Calculadora de intervalos de confianza para una media (t o z), una proporción (Wilson o Wald) o una diferencia de medias, con margen de error y ambos límites.
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El intervalo de confianza 95% para la media va de 69.6594 a 75.1406 (72.4 ± 2.7406). La confianza describe el método de muestreo repetido bajo sus supuestos, no una probabilidad para este intervalo concreto.
Para una media, un intervalo de confianza es una estimación puntual más o menos un margen de error: un valor crítico multiplicado por el error estándar. Los intervalos de proporciones pueden ser asimétricos respecto a la proporción muestral. Para una media, el error estándar es s/√n; el valor crítico procede de la t de Student con n − 1 grados de libertad, o de la normal si σ es conocida. Para una proporción, el método inicial es Wilson; también se ofrece la fórmula de Wald p̂ ± z√(p̂(1 − p̂)/n) para comparar.
Los resultados de encuestas, las mediciones de laboratorio y las pruebas A/B suelen presentarse así. La muestra inicial de 36 observaciones, con media 72,4 y desviación estándar 8,1, da un error estándar de 1,35, t = 2,030 con 35 grados de libertad y un intervalo del 95 % de 69,66 a 75,14, o 72,4 ± 2,74.
El nivel de confianza describe el procedimiento bajo sus supuestos de muestreo y distribución; no asigna una probabilidad a un parámetro fijo dentro de este intervalo concreto. Los métodos aproximados, como Wilson o Wald, pueden no alcanzar exactamente la cobertura nominal. La primera fórmula corresponde a una media con σ desconocida; la segunda, a los límites de Wilson para una proporción. Los métodos de dos muestras requieren grupos independientes; el método de varianza combinada también supone varianzas iguales. Al introducir datos individuales, usa punto decimal; las comas separan valores.
Un intervalo de confianza para una media es x̄ ± t × s ÷ √n, con t tomado de una distribución con n − 1 grados de libertad. Con los valores iniciales de la calculadora, 36 mediciones con media 72,4 y desviación estándar 8,1, el error estándar es 8,1 ÷ 6 = 1,35 y t = 2,030, así que el intervalo del 95 % es 72,4 ± 2,74, es decir, de 69,66 a 75,14.
Paso a paso:
Cambiar el nivel de confianza solo cambia el valor crítico. Al 90 %, el intervalo va de 70,12 a 74,68, y al 99 %, de 68,72 a 76,08.
Para una proporción p̂ obtenida de n respuestas, el margen de error de los manuales es E = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n). Si 540 de 1000 personas responden que sí, p̂ = 0,54 y el error estándar es √(0,54 × 0,46 ÷ 1000) = 0,01576.
El margen al 95 % es 1,96 × 0,01576 = 0,0309, unos ±3,1 puntos porcentuales. Como n está bajo una raíz cuadrada, multiplicar la muestra por cuatro, hasta 4000, solo reduce el margen a la mitad, a ±1,5 puntos.
La fórmula anterior es el intervalo de Wald. Contiene la proporción real con menos frecuencia de la declarada cuando n es pequeño o p̂ está cerca de 0 o de 1; Brown, Cai y DasGupta (2001) observaron que su cobertura puede quedar muy por debajo del 95 % incluso con cientos de observaciones.
El intervalo de puntuación de Wilson se mantiene cerca del nivel declarado y nunca sale del rango de 0 a 1 (NIST); es la opción predeterminada de la calculadora. Para 540 de 1000 da de 0,509015 a 0,570679, cerca del intervalo de Wald, de 0,509110 a 0,570890.
Los métodos se separan en los extremos. Con 0 éxitos en 20 ensayos, Wald da el intervalo de anchura nula [0, 0], mientras que Wilson da de 0 a 0,161. No observar ningún éxito no demuestra que la tasa real sea cero.
Los límites de Wilson no están centrados en p̂, así que el margen que los acompaña es la mitad de la anchura del intervalo, 0,030832 para 540 de 1000. Conviene citar los dos límites, porque p̂ ± ese margen no coincide exactamente con ellos.
Usa z solo cuando la σ poblacional proceda de fuera de la muestra, como en un proceso que lleva mucho tiempo controlado. Una muestra grande no convierte σ en conocida. Con σ = 8, la misma media y n = 36, el intervalo z del 95 % va de 69,79 a 75,01, con un margen de 2,613 (NIST).
El valor crítico t es mayor en muestras pequeñas y se acerca a z al crecer n: 2,262 con n = 10, 2,030 con n = 36 y 1,984 con n = 101, frente a 1,960 para z.
Para dos grupos independientes, el intervalo es (x̄₁ − x̄₂) ± t × EE. El método de Welch usa EE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) con grados de libertad fraccionarios, mientras que el método combinado supone que las dos poblaciones tienen la misma varianza.
Sea el grupo 1 con media 72,4, desviación estándar 8,1 y n = 36, y el grupo 2 con media 68,9, desviación estándar 9,4 y n = 40. La diferencia es 3,5 y el EE de Welch, 2,0079 con 73,87 grados de libertad.
Con t = 1,9926, el intervalo del 95 % es 3,5 ± 4,0009, de −0,50 a 7,50. Con varianza combinada se obtiene de −0,53 a 7,53 con 74 grados de libertad.
El intervalo incluye el 0, así que la diferencia no es significativa al 5 %. Un intervalo del 95 % excluye el 0 exactamente cuando el contraste bilateral correspondiente, de Welch o combinado, rechaza la hipótesis nula con α = 0,05.
El intervalo estima la media 1 menos la media 2, de modo que intercambiar los grupos cambia los signos. Los datos pareados, como las puntuaciones antes y después de las mismas personas, necesitan en su lugar un intervalo para las diferencias dentro de cada par.
El 95 % describe el método: en muchas muestras, el 95 % de los intervalos construidos así contienen la media real. Un intervalo concreto, como el de 69,66 a 75,14, la contiene o no la contiene.
Tampoco es un rango para valores individuales. Con una desviación estándar de 8,1, las mediciones aisladas se dispersan mucho más allá de ±2,74; para abarcarlas hace falta un intervalo de predicción o de tolerancia.
Estos intervalos suponen una muestra aleatoria de observaciones independientes, y los de dos muestras exigen además grupos independientes.
El intervalo t también supone una población aproximadamente normal. Ese supuesto pesa menos al crecer n, aunque una asimetría fuerte o valores atípicos siguen distorsionando una muestra pequeña.
| Escenario | Límite inferior | Límite superior |
|---|---|---|
| Media, DE muestral, valores iniciales | 69,659354 | 75,140646 |
| Media, σ conocida = 8 | 69,786715 | 75,013285 |
| Proporción 540/1000, Wilson | 0,509015 | 0,570679 |
| Proporción 0/20, Wilson | 0,000000 | 0,161125 |
| Diferencia de medias inicial, Welch | -0,500864 | 7,500864 |
Las dos primeras filas usan x̄ = 72,4 y n = 36, con s = 8,1 o con una σ conocida de 8, y la última es la comparación de dos grupos del apartado anterior. Todos son intervalos del 95 %.
Para contrastar un valor concreto, por ejemplo si la media difiere de 70, usa la calculadora de pruebas t y z. Para elegir n según un margen de error objetivo, usa la calculadora de tamaño de muestra y potencia.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: t₀.₉₇₅,₃₅ = 2,030 (tabla t); margen = t·8,1/6
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: z₀.₉₇₅ = 1,959964; margen = z·8/6
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Bajo sus supuestos, el procedimiento está diseñado para incluir el valor verdadero en el 95 % de las muestras repetidas; los métodos aproximados pueden apartarse de esa cobertura. Para los datos iniciales, el intervalo es de 69,66 a 75,14. No significa que haya un 95 % de probabilidad de que la media verdadera esté en este rango concreto: la media es fija y el intervalo la contiene o no. Tampoco incluye el 95 % de los valores individuales, cuya dispersión es mayor (desviación 8,1); para eso se necesita un intervalo de predicción o de tolerancia.
Multiplica el valor crítico por el error estándar. Para una media, E = t × s/√n: con s = 8,1 y n = 36, E = 2,030 × 1,35 = 2,74. Para una proporción, E ≈ z√(p̂(1 − p̂)/n): un 54 % de 1000 encuestados da 1,96 × 0,0158 ≈ 0,031, o ±3,1 puntos porcentuales. Como n está bajo una raíz cuadrada, cuadruplicar el tamaño de muestra reduce aproximadamente a la mitad el margen.
Cuando se conoce la desviación estándar poblacional σ, algo poco frecuente fuera de ejercicios y procesos con datos históricos consolidados. Si σ se estima a partir de la muestra, usa t. Su valor crítico del 95 % es mayor con muestras pequeñas: 2,262 para n = 10 frente a 1,960 de z. Se aproxima a z al crecer n: 2,030 para n = 36 y 1,984 para n = 101.
El intervalo de Wald p̂ ± z·EE incluye la proporción verdadera con menor frecuencia de la declarada cuando n es pequeño o p̂ está cerca de 0 o 1. Brown, Cai y DasGupta (2001) observaron que su cobertura puede quedar muy por debajo del 95 % incluso con cientos de observaciones. Wilson suele mantenerse cerca del nivel nominal y nunca sale del rango de 0 a 1. Con 0 éxitos en 20 ensayos, Wald da [0, 0], sin anchura, mientras que Wilson da de 0 a 0,161.
Sí, para la prueba correspondiente: un intervalo del 95 % para una diferencia de medias excluye 0 exactamente cuando una prueba bilateral con α = 0,05 y el mismo método, Welch o varianza combinada, rechaza la ausencia de diferencia. Los resúmenes iniciales de dos grupos dan 3,5 ± 4,0, de −0,5 a 7,5. Incluyen 0, de modo que la diferencia no es significativa al 5 %. El intervalo también muestra qué magnitudes del efecto son compatibles con los datos y los supuestos, información que no da por sí solo un valor p.
Esta calculadora incluye 7 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.