x² − 4x + 1 (अपरिमेय मूल)
- a (x² का गुणांक)
- 1
- b (x का गुणांक)
- -4
- c (अचर पद)
- 1
- मूल
- x = 2 ± √3
- छोटा मूल x₁
- 0.2679491924
- बड़ा मूल x₂
- 3.7320508076
- विविक्तकर b² − 4ac
- 12
- शीर्ष का y (न्यूनतम या अधिकतम)
- -3
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
द्विघात समीकरण हल करने वाला कैलकुलेटर
द्विघात सूत्र से ax² + bx + c = 0 हल करें: करणी या सम्मिश्र संख्याओं में सटीक मूल, विविक्तकर, शीर्ष, सममिति अक्ष और ग्राफ।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7
मूल
x = 2 ± √3
मूल: x = 2 ± √3
- छोटा मूल x₁
- 0.2679491924
- बड़ा मूल x₂
- 3.7320508076
- विविक्तकर b² − 4ac
- 12
- मूलों का प्रकार
- दो अलग वास्तविक मूल
- शीर्ष का x (सममिति अक्ष)
- 2
- शीर्ष का y (न्यूनतम या अधिकतम)
- −3
विविक्तकर धनात्मक (12) है, इसलिए परवलय x-अक्ष को दो बार काटता है: x = 2 ± √3। यह ऊपर खुलता है और शीर्ष न्यूनतम है; x = 2 पर मान −3 है।
y = x² − 4x + 1
गणना कैसे होती है S
विविक्तकर
द्विघात सूत्र
वर्गमूल सरल करें
मूल
शीर्ष
द्विघात समीकरण हल करने वाला कैलकुलेटर के बारे में
a ≠ 0 वाले द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a हैं। विविक्तकर Δ = b² − 4ac उनका प्रकार बताता है: Δ > 0 पर दो वास्तविक मूल, Δ = 0 पर एक दोहरा मूल और Δ < 0 पर सम्मिश्र संयुग्मी मूलों का जोड़ा। परवलय y = ax² + bx + c का शीर्ष उसके सममिति अक्ष x = −b/2a पर होता है।
प्रक्षेप्य की ऊँचाई, एक अज्ञात भुजा वाले क्षेत्रफल और लाभ-हानि बराबर होने के बिंदु द्विघात समीकरण दे सकते हैं। पहले से दिए x² − 4x + 1 = 0 में Δ = 12 है, इसलिए मूल x = 2 ± √3, लगभग 0.2679 और 3.7321 हैं, तथा शीर्ष (2, −3) है।
मूल भिन्नों, सरलीकृत करणी या सम्मिश्र संख्याओं के सटीक रूप में और 10 दशमलव स्थानों तक दिए जाते हैं। दशमलव गणना Numerical Recipes के ऐसे रूप का उपयोग करती है जो लगभग बराबर संख्याओं के घटाव से होने वाली त्रुटि से बचता है, ताकि बड़े मूल के साथ छोटा मूल भी सटीक रहे। a = 0 पर समीकरण रैखिक है, द्विघात नहीं।
द्विघात सूत्र कहाँ से आता है
सामान्य समीकरण ax² + bx + c = 0 में संख्याओं की जगह अक्षरों के साथ पूर्ण वर्ग बनाने पर यह सूत्र मिलता है:
- a से भाग दें, जो a ≠ 0 होने के कारण मान्य है: x² + (b/a)x + c/a = 0।
- अचर पद दूसरी ओर ले जाएँ: x² + (b/a)x = −c/a।
- दोनों ओर (b/2a)² जोड़ें, जिससे बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बने: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a²।
- दोनों चिह्न रखते हुए वर्गमूल लें: x + b/2a = ±√(b² − 4ac)/2a।
- b/2a घटाएँ: x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a।
चरण 4 में विविक्तकर आता है। चरण 3 के दाएँ पक्ष का हर 4a² धनात्मक है, इसलिए केवल b² − 4ac का चिह्न तय करता है कि वास्तविक वर्गमूल है या नहीं।
विविक्तकर क्या बताता है
पूर्णांक या भिन्नात्मक गुणांकों के लिए Δ = b² − 4ac हर द्विघात को चार स्थितियों में बाँटता है।
| विविक्तकर Δ | मूल | y = ax² + bx + c का आलेख | उदाहरण | Δ | उदाहरण के मूल |
|---|---|---|---|---|---|
| धनात्मक पूर्ण वर्ग | दो परिमेय मूल | x-अक्ष को दो बार काटता है | 3x² − 5x − 2 | 49 | −1/3 और 2 |
| धनात्मक, पूर्ण वर्ग नहीं | दो अपरिमेय मूल, a ± √ का जोड़ा | x-अक्ष को दो बार काटता है | x² + 6x + 4 | 20 | −3 ± √5 |
| शून्य | एक दोहरा मूल | शीर्ष पर x-अक्ष को छूता है | 4x² − 12x + 9 | 0 | 3/2 |
| ऋणात्मक | दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल | x-अक्ष के एक ओर रहता है | x² − 4x + 13 | −36 | 2 ± 3i |
सूत्र लगाने से पहले पहली पंक्ति जाँचें: पूर्ण-वर्ग विविक्तकर होने पर द्विघात का गुणनखंडन पूर्णांकों या भिन्नों में किया जा सकता है। मापों से आए दशमलव गुणांकों में पूर्ण-वर्ग स्थिति कम मिलती है, इसलिए सूत्र अधिक व्यावहारिक है।
हल किया उदाहरण: ज्ञात क्षेत्रफल वाला बगीचा
एक आयताकार बगीचे की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 m अधिक है और क्षेत्रफल 40 m² है। चौड़ाई w हो तो w(w + 3) = 40। सभी पद एक ओर लाने पर मानक रूप w² + 3w − 40 = 0 मिलता है, इसलिए a = 1, b = 3 और c = −40।
- विविक्तकर: Δ = 3² − 4 × 1 × (−40) = 9 + 160 = 169।
- वर्गमूल: √169 = 13, जो पूर्णांक है, इसलिए मूल परिमेय हैं।
- सूत्र: w = (−3 ± 13)/2, जिससे w = 10/2 = 5 या w = −16/2 = −8।
- अर्थ: चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए बगीचा 5 m चौड़ा और 8 m लंबा है। जाँच: 5 × 8 = 40।
a = 1, b = 3, c = −40 डालने पर सॉल्वर x₁ = −8 और x₂ = 5 देता है। दोनों मूल समीकरण हल करते हैं, इसलिए दोनों दिखते हैं; कौन-सा छोड़ना है, यह समस्या के संदर्भ पर निर्भर है।
प्रक्षेप्य में भी एक मूल छोड़ना पड़ सकता है। 1.5 m की ऊँचाई से 14 m/s की गति पर ऊपर फेंकी गेंद के लिए g = 9.8 m/s² लेने पर t सेकंड बाद ऊँचाई h = −4.9t² + 14t + 1.5 मीटर है। h = 0 रखने पर Δ = 14² − 4 × (−4.9) × 1.5 = 225.4 मिलता है। सॉल्वर सटीक मूल (10 ± √115)/7 दिखाता है, लगभग −0.1034 और 2.9605। ऋणात्मक समय फेंकने से पहले का है, इसलिए गेंद 2.96 s बाद गिरती है। t = 1.4286 और h = 11.5 पर शीर्ष उड़ान का सबसे ऊँचा बिंदु है: 1.43 s बाद 11.5 m।
गुणनखंडन और पूर्ण वर्ग बनाना
विविक्तकर पूर्ण वर्ग हो तो गुणनखंडन अक्सर सूत्र से तेज़ होता है। अग्र गुणांक 1 न हो तो ac विधि उपयोगी है। 6x² + x − 2 = 0 के लिए:
- a और c गुणा करें: 6 × (−2) = −12।
- ऐसी दो संख्याएँ ढूँढ़ें जिनका गुणनफल −12 और योग b = 1 हो: 4 और −3।
- उनसे मध्य पद बाँटें: 6x² + 4x − 3x − 2।
- जोड़ों में गुणनखंड निकालें: 2x(3x + 2) − 1(3x + 2) = (2x − 1)(3x + 2)।
- हर गुणनखंड शून्य रखें: x = 1/2 या x = −2/3।
पूर्ण वर्ग बनाना हर द्विघात पर काम करता है और a = 1 तथा सम b पर सबसे तेज़ होता है। x² + 6x − 7 = 0 में अचर पद हटाकर x² + 6x = 7 करें। दोनों ओर (6/2)² = 9 जोड़ने पर (x + 3)² = 16 मिलता है। वर्गमूल लें: x + 3 = ±4, इसलिए x = 1 या x = −7। यह ऊपर सूत्र निकालने वाली प्रक्रिया ही है, अब संख्याओं के साथ।
शीर्ष रूप और सममिति अक्ष
व्यंजक को शून्य रखे बिना पूर्ण वर्ग बनाने से y = ax² + bx + c का शीर्ष रूप y = a(x − h)² + k मिलता है, जहाँ h = −b/2a और k = c − b²/4a। y = 2x² − 8x + 3 के लिए:
- h = −(−8)/(2 × 2) = 2
- k = 3 − (−8)²/(4 × 2) = 3 − 8 = −5
- इसलिए y = 2(x − 2)² − 5, जिसका विस्तार फिर 2x² − 8x + 3 है।
शीर्ष रूप तीन बातें तुरंत बताता है। शीर्ष (2, −5) है; a = 2 धनात्मक है, इसलिए परवलय ऊपर खुलता है और −5 न्यूनतम है; सममिति अक्ष x = 2 है। y = 0 रखकर मूल मिलते हैं: 2(x − 2)² = 5, इसलिए x = 2 ± √(5/2)। सॉल्वर इसे (4 ± √10)/2 लिखता है, लगभग 0.4189 और 3.5811। दोनों अक्ष से 1.5811 की समान दूरी पर हैं, जैसा हर वास्तविक मूलों के जोड़े में होता है।
दो सरल जाँचें अधिकतर अंकगणितीय गलतियाँ पकड़ती हैं। किसी द्विघात के मूलों का योग −b/a और गुणनफल c/a होता है। यहाँ 0.4189 + 3.5811 = 4 = 8/2 और 0.4189 × 3.5811 लगभग 1.5 = 3/2 है। परवलय को अन्य वक्रों के साथ देखने के लिए ग्राफ़ कैलकुलेटर में बनाएँ।
सामान्य गलतियाँ और सीमांत स्थितियाँ
- समीकरण को मानक रूप में न लाना। a, b और c पढ़ने से पहले x² = 3x + 4 को x² − 3x − 4 = 0 करना होगा; इसके मूल −1 और 4 हैं। मूल समीकरण से b को +3 पढ़ने पर गलत जोड़ा मिलेगा।
- b का चिह्न भूलना। b ऋणात्मक हो तो −b धनात्मक होता है: 2x² − 8x + 3 में −b = 8। b² ऋणात्मक नहीं होता: (−8)² = 64। कैलकुलेटर में -8^2 लिखने पर −64 मिलता है, क्योंकि घात के बाद ऋण चिह्न लगता है। इसलिए वैज्ञानिक कैलकुलेटर में (-8)^2 जैसे कोष्ठक लगाएँ।
- अंश के केवल एक भाग को 2a से भाग देना। पूरा −b ± √Δ, 2a के ऊपर है। −b ± √Δ/2a लिखने पर केवल वर्गमूल वाला भाग विभाजित होता है।
- a को 0 रखना। x² पद के बिना समीकरण रैखिक bx + c = 0 है, जिसका एक मूल −c/b है। सॉल्वर शून्य से भाग देने के बजाय रुककर यह बताता है।
- बड़े मूल के साथ छोटे मूल को गलत गोल करना। x² + 100000000x + 1 = 0 के मूल लगभग −100000000 और −0.00000001 हैं। सामान्य दोहरी परिशुद्धता में −b + √Δ निकालते समय लगभग बराबर संख्याएँ घटती हैं और छोटा मूल −7.45 × 10⁻⁹ आता है, जिसका परिमाण लगभग 25% कम है। डेविड गोल्डबर्ग का फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित पर सर्वेक्षण (ACM Computing Surveys, 1991) इस त्रुटि और उससे बचाने वाले पुनर्व्यवस्थित सूत्र को समझाता है। सॉल्वर उस रूप का उपयोग 50-अंकीय दशमलवों के साथ करता है; उसका छोटा मूल −1.0000000000000001 × 10⁻⁸ दिखाए गए हर अंक तक सही है।
ऊपर के 2 ± 3i जैसे सम्मिश्र मूलों पर आगे की गणना सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर में करें। तीसरी से छठी घात के समीकरणों के लिए बहुपद मूल खोजक हर वास्तविक और सम्मिश्र मूल देता है।
हल किए गए उदाहरण
2x² + 3x − 5 (परिमेय मूल)
- a (x² का गुणांक)
- 2
- b (x का गुणांक)
- 3
- c (अचर पद)
- -5
- मूल
- x₁ = −5/2, x₂ = 1
- छोटा मूल x₁
- -2.5
- बड़ा मूल x₂
- 1
- विविक्तकर b² − 4ac
- 49
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: Δ = 9 + 40 = 49, (−3 ± 7)/4
x² + 2x + 5 (सम्मिश्र मूल)
- a (x² का गुणांक)
- 1
- b (x का गुणांक)
- 2
- c (अचर पद)
- 5
- मूल
- x = −1 ± 2i
- वास्तविक भाग (सम्मिश्र मूल)
- -1
- काल्पनिक भाग (±)
- 2
- मूलों का प्रकार
- दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
x² − 6x + 9 (दोहरा मूल, सीमांत स्थिति)
- a (x² का गुणांक)
- 1
- b (x का गुणांक)
- -6
- c (अचर पद)
- 9
- मूल
- x = 3 (double root)
- छोटा मूल x₁
- 3
- बड़ा मूल x₂
- 3
- विविक्तकर b² − 4ac
- 0
- मूलों का प्रकार
- एक दोहरा वास्तविक मूल
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: हाथ से (x − 3)² का विस्तार
सवाल
द्विघात सूत्र क्या है?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a से ax² + bx + c = 0 के दोनों हल मिलते हैं। 2x² + 3x − 5 = 0 में a = 2, b = 3 और c = −5, इसलिए x = (−3 ± √49)/4 = (−3 ± 7)/4, यानी x = 1 और x = −5/2। यह सूत्र पूर्ण वर्ग बनाने से मिलता है और a ≠ 0 वाले हर द्विघात पर लागू होता है।
विविक्तकर क्या बताता है?
विविक्तकर b² − 4ac वास्तविक मूलों की संख्या बताता है। धनात्मक होने पर दो अलग वास्तविक मूल हैं (x² − 4x + 1 में Δ = 12); शून्य पर एक दोहरा मूल है, जहाँ परवलय x-अक्ष को छूता है (x² − 6x + 9 में Δ = 0 और मूल 3); ऋणात्मक होने पर दो सम्मिश्र मूल हैं (x² + 2x + 5 में Δ = −16)। पूर्णांक गुणांकों में 49 जैसा पूर्ण-वर्ग विविक्तकर हो तो मूल परिमेय होते हैं।
परवलय का शीर्ष कैसे निकालें?
शीर्ष का x-निर्देशांक −b/2a है; इसे समीकरण में रखने पर y-निर्देशांक c − b²/4a मिलता है। y = x² − 4x + 1 के लिए x = 4/2 = 2 और y = 1 − 16/4 = −3। a > 0 पर परवलय ऊपर खुलता है और शीर्ष न्यूनतम है; a < 0 पर नीचे खुलता है और शीर्ष अधिकतम है।
द्विघात के सम्मिश्र मूल क्या होते हैं?
b² − 4ac ऋणात्मक हो तो सूत्र का वर्गमूल काल्पनिक होता है और मूल p ± qi के रूप में होते हैं, जहाँ i = √−1। x² + 2x + 5 = 0 में Δ = 4 − 20 = −16 और √−16 = 4i, इसलिए x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i। परवलय x-अक्ष को नहीं काटता और वास्तविक भाग −1 उसके शीर्ष का x-निर्देशांक है।
क्या द्विघात को गुणनखंडन से भी हल कर सकते हैं?
हाँ, जब मूल परिमेय हों। x² − 6x + 9 = (x − 3)², इसलिए x = 3 दोहरा मूल है। 2x² + 3x − 5 = (2x + 5)(x − 1), जिससे −5/2 और 1 मिलते हैं। x² − 4x + 1 का पूर्णांक गुणनखंडन नहीं होता, क्योंकि इसका विविक्तकर 12 पूर्ण वर्ग नहीं है; इसलिए सूत्र से 2 ± √3 मिलता है।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
- Wolfram MathWorld — Quadratic Equation
- Press et al., Numerical Recipes (3rd ed.) §5.6 — cancellation-free quadratic roots
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।