Resuelve de forma exacta sistemas de 2 a 5 ecuaciones lineales por eliminación de Gauss–Jordan, con todas las operaciones por filas, e identifica los casos sin solución o con infinitas soluciones.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 5
Las 3 ecuaciones coinciden en un único punto: x = 2, y = 3, z = −1. El determinante es −1, distinto de cero, por lo que la solución es única.
Incógnitas: x, y, z.
Un sistema de ecuaciones lineales se escribe como una matriz ampliada [A | b], con una fila por ecuación. La eliminación de Gauss–Jordan escala cada fila pivote hasta que su pivote vale 1 y resta múltiplos de esa fila a las demás hasta obtener la matriz identidad en los coeficientes; la solución queda en la última columna. Se usan fracciones exactas: 2x + 3y = 7 y 4x − y = 1 dan x = 5/7 e y = 13/7, sin redondear a decimales.
Los sistemas de ecuaciones aparecen en análisis de circuitos, problemas de mezclas y precios y cursos de álgebra. El sistema inicial es el ejemplo 3 × 3 del artículo de Wikipedia sobre eliminación gaussiana: 2x + y − z = 8, −3x − y + 2z = −11 y −2x + y + 2z = −3, cuya solución única es x = 2, y = 3, z = −1.
Según el teorema de Rouché–Capelli, un sistema cuadrado tiene solución única si el rango de A es igual al número de incógnitas, infinitas soluciones si A y [A | b] tienen el mismo rango menor que ese número, y ninguna si sus rangos son distintos.
El solucionador admite sistemas cuadrados: desde dos ecuaciones con dos incógnitas hasta cinco ecuaciones con cinco incógnitas. Distingue una solución única, ninguna solución o infinitas soluciones. Introduce una fila numérica por ecuación y coloca el término independiente al final. El cuadro representa una matriz ampliada; necesita coeficientes, no ecuaciones escritas con nombres de variables. Las fracciones, como 1/2, permiten conservar valores racionales exactos.
El sistema inicial de tres ecuaciones devuelve x = 2, y = 3, z = −1. Su primera fila 2 1 -1 8 significa 2x + y − z = 8. Las otras representan −3x − y + 2z = −11 y −2x + y + 2z = −3. Mantén el mismo orden de incógnitas en todas las filas. Cuando una variable no aparezca, escribe un coeficiente cero en su columna.
Las respuestas de dos o tres incógnitas utilizan x, y y z. Con cuatro o cinco aparecen x₁,…,x₅. Anota la correspondencia entre esas columnas y los nombres del problema original. Cambiar las letras del enunciado no cambia el orden que espera la herramienta. El primer coeficiente de una fila y el primero de la siguiente deben representar siempre la misma incógnita, aunque alguna ecuación la escribiera en otra posición.
Lleva los términos con incógnitas a la izquierda y las constantes a la derecha. Por ejemplo, 2x = 7 − 3y se convierte en 2x + 3y = 7, cuya fila es 2 3 7. Para 4x − y = 1, la fila es 4 -1 1. Escribe ambas en líneas separadas:
2 3 7
4 -1 1
Se obtiene x = 5/7, y = 13/7. Sustituir en la primera ecuación da 10/7 + 39/7 = 7; hacerlo en la segunda da 20/7 − 13/7 = 1. Esta comprobación en todas las ecuaciones originales permite detectar errores de signos que podrían haberse introducido al cambiar términos de miembro. Verificar solo una ecuación no confirma que la pareja resuelva todo el sistema.
Los espacios o las comas separan entradas. También se admite una barra vertical o un signo igual antes de la constante, como en 2 3 | 7. Con n incógnitas necesitas n filas y n + 1 entradas por fila. Para dos ecuaciones son tres valores por línea; para tres, cuatro. Un cero omitido, una constante adicional o un salto de línea accidental cambia las dimensiones y puede producir un error.
| Ecuaciones | Tipo | Solución |
|---|---|---|
| x + y = 2; x − y = 0 | Solución única | x = 1, y = 1 |
| 2x + 3y = 7; 4x − y = 1 | Solución única | x = 5/7, y = 13/7 |
| x + y = 1; 2x + 2y = 3 | Sin solución | Las ecuaciones se contradicen |
| x + y = 2; 2x + 2y = 4 | Infinitas soluciones | x = 2 − t, y = t |
Una solución única asigna exactamente un valor a cada incógnita. En una matriz de coeficientes cuadrada, un determinante no nulo caracteriza ese caso. El formulario muestra el texto de solución y los valores numéricos disponibles. Las salidas de variables que no intervienen en un sistema pequeño no introducen incógnitas nuevas. Comprueba cuántas columnas de coeficientes utilizaste antes de interpretar las etiquetas de una respuesta.
Un sistema incompatible carece de una asignación común que satisfaga todas las ecuaciones. En la tercera fila de la tabla, duplicar x + y = 1 exige 2x + 2y = 2, mientras que la otra ecuación pide 3. La eliminación descubre una igualdad imposible, equivalente a 0 = 1. Un determinante cero no distingue por sí solo incompatibilidad y dependencia: debes leer la clasificación obtenida.
Un sistema compatible dependiente tiene infinitas soluciones. En la última fila se repite la misma condición dos veces. Si eliges y = t, queda x = 2 − t para cualquier t real. Los parámetros representan variables libres que puedes variar, no medidas adicionales ni cantidades resueltas de manera única. Sustituir varias elecciones de t sirve para comprobar que todas siguen cumpliendo las mismas dos ecuaciones.
Los pasos muestran operaciones elementales y la forma escalonada reducida. Intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo o sumar un múltiplo de otra conserva las soluciones. Las columnas con pivotes identifican variables dependientes de esas ecuaciones; las columnas sin pivote dejan variables libres. El capítulo de eliminación de Gauss de OpenStax desarrolla el método mediante matrices ampliadas.
Con dos incógnitas, la gráfica puede mostrar rectas secantes, paralelas o coincidentes. Es una ayuda para visualizar los tres tipos de sistema. La escala y el recorte pueden hacer ambiguo un caso casi coincidente, por lo que debes consultar también el estado numérico y las soluciones exactas. Una representación de dos rectas no permite juzgar por sí sola un sistema de dimensión superior ni reemplaza la sustitución en las ecuaciones.
El determinante corresponde a la matriz de coeficientes, sin la columna de constantes. Cambia al multiplicar una ecuación por un factor, aunque aplicar ese factor a ambos miembros conserve sus soluciones. Su magnitud aislada no mide la precisión de una respuesta. En un sistema con solución única se muestra además el número de condición en norma infinito, calculado como ‖A‖∞·‖A⁻¹‖∞. Cada norma es la mayor suma absoluta por filas.
El sistema inicial tiene número de condición 60. Un valor grande indica que pequeñas perturbaciones de entrada pueden amplificarse en la solución; por encima de 10¹² aparece una advertencia. Para una matriz singular esta salida se omite. La aritmética exacta evita redondeos durante la eliminación, pero no recupera precisión perdida en coeficientes medidos. Escribir 1/3 y escribir 0.333 define números distintos, aunque uno pretenda aproximar al otro.
Los productos de incógnitas, cuadrados y funciones como sin(x) son no lineales y no se representan mediante estas filas de coeficientes. Una ecuación cuadrática pertenece a la calculadora cuadrática; un polinomio numérico de grado hasta seis, al buscador de raíces. Para operar directamente con matrices utiliza la calculadora matricial. Este formulario tampoco ajusta modelos por mínimos cuadrados ni admite sistemas rectangulares sobredeterminados; el método elegido debe conservar el problema que necesitas resolver.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: ejemplo de eliminación gaussiana de Wikipedia
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 2 × (primera ecuación) da 2x + 2y = 2 ≠ 3
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: fila 2 = 2 × fila 1; x = y y 2y + z = 6 (eliminación manual)
Elimina una variable cada vez. Gauss–Jordan escribe las ecuaciones como matriz, convierte el primer coeficiente en 1, resta múltiplos de esa fila para eliminar x de las otras ecuaciones y repite para y y z. En el sistema inicial, tres rondas de operaciones por filas dejan x = 2, y = 3, z = −1; al sustituir en 2x + y − z = 8, se obtiene 4 + 3 + 1 = 8.
Reduce la matriz por filas y observa las filas cuyos coeficientes quedan todos en 0. Una fila 0 = 1, o 0 igual a cualquier número no nulo, indica que no hay solución: x + y = 1 y 2x + 2y = 3 son rectas paralelas. En un sistema cuadrado compatible, una fila 0 = 0 señala una ecuación redundante, deja una variable libre y da infinitas soluciones. Cuando hay tantas ecuaciones como incógnitas, un determinante 0 indica uno de esos dos casos.
La regla de Cramer expresa cada incógnita como cociente de determinantes: x = det(Aₓ)/det(A), donde Aₓ se obtiene al sustituir la columna de x en A por las constantes. Para 2x + 3y = 7 y 4x − y = 1, det(A) = 2 × (−1) − 3 × 4 = −14 y det(Aₓ) = 7 × (−1) − 3 × 1 = −10, por lo que x = 10/14 = 5/7. Requiere det(A) ≠ 0 y, para tamaños mayores que 3 × 3, necesita muchas más operaciones que la eliminación.
La eliminación de Gauss se detiene en la forma escalonada, una matriz triangular, y obtiene las incógnitas por sustitución hacia atrás desde la última ecuación. Gauss–Jordan continúa hasta que los coeficientes forman la matriz identidad, de modo que cada fila da directamente una incógnita. Para n ecuaciones, Gauss–Jordan requiere unas n³ operaciones aritméticas frente a unas 2n³/3, a cambio de evitar la sustitución.
Acota cuánto puede amplificarse en la solución un pequeño cambio relativo en los coeficientes o las constantes. Con la norma infinito, κ = ‖A‖∞ × ‖A⁻¹‖∞; en el sistema inicial, ‖A‖∞ = 6 y ‖A⁻¹‖∞ = 10, por lo que κ = 60. Como orientación, pueden perderse unas log₁₀ κ cifras significativas, aquí unas 2; un valor cercano a 10¹² indica que las ecuaciones son casi dependientes.
Esta calculadora incluye 5 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.