −1 पर 15.87वाँ प्रतिशतक। यहाँ P(X < x) चुनें, औसत 0 और मानक विचलन 1 रखें तथा z-स्कोर को x के रूप में दर्ज करें।
मेरी z-सारणी में z = 2 पर 0.9772 के बजाय 0.4772 क्यों है?
वह सारणी ऋण अनंत से नहीं, 0 से z तक का क्षेत्रफल देती है। NIST/SEMATECH पुस्तिका की सामान्य सारणी (खंड 1.3.6.7.1) इसी प्रकार की है: z = 2.00 पर 0.47725। औसत से नीचे का 0.5 जोड़ने पर Φ(2) = 0.97725 मिलता है। संचयी सारणियाँ और इस कैलकुलेटर का P(X < x) सीधे 0.97725 देते हैं।
95% विश्वास स्तर के लिए कौन-सा z-स्कोर है?
दो-तरफ़ा 95% अंतराल के लिए लगभग 1.96, क्योंकि −1.96 और +1.96 के बाहर प्रत्येक ओर लगभग 2.5% क्षेत्रफल है। एक-तरफ़ा 95% सीमा के लिए लगभग 1.645 लें। दो-तरफ़ा 90% और 99% के गुणक लगभग 1.645 और 2.576 हैं। इन्हें निकालने के लिए दिए गए क्षेत्रफल से x वाला विकल्प, औसत 0, मानक विचलन 1 और केंद्रीय क्षेत्रफल चुनें।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.6.6.1 Normal distribution and §1.3.6.7.1 cumulative normal table
- Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §26.2 (normal probability function)
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।