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अभिकेंद्र बल, जड़त्व आघूर्ण और बलाघूर्ण कैलकुलेटर

द्रव्यमान, चाल और त्रिज्या से अभिकेंद्र बल और त्वरण; rpm से rad/s और आवर्तकाल; नौ आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण; बल और आघूर्ण भुजा से बलाघूर्ण।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7

आज़माएँ
अभिकेंद्र बल
N
अभिकेंद्र बल: 8,000 N
सार्थक अंक: 6; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
अभिकेंद्र त्वरण
8m/s² / 0.815773g
चाल
20m/s / 72km/h
त्रिज्या
50m
कोणीय वेग
0.4rad/s
चक्कर प्रति मिनट
3.81972rpm
आवर्तकाल (एक चक्कर)
15.708s

1,000 kg को 50 m के वृत्त पर 20 m/s से बनाए रखने के लिए केंद्र की ओर 8,000 N चाहिए — यानी 0.816 g का त्वरण।

वेग स्पर्शरेखा की दिशा में, त्वरण केंद्र की ओर

1,000 kgv = 20 m/sF = 8,000 Nr = 50 m
गणना कैसे होती है S

  1. अभिकेंद्र बल

    Fc=mv2r=(1,000)(20)250=8,000 NF_c = \frac{mv^2}{r} = \frac{(1{,}000)(20)^2}{50} = 8{,}000\ \mathrm{N}

  2. अभिकेंद्र त्वरण

    ac=v2r=8 m/s2=0.8158 ga_c = \frac{v^2}{r} = 8\ \mathrm{m/s^2} = 0.8158\,g

  3. कोणीय वेग

    ω=vr=0.4 rad/s\omega = \frac{v}{r} = 0.4\ \mathrm{rad/s}

अभिकेंद्र बल, जड़त्व आघूर्ण और बलाघूर्ण कैलकुलेटर के बारे में

अभिकेंद्र बल वह भीतर की ओर का खिंचाव है जो किसी द्रव्यमान को वृत्तीय पथ पर बनाए रखता है: F = mv²/r, और अभिकेंद्र त्वरण a = v²/r = ω²r केंद्र की ओर होता है। बाकी मोड घूर्णन दर को rpm, rad/s, हर्ट्ज़ और आवर्तकाल के बीच बदलते हैं (ω = 2πf), नौ मानक आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण I देते हैं, और बलाघूर्ण τ = rF sin θ और कोणीय त्वरण α = τ/I निकालते हैं।

डिफ़ॉल्ट में 1,000 kg की कार 20 m/s (72 km/h) पर 50 m त्रिज्या का मोड़ लेती है। टायरों को 8,000 N की पार्श्व पकड़ देनी होती है, जो 8 m/s² या 0.816 g का त्वरण है। बलाघूर्ण मोड में 0.3 m के रिंच पर 90° पर 50 N का धक्का 15 N·m देता है।

परिणाम एकसमान वृत्तीय गति और समान घनत्व वाले दृढ़ पिंड मानते हैं। अक्ष से दूर का द्रव्यमान I बढ़ाता है, इसलिए समान द्रव्यमान और त्रिज्या वाली पतली वलय का जड़त्व आघूर्ण ठोस चकती का दोगुना होता है।

अभिकेंद्र बल कैसे निकालें

यह कैलकुलेटर चार काम करता है: द्रव्यमान, चाल और त्रिज्या से अभिकेंद्र बल (centripetal force) और त्वरण, rpm से rad/s और आवर्तकाल, नौ मानक आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia), और बल व आघूर्ण भुजा से बलाघूर्ण (torque)। अभिकेंद्र बल F = mv²/r है: द्रव्यमान गुणा चाल का वर्ग, भाग वृत्त की त्रिज्या। डिफ़ॉल्ट में 50 m के मोड़ पर 20 m/s (72 km/h) से चलती 1,000 kg की कार को 1,000 × 20² ÷ 50 = 8,000 N भीतर की ओर का बल चाहिए, जो 8 m/s² या 0.816 g का त्वरण है।

अभिकेंद्र त्वरण और बल कौन देता है

त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर होता है: a = v²/r = ω²r। चाल स्थिर रहती है, पर वेग की दिशा हर क्षण बदलती है, और उस बदलाव के लिए भीतर की ओर नेट बल चाहिए।

अभिकेंद्र बल कोई अलग बल नहीं, बल्कि वह काम है जो दूसरे बल करते हैं। मुड़ती कार के लिए इसे टायरों का घर्षण देता है, घुमाई जा रही गेंद के लिए डोरी का तनाव, और उपग्रह के लिए गुरुत्व।

चाल का असर सबसे अधिक है, क्योंकि उसका वर्ग होता है। 40 m/s पर वही कार 32,000 N माँगती है, चार गुना। 20 m/s पर 100 m के मोड़ पर 4,000 N, आधा।

चाल के लिए हल करने पर v = √(Fr/m)। 2 m के वृत्त पर चलते 10 kg द्रव्यमान पर 500 N का भीतरी बल 10 m/s की चाल की अनुमति देता है।

rpm को rad/s में कैसे बदलें

एक चक्कर 2π रेडियन है, इसलिए ω = 2π × rpm ÷ 60, या rpm × 0.10472। 3,000 rpm, 314.159 rad/s यानी 50 चक्कर प्रति सेकंड है, और एक चक्कर में 0.02 s लगते हैं। वापस बदलने के लिए rad/s को 9.5493 से गुणा करें। कोणीय वेग (angular velocity) ω की SI इकाई rad/s है।

त्रिज्या r पर स्थित बिंदु v = ωr से चलता है। 3,000 rpm वाले रोटर की अक्ष से 0.1 m पर यह 31.42 m/s है, और अभिकेंद्र त्वरण ω²r = 9,870 m/s², यानी लगभग 1,006 g।

सामान्य आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण

घूर्णन में जड़त्व आघूर्ण I वही भूमिका निभाता है जो रैखिक गति में द्रव्यमान: द्रव्यमान अक्ष से जितना दूर, I उतना बड़ा। द्रव्यमान M वाले एकसमान पिंड के लिए (Serway और Jewett, तालिका 10.2):

  • त्रिज्या R पर बिंदु द्रव्यमान, या पतली वलय: MR²
  • अपनी अक्ष के परितः ठोस चकती या बेलन: ½MR²
  • त्रिज्याओं R₁ और R₂ वाला मोटी दीवार का बेलन: ½M(R₁² + R₂²)
  • ठोस गोला: ⅖MR²
  • पतला गोलीय कोश: ⅔MR²
  • लंबाई L की पतली छड़, केंद्र के परितः: ML²/12; एक सिरे के परितः: ML²/3
  • भुजाओं a और b वाली आयताकार प्लेट, केंद्र से होकर उसके लंबवत अक्ष के परितः: M(a² + b²)/12

R = 0.2 m पर 5 kg के लिए वलय 0.2 kg·m², ठोस चकती 0.1 kg·m² और ठोस गोला 0.08 kg·m² देता है। 2 kg, 3 m की छड़ का I केंद्र के परितः 1.5 kg·m² है, पर एक सिरे के परितः 6 kg·m² (OpenStax)। जड़त्व मोड में कैलकुलेटर समान द्रव्यमान वाली दूसरी आकृतियों से तुलना का चार्ट भी दिखाता है, ताकि दिखे कि द्रव्यमान का स्थान कितना मायने रखता है।

घूर्णन ऊर्जा और कोणीय संवेग

घूमता पिंड KE = ½Iω² ऊर्जा संचित करता है और L = Iω कोणीय संवेग रखता है। अपने सिरे के परितः 60 rpm (ω = 2π rad/s) पर घूमती 2 kg की छड़ 118.4 J संचित करती है और उसका L = 37.70 kg·m²/s है।

बलाघूर्ण कैसे निकालें

बलाघूर्ण τ = rF sin θ है, जहाँ r अक्ष से उस बिंदु तक की दूरी है जहाँ बल लगता है और θ भुजा और बल के बीच का कोण है। 0.3 m के रिंच पर 90° पर 50 N का धक्का 15 N·m देता है, यानी 11.06 lbf·ft।

30° पर वही धक्का 7.5 N·m देता है, और हैंडल की सीध में कुछ नहीं। नेट बलाघूर्ण को जड़त्व आघूर्ण से भाग देने पर कोणीय त्वरण मिलता है, α = τ/I: 0.5 kg·m² पर 15 N·m से 30 rad/s² मिलता है।

घूर्णन परिणामों की तुलना

डिफ़ॉल्ट 50 m के मोड़ पर 20 m/s से 1,000 kg की कार है। "कोणीय rpm" 3,000 rpm है, "जड़त्व: गोला" 0.2 m त्रिज्या का 5 kg का ठोस गोला है, और "बलाघूर्ण" 0.3 m भुजा पर 90° पर 50 N है।

स्थितिचुना गया परिणाम
डिफ़ॉल्ट8,000 N
कोणीय rpm314.159 rad/s
जड़त्व: गोला0.08 kg·m²
बलाघूर्ण15 N·m

आम ग़लतियाँ

  • व्यास को त्रिज्या मान लेना। r दोगुना करने से अभिकेंद्र बल आधा और जड़त्व आघूर्ण चार गुना हो जाता है।
  • rad/s की जगह rpm दर्ज करना। 3,000 rpm, 314 rad/s है, 3,000 नहीं।
  • अभिकेंद्र बल को दूसरे बलों में जोड़ देना। यह उन्हीं बलों से बना भीतर की ओर का नेट बल है, कोई अतिरिक्त बल नहीं।
  • अक्ष की अनदेखी। सिरे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण केंद्र के परितः वाले का चार गुना है।
  • बलाघूर्ण का कोण ग़लत रेखा से मापना। θ भुजा और बल के बीच है, इसलिए हैंडल के लंबवत धक्का 90° है।
  • km/h और m/s मिलाना। 72 km/h, 20 m/s है; 72 को m/s मानने से बल 12.96 गुना अधिक आता है।

इकाइयाँ और माप

  • घूर्णन दर rpm, rad/s या Hz में, और चाल m/s, km/h या mph में दी जा सकती है।
  • माप त्रिज्याएँ हैं, व्यास नहीं; मोटे बेलन के लिए बाहरी और भीतरी दोनों त्रिज्याएँ चाहिए।
  • वैकल्पिक घूर्णन दर जड़त्व आघूर्ण के साथ गतिज ऊर्जा और कोणीय संवेग जोड़ती है।
  • kg·m² में वैकल्पिक जड़त्व आघूर्ण बलाघूर्ण को कोणीय त्वरण में बदलता है।

मोड़ के पीछे के बलों के लिए बल और घर्षण कैलकुलेटर इस्तेमाल करें। बलाघूर्ण और rpm को इंजन की शक्ति में बदलने के लिए अश्वशक्ति कैलकुलेटर है, और कक्षाओं के लिए गुरुत्वाकर्षण और कक्षा कैलकुलेटर।

हल किए गए उदाहरण

50 m के मोड़ पर 20 m/s से 1000 kg की कार

गणना करें
अभिकेंद्र बल
क्या निकालना है
बल
द्रव्यमान
1000 kg
चाल
20 m/s
वृत्त की त्रिज्या
50 m
अभिकेंद्र बल
8,000 उत्तर
अभिकेंद्र त्वरण
8 m/s²
कोणीय वेग
0.4 rad/s

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

2 m पर 10 kg के लिए 500 N माँगने वाली चाल

गणना करें
अभिकेंद्र बल
क्या निकालना है
चाल
द्रव्यमान
10 kg
वृत्त की त्रिज्या
2 m
अभिकेंद्र बल
500 N
चाल
10 m/s

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

10 cm पर 3000 rpm

गणना करें
कोणीय वेग
वृत्त की त्रिज्या
0.1 m
घूर्णन दर
3000 rpm
कोणीय वेग
314.159 rad/s
आवृत्ति
50 Hz
आवर्तकाल (एक चक्कर)
0.02 s
चाल
31.4159 m/s

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

ठोस गोला 5 kg, R = 0.2 m

गणना करें
जड़त्व आघूर्ण
पिंड का द्रव्यमान
5 kg
आकृति और अक्ष
ठोस गोला (केंद्र से होकर)
त्रिज्या R (मोटे बेलन के लिए बाहरी R₁)
0.2 m
जड़त्व आघूर्ण
0.08 kg·m²

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: Serway तालिका 10.2: I = 2/5 MR² = 0.4 × 5 × 0.04

सवाल

अभिकेंद्र बल का सूत्र क्या है?

F = mv²/r, जहाँ द्रव्यमान m किलोग्राम में, चाल v मीटर प्रति सेकंड में और त्रिज्या r मीटर में हो, तो उत्तर न्यूटन में आता है। समतुल्य रूप F = mω²r और F = 4π²mr/T² हैं। चाल दोगुनी करने पर बल चार गुना और त्रिज्या दोगुनी करने पर आधा हो जाता है: 50 m के मोड़ पर 20 m/s से चलती 1,000 kg की कार को 8,000 N चाहिए, और 40 m/s पर 32,000 N चाहिए होंगे।

rpm को rad/s में कैसे बदलें?

rpm को 2π/60 से, यानी लगभग 0.10472 से गुणा करें। 3,000 rpm, 314.159 rad/s या 50 चक्कर प्रति सेकंड (50 Hz) है, इसलिए एक चक्कर में 0.02 s लगते हैं। वापस बदलने के लिए rad/s को 60/(2π), यानी लगभग 9.5493 से गुणा करें। रेडियन समतल कोण की सुसंगत SI इकाई है (BIPM SI Brochure), इसलिए rad/s कोणीय वेग की SI इकाई है।

क्या अपकेंद्र बल वास्तविक है?

जड़त्वीय, न घूमने वाले संदर्भ फ़्रेम में नहीं: वहाँ मुड़ती कार पर एकमात्र क्षैतिज बल टायरों से मिलने वाला भीतर की ओर का अभिकेंद्र बल है। अपकेंद्र बल केवल तब दिखता है जब गति को घूमते फ़्रेम के भीतर से देखा जाए, जहाँ इसका परिमाण वही mv²/r होता है और दिशा बाहर की ओर। यात्री को जो बाहर का धक्का महसूस होता है, वह उसके शरीर का जड़त्व है जो उसे सीधी रेखा में ले जाना चाहता है जबकि कार मुड़ती है।

ठोस चकती का जड़त्व आघूर्ण क्या है?

केंद्रीय अक्ष के परितः I = ½MR², इसलिए 0.2 m त्रिज्या वाली 5 kg की चकती का I = 0.5 × 5 × 0.2² = 0.1 kg·m² है। दूसरे मानक परिणाम हैं: पतली वलय के लिए MR², ठोस गोले के लिए ⅖MR², पतले गोलीय कोश के लिए ⅔MR², और पतली छड़ के केंद्र या एक सिरे के परितः ML²/12 या ML²/3 (Serway और Jewett, तालिका 10.2)।

बलाघूर्ण कैसे निकालें?

बलाघूर्ण τ = rF sin θ है, जहाँ r अक्ष से उस बिंदु तक की दूरी है जहाँ बल लगता है और θ भुजा और बल के बीच का कोण है। 0.3 m के रिंच पर 90° पर 50 N का धक्का 15 N·m देता है; वही धक्का हैंडल की सीध में (θ = 0°) कोई बलाघूर्ण नहीं देता। एक न्यूटन-मीटर 0.7376 पाउंड-बल फ़ुट है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

ac=v2r=ω2r,Fc=mv2r,ω=2πf=2π rpm60,I=∑mr2,τ=rFsin⁡θ=Iαa_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r,\quad F_c = \frac{mv^2}{r},\quad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi\,\text{rpm}}{60},\quad I = \sum m r^2,\quad \tau = rF\sin\theta = I\alpha

स्रोत

  1. OpenStax University Physics Volume 1, §6.3 Centripetal force; §10.5 Calculating moments of inertia; §10.6 Torque
  2. Serway & Jewett, Physics for Scientists and Engineers, Table 10.2 — Moments of inertia of homogeneous rigid objects

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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