गाउस–जॉर्डन विलोपन से 2 से 5 युगपत रैखिक समीकरण सटीक हल करें; हर पंक्ति संक्रिया देखें और बिना हल या अनंत हल वाली स्थितियाँ पहचानें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 5
3 समीकरण ठीक एक बिंदु पर मिलते हैं: x = 2, y = 3, z = −1। सारणिक −1 अशून्य है, इसलिए हल अद्वितीय है।
अज्ञात: x, y, z।
रैखिक समीकरणों का निकाय संवर्धित आव्यूह [A | b] में लिखा जाता है, जहाँ हर पंक्ति एक समीकरण है। गाउस–जॉर्डन विलोपन में हर पिवट को 1 बनाकर उस पंक्ति के गुणज दूसरी पंक्तियों से घटाते हैं, जब तक गुणांक इकाई आव्यूह न बन जाएँ। अंतिम स्तंभ में हल बचता है। गणना सटीक भिन्नों से होती है, इसलिए 2x + 3y = 7, 4x − y = 1 से गोल दशमलव के बजाय x = 5/7 और y = 13/7 मिलते हैं।
युगपत समीकरण परिपथ विश्लेषण, मिश्रण और कीमत की समस्याओं तथा बीजगणित में आते हैं। पहले से दिया 3 × 3 उदाहरण विकिपीडिया के गाउसी विलोपन लेख से है: 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11, −2x + y + 2z = −3। इसका अद्वितीय हल x = 2, y = 3, z = −1 है।
रूशे–कैपेली प्रमेय के अनुसार A की कोटि अज्ञातों की संख्या के बराबर हो तो इस वर्ग निकाय का एक हल है; A और [A | b] की समान लेकिन छोटी कोटि पर अनंत हल हैं; दोनों की कोटियाँ अलग हों तो कोई हल नहीं है।
2x+3y=7 और 4x−y=1 के लिए दो पंक्तियाँ 2 3 7 और 4 -1 1 लिखें। अंतिम स्तंभ बराबर के दाएँ का मान है। हल x=5/7, y=13/7 है: 2×5/7+3×13/7=7 और 4×5/7−13/7=1।
छूटे चर का गुणांक 0 रखें। n चर के लिए हर पंक्ति में n गुणांक और एक स्थिरांक चाहिए। यह उपकरण 2–5 चर के उतने ही रैखिक समीकरण हल करता है; x² या xy वाले समीकरण रैखिक नहीं हैं।
Gauss–Jordan विधि पंक्ति अदला-बदली, गैर-शून्य संख्या से गुणा और दूसरी पंक्ति का गुणज जोड़कर संवर्धित आव्यूह को घटाती है। ये क्रियाएँ हलों का समुच्चय बनाए रखती हैं।
| समीकरण | प्रकार | हल |
|---|---|---|
| x + y = 2; x − y = 0 | एकमात्र हल | x = 1, y = 1 |
| 2x + 3y = 7; 4x − y = 1 | एकमात्र हल | x = 5/7, y = 13/7 |
| x + y = 1; 2x + 2y = 3 | कोई हल नहीं | समीकरण परस्पर विरोधी हैं |
| x + y = 2; 2x + 2y = 4 | अनंत हल | x = 2 − t, y = t |
सारणिक गैर-शून्य हो तो वर्ग गुणांक आव्यूह का एकमात्र हल है। सारणिक 0 होने से अकेले यह नहीं तय होता कि कोई हल नहीं या अनंत हल हैं: 0=1 जैसी पंक्ति विरोध बताती है, जबकि संगत निर्भर पंक्तियाँ मुक्त चर छोड़ती हैं।
सटीक भिन्न अंकगणित लिखे इनपुट को ठीक रखता है, माप की गलती नहीं सुधारता। x+y=2 और x+1.0001y=2.0001 का हल (1,1) है; केवल अंतिम स्थिरांक 2.0002 करने पर हल (0,2) हो जाता है। बड़ा condition number इसी संवेदनशीलता का संकेत है, किसी अज्ञात वास्तविक माप का सुधार नहीं।
व्युत्क्रम, rank और पंक्ति घटाव अलग देखने के लिए आव्यूह कैलकुलेटर खोलें। हर हल को मूल समीकरणों में वापस रखकर जाँचना उपयोगी है।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: विकिपीडिया का गाउसी विलोपन उदाहरण
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर 2x + 2y = 2 ≠ 3
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: पंक्ति 2 = 2 × पंक्ति 1; x = y और 2y + z = 6 (हाथ से विलोपन)
एक समय में एक चर हटाएँ। गाउस–जॉर्डन विलोपन में समीकरणों को आव्यूह में लिखते हैं, पहला गुणांक 1 बनाते हैं और उस पंक्ति के गुणज घटाकर बाकी समीकरणों से x हटाते हैं। फिर y और z के लिए दोहराते हैं। पहले से दिए निकाय में तीन दौर के बाद x = 2, y = 3, z = −1 मिलता है; 2x + y − z = 8 में रखने पर 4 + 3 + 1 = 8 है।
पंक्ति संक्रियाएँ करके वे पंक्तियाँ देखें जिनके सभी गुणांक 0 हो जाते हैं। 0 = 1 या 0 के किसी अशून्य संख्या के बराबर होने का अर्थ है कि कोई हल नहीं: x + y = 1 और 2x + 2y = 3 समांतर रेखाएँ हैं। 0 = 0 वाली पंक्ति बताती है कि एक समीकरण दोहराव है; संगत निकाय में इससे मुक्त चर और अनंत हल मिलते हैं। समीकरणों और अज्ञातों की संख्या बराबर हो तो सारणिक 0 इन दोनों स्थितियों में से एक बताता है।
क्रैमर का नियम हर अज्ञात को सारणिकों के अनुपात से देता है: x = det(Aₓ)/det(A), जहाँ Aₓ में A के x वाले स्तंभ की जगह अचर रखे जाते हैं। 2x + 3y = 7, 4x − y = 1 में det(A) = 2 × (−1) − 3 × 4 = −14 और det(Aₓ) = 7 × (−1) − 3 × 1 = −10, इसलिए x = 10/14 = 5/7। इसके लिए det(A) ≠ 0 चाहिए और 3 × 3 से आगे विलोपन की तुलना में बहुत अधिक गणना लगती है।
गाउसी विलोपन पंक्ति सोपान रूप, यानी त्रिकोणीय आव्यूह, पर रुकता है और अंतिम समीकरण से ऊपर की ओर पश्च प्रतिस्थापन करके अज्ञात निकालता है। गाउस–जॉर्डन तब तक चलता है जब तक गुणांक इकाई आव्यूह न बन जाएँ, जिससे हर पंक्ति से एक अज्ञात सीधे मिलता है। n समीकरणों में गाउस–जॉर्डन लगभग n³ अंकगणितीय संक्रियाएँ लेता है, जबकि गाउसी विधि लगभग 2n³/3; बदले में प्रतिस्थापन चरण बचता है।
यह सीमा बताती है कि गुणांकों या अचरों में छोटा सापेक्ष बदलाव हल में कितना बढ़ सकता है। ∞-नॉर्म रूप κ = ‖A‖∞ × ‖A⁻¹‖∞ है। पहले से दिए निकाय में ‖A‖∞ = 6 और ‖A⁻¹‖∞ = 10, इसलिए κ = 60। मोटे नियम से लगभग log₁₀ κ सार्थक अंकों का नुकसान हो सकता है, यहाँ लगभग 2; 10¹² के पास मान बताता है कि समीकरण लगभग आश्रित हैं।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 5 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।