प्रक्षेप्य गति कैलकुलेटर: किसी भी प्रक्षेपण कोण और ऊँचाई के लिए परास, अधिकतम ऊँचाई, उड़ान का समय और टकराने की चाल, पृथ्वी या दूसरे ग्रहों पर, वायु-प्रतिरोध सहित।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 6
प्रक्षेप्य 2.884 s तक उड़ता है, ज़मीन से 10.2 m की अधिकतम ऊँचाई तक जाता है और 40.79 m दूर 20 m/s की चाल से गिरता है।
प्रक्षेपण वेग दो भागों में बँटता है: क्षैतिज भाग v cos θ, जो स्थिर रहता है, और ऊर्ध्वाधर भाग v sin θ, जिसे गुरुत्व हर सेकंड g से घटाता है। उड़ान का समय वह क्षण है जब ऊँचाई फिर ज़मीन पर लौटती है, जो ऊर्ध्वाधर गति हल करके मिलता है; परास क्षैतिज चाल × उड़ान का समय है। समतल ज़मीन पर यह R = v² sin 2θ ÷ g बन जाता है।
यह गृहकार्य के प्रश्नों और खेल या पानी की धार के अनुमानों में काम आता है। डिफ़ॉल्ट प्रक्षेपण, पृथ्वी पर 45° पर 20 m/s, 10.20 m की अधिकतम ऊँचाई तक जाता है और 2.88 s बाद 40.79 m दूर गिरता है। वही प्रक्षेपण चंद्रमा पर, जहाँ g = 1.62 m/s² है, 246.9 m जाता है।
वायु-प्रतिरोध विकल्प के बिना वायु-प्रतिरोध, घूर्णन और पृथ्वी की वक्रता की उपेक्षा होती है, जिससे तेज़ या हल्की वस्तुओं का परास बढ़ा-चढ़ाकर आता है। रैखिक कर्षण विकल्प दिखाता है कि कर्षण पथ को कैसे छोटा और अधिक ढलवाँ बनाता है; खेल की चालों पर असली गेंदों पर कर्षण v² के अधिक निकट होता है, इसलिए उस परिणाम को केवल रुझान मानें।
यह कैलकुलेटर किसी भी प्रक्षेपण चाल, कोण और ऊँचाई के लिए प्रक्षेप्य गति (projectile motion) का परास, अधिकतम ऊँचाई, उड़ान का समय और टकराने की चाल निकालता है। समतल ज़मीन पर वायु-प्रतिरोध के बिना परास R = v² sin(2θ) ÷ g है। डिफ़ॉल्ट में पृथ्वी पर (g = 9.80665 m/s²) 20 m/s से 45° पर फेंकी गई गेंद 2.88 s बाद 40.79 m दूर गिरती है और उसकी अधिकतम ऊँचाई 10.20 m है। प्रक्षेपण बिंदु ऊँचा हो तो यह सूत्र नहीं चलता; तब पहले उड़ान का समय निकालना होता है।
प्रक्षेपण वेग को घटकों में बाँटें और हर दिशा को अलग से हल करें, जैसा OpenStax University Physics, खंड 4.3 में किया गया है। 20 m/s, 45° वाले प्रक्षेपण के लिए:
कर्षण न हो तो प्रक्षेप्य अपनी प्रक्षेपण चाल, 20 m/s, से और क्षैतिज से 45° नीचे के कोण पर ज़मीन से टकराता है। पथ परवलय है, और चढ़ाई व उतराई एक-दूसरे का दर्पण हैं।
जब प्रक्षेपण बिंदु गिरने वाली ज़मीन से h ऊपर हो, तो उड़ान का समय h + vy·t − ½gt² = 0 का धनात्मक मूल है: T = (vy + √(vy² + 2gh)) ÷ g। परास अब भी vx × T है, और शिखर H = h + vy² ÷ 2g है।
10 m ऊँची चट्टान से 15 m/s और 30° पर फेंका गया पत्थर 2.385 s हवा में रहता है, 30.98 m दूर गिरता है और चट्टान के तल से 12.87 m ऊपर तक जाता है। वह 20.52 m/s से, क्षैतिज से 50.73° नीचे टकराता है।
क्षैतिज प्रक्षेपण चलते-चलते बस गिरता है: T = √(2h ÷ g)। 20 m ऊँचाई से 10 m/s पर T = 2.020 s और परास 20.20 m है।
नीचे की ओर कोण वाला प्रक्षेपण जल्दी गिरता है, और उसका उच्चतम बिंदु प्रक्षेपण ऊँचाई ही है। उसी 10 m की चट्टान से 15 m/s और −20° पर पत्थर 0.998 s बाद 14.06 m दूर गिरता है।
समतल ज़मीन पर 45° सबसे दूर फेंकता है, क्योंकि sin 2θ तब अधिकतम होता है जब 2θ = 90°। 30° और 60° जैसे पूरक कोण एक ही जगह गिरते हैं, हालाँकि अधिक खड़ा प्रक्षेपण ऊँचा और देर तक उड़ता है।
ऊँचा प्रक्षेपण बिंदु सबसे अच्छे कोण को 45° से नीचे ले आता है, और वायु-प्रतिरोध भी यही करता है। 10 m की चट्टान से 15 m/s पर सबसे अच्छा कोण लगभग 36.2° है, जो 31.4 m तक पहुँचता है, जबकि 45° पर परास 30.5 m है।
परास, ऊँचाई और उड़ान का समय तीनों 1/g के अनुपात में बदलते हैं। वही 20 m/s, 45° का प्रक्षेपण, NASA की ग्रह फ़ैक्ट शीटों के पृष्ठीय गुरुत्व के साथ:
पृथ्वी का मान मानक गुरुत्व है। स्थानीय मान अक्षांश और ऊँचाई के साथ थोड़ा बदलता है।
रैखिक कर्षण मॉडल F = −b·v बल लगाता है, जहाँ kg/s में b उसकी तीव्रता तय करता है। यह b उस विमाहीन कर्षण गुणांक से अलग राशि है जो v² कर्षण के साथ इस्तेमाल होता है।
तब गति k = b/m पर निर्भर करती है। b = 0.01 kg/s वाली 0.145 kg की गेंद के लिए k = 0.069 s⁻¹ है और सीमांत चाल g/k = 142.2 m/s है।
20 m/s और 45° पर फेंकी गई वह गेंद 40.79 m की जगह 35.95 m दूर गिरती है, लगभग 12% कम। उसकी अधिकतम ऊँचाई 9.57 m है और वह चढ़ाई से अधिक ढलवाँ उतरती है, 45° की जगह 48.7° पर।
रैखिक कर्षण छोटी और धीमी वस्तुओं पर ठीक बैठता है। खेल की चालों पर गेंद पर कर्षण v² के अधिक निकट होता है, इसलिए कर्षण वाले परिणाम को रुझान मानें (Taylor, Classical Mechanics, खंड 2.2 और 2.3)।
डिफ़ॉल्ट ज़मीन से 45° पर 20 m/s है। क्षैतिज वाली पंक्ति 20 m ऊँचाई से 0° पर 10 m/s है, और रैखिक कर्षण वाली पंक्ति वही 20 m/s, 45° प्रक्षेपण है, 0.145 kg की गेंद और b = 0.01 kg/s के साथ। सभी में पृथ्वी का गुरुत्व है।
| स्थिति | परास (m) | अधिकतम ऊँचाई (m) | उड़ान का समय (s) |
|---|---|---|---|
| डिफ़ॉल्ट | 40.7886 | 10.1972 | 2.88419 |
| क्षैतिज | 20.1962 | 20 | 2.01962 |
| रैखिक कर्षण | 35.9451 | 9.56778 | 2.79449 |
सरल रेखा में एकसमान त्वरण वाली गति के लिए शुद्धगतिकी कैलकुलेटर इस्तेमाल करें। जब दूरी के साथ गुरुत्व कमज़ोर पड़ता है, जैसे उपग्रहों के लिए, तो गुरुत्वाकर्षण और कक्षा कैलकुलेटर है।
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
समतल ज़मीन पर वायु-प्रतिरोध के बिना 45° सबसे लंबा परास देता है, क्योंकि R = v² sin 2θ ÷ g और sin 2θ तब अधिकतम होता है जब 2θ = 90°। ऊँचाई से प्रक्षेपण करने पर सबसे अच्छा कोण नीचे खिसकता है: 10 m ऊँची चट्टान से 15 m/s पर यह लगभग 36.2° है, जो 31.4 m तक पहुँचता है, जबकि 45° पर 30.5 m। वायु-प्रतिरोध भी सबसे अच्छे कोण को घटाता है।
समतल ज़मीन पर T = 2v sin θ ÷ g, इसलिए पृथ्वी पर 45° पर 20 m/s का प्रक्षेपण 2.88 s हवा में रहता है। प्रक्षेपण ऊँचाई h से h + v sin θ·t − ½gt² = 0 का धनात्मक मूल लें, जो T = (v sin θ + √(v² sin² θ + 2gh)) ÷ g है। उच्चतम बिंदु तक का समय v sin θ ÷ g है, जो समतल ज़मीन पर उड़ान के समय का आधा है।
समतल ज़मीन पर पूरक कोण एक-सा परास देते हैं, क्योंकि sin 2θ = sin(180° − 2θ)। 20 m/s पर 30° और 60° दोनों प्रक्षेपण 35.32 m दूर गिरते हैं। 60° वाला तीन गुना ऊँचा जाता है, 5.10 m के मुकाबले 15.30 m, और 2.04 s की जगह 3.53 s हवा में रहता है; जब पथ को किसी बाधा के ऊपर से गुज़रना हो, तब यह मायने रखता है।
यह वस्तु के द्रव्यमान, आकार और चाल पर निर्भर है। यहाँ के रैखिक मॉडल में 20 m/s और 45° पर b = 0.01 kg/s के साथ फेंकी गई 0.145 kg की गेंद 40.79 m की जगह 35.95 m दूर गिरती है, लगभग 12% कम, और 10.20 m की जगह 9.57 m की अधिकतम ऊँचाई तक जाती है। कर्षण से उतराई चढ़ाई से अधिक ढलवाँ हो जाती है, इसलिए पथ सममित परवलय नहीं रहता।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 6 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।