Calculadora de la prueba chi-cuadrado de bondad de ajuste e independencia en tablas de contingencia: χ², valor p, frecuencias esperadas y V de Cramér.
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No se rechaza H₀ con α = 0.05. Si todas las categorías fueran equiprobables, un resultado al menos tan extremo aparecería con probabilidad 0.5786. El valor p no es la probabilidad de que H₀ sea verdadera, y no rechazar H₀ no demuestra que sea verdadera: la muestra puede ser demasiado pequeña para detectar un efecto real. La mayor contribución procede de la categoría 1 (observado 15, esperado 20).
| Categoría | Observada | Esperada | (O − E)²/E |
|---|---|---|---|
| 1 | 15 | 20 | 1,25 |
| 2 | 22 | 20 | 0,2 |
| 3 | 18 | 20 | 0,2 |
| 4 | 25 | 20 | 1,25 |
| 5 | 17 | 20 | 0,45 |
| 6 | 23 | 20 | 0,45 |
H₀: todas las categorías tienen la misma probabilidad. H₁: al menos una difiere.
No se rechaza H₀
De forma equivalente, compara χ² con el valor crítico 11.0705.
La prueba chi-cuadrado de Pearson compara las frecuencias observadas con las que predice una hipótesis: χ² = Σ(O − E)²/E. En bondad de ajuste, las frecuencias esperadas proceden de proporciones iguales o indicadas; hay k − 1 grados de libertad, menos uno por cada parámetro estimado con los datos. En independencia, cada celda de la tabla de contingencia tiene E = total de fila × total de columna ÷ total general, y los grados de libertad son (r − 1)(c − 1).
Permite estudiar si un dado es equilibrado o si una preferencia depende de la región. Las 120 tiradas iniciales (15, 22, 18, 25, 17, 23) dan χ² = 3,8 con 5 grados de libertad y p = 0,579. El estadístico queda muy por debajo del valor crítico 11,07 para α = 0,05, por lo que las frecuencias son compatibles con un dado equilibrado.
La aproximación χ² necesita frecuencias esperadas suficientemente grandes, orientativamente de 5 o más. La V de Cramér, entre 0 y 1, mide la intensidad de la asociación en una tabla.
La chi-cuadrado de Pearson compara las frecuencias observadas O con las esperadas E: χ² = Σ (O − E)² ÷ E. Un dado equilibrado lanzado 120 veces debería dar 20 veces cada cara, así que las frecuencias 15, 22, 18, 25, 17 y 23 dan χ² = 3,8 con 5 grados de libertad y p = 0,579: no hay evidencia de que el dado esté trucado. Son los valores iniciales de la calculadora.
A mano:
Solo cuenta la cola superior, porque una χ² grande indica un mal ajuste. Un dado equilibrado daría frecuencias al menos así de desiguales en un 58 % aproximado de los experimentos de 120 tiradas.
En la bondad de ajuste, cada frecuencia esperada es el total multiplicado por la proporción que la hipótesis asigna a la categoría: Eᵢ = N × pᵢ. Las 556 plantas de guisante de Mendel, contrastadas con la proporción 9:3:3:1, esperan 312,75; 104,25; 104,25 y 34,75.
Las observadas, 315, 108, 101 y 32, dan χ² = 0,470 con 3 grados de libertad y p = 0,925: un ajuste muy cercano a la proporción.
En un contraste de independencia, cada casilla espera E = total de la fila × total de la columna ÷ total general (NIST).
Sea una tabla con las filas 42, 33, 25 y 28, 37, 35: los totales de fila son 100 y 100, los de columna 70, 70 y 60, y N = 200.
Las dos primeras columnas esperan entonces 100 × 70 ÷ 200 = 35 en cada fila, y la tercera 100 × 60 ÷ 200 = 30. Las seis contribuciones suman χ² = 4,695 con 2 grados de libertad, así que p = 0,0956: con α = 0,05, filas y columnas son compatibles con la independencia.
Los valores críticos al 5 % para 1, 2, 3 y 5 grados de libertad son 3,841; 5,991; 7,815 y 11,070 (NIST).
El valor p procede de una aproximación para muestras grandes que necesita frecuencias esperadas suficientemente altas. La regla de Cochran (1954) pide que ninguna frecuencia esperada sea menor que 1 y que no más del 20 % sean menores que 5. La calculadora muestra la menor frecuencia esperada para comprobarlo.
La regla se refiere a las frecuencias esperadas, no a las observadas: un 0 observado no es problema si su frecuencia esperada es 5 o más. Cuando la regla no se cumple, agrupa las categorías poco pobladas o, en una tabla de 2×2, usa la prueba exacta de Fisher.
El estadístico es el de Pearson sin la corrección por continuidad de Yates. Cada observación debe caer en una sola casilla, y las observaciones deben ser independientes.
χ² crece en proporción al tamaño de la muestra. Un reparto 60/40 contrastado con partes iguales da:
Introducir porcentajes equivale a tratar cualquier muestra como si tuviera exactamente 100 observaciones. Con las razones esperadas ocurre lo contrario: admiten cualquier escala, de modo que las razones 3:2:5 y 0,3:0,2:0,5 producen las mismas frecuencias esperadas.
Un valor p pequeño indica que existe una asociación; la V de Cramér indica su intensidad, de 0 a 1: V = √(χ² ÷ (N × min(r − 1, c − 1))). La tabla de 2×2 con 20, 30 y 30, 20 tiene χ² = 4 con N = 100, así que V = 0,2.
Cohen (1988) considera pequeños, medianos y grandes los valores 0,1; 0,3 y 0,5 en una tabla de 2×2. La tabla de 2×3 anterior tiene V = 0,153. V no indica el sentido de la asociación ni dice nada sobre la causa.
| Escenario | Estadístico χ² | Valor p |
|---|---|---|
| Predeterminado | 3,800000 | 0,578555 |
| Dos categorías | 4,000000 | 0,045500 |
| Mendel | 0,470024 | 0,925426 |
| Independencia | 4,695238 | 0,095597 |
| Dos por dos | 4,000000 | 0,045500 |
«Predeterminado» son las 120 tiradas del dado y «Dos categorías», 60 y 40 frente a partes iguales. «Mendel» son los guisantes frente a 9:3:3:1, «Independencia» la tabla de 2×3 y «Dos por dos» la tabla con 20, 30 y 30, 20.
Para colas y valores críticos de chi-cuadrado con otros grados de libertad, usa la calculadora de distribuciones t, chi-cuadrado y F. Las medias, en lugar de recuentos, corresponden a la calculadora de pruebas t y z o a la calculadora ANOVA de un factor.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: χ² a mano: Σ(O − 20)²/20 = 76/20; p mediante la expresión cerrada A&S 26.4.4 para ν impar; χ²₀.₉₅,₅ = 11,070 (tabla χ²)
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: caso clásico de manual (χ² ≈ 0,47, p ≈ 0,93)
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: todas las E = 25, χ² = 4·25/25 = 4; p = erfc(√2) = 0,0455003; V = √(4/100)
Fuente de comprobación: p = e^(−χ²/2) para ν = 2 (A&S 26.4.5)
Es la probabilidad de un estadístico χ² al menos tan grande como el observado si se cumple la hipótesis nula, por ejemplo un dado equilibrado o variables de fila y columna independientes. Para las tiradas iniciales, p = 0,579: un dado equilibrado produciría frecuencias al menos tan desiguales en aproximadamente el 58 % de los experimentos de 120 tiradas. Un valor p grande no demuestra que el dado sea equilibrado; una muestra pequeña puede no detectar un sesgo real.
La regla de Cochran (1954) pide que ninguna frecuencia esperada sea inferior a 1 y que como máximo el 20 % de las celdas esté por debajo de 5. Si no se cumple, considera un método exacto o de simulación, o combina categorías solo si tiene sentido sustantivo; para una tabla 2×2 puede usarse la prueba exacta de Fisher. La regla se refiere a frecuencias esperadas, no observadas: un 0 observado no es un problema si su frecuencia esperada es 5 o mayor. Aquí aparece un aviso cuando alguna frecuencia esperada es menor que 5.
Para bondad de ajuste, gl = k − 1 − m, donde k es la cantidad de categorías y m, los parámetros estimados con los datos; un dado de seis caras da 5. Para independencia, gl = (filas − 1) × (columnas − 1): 2 para una tabla 2×3 y 1 para una 2×2. Los valores críticos al 5 % con 1, 2 y 5 grados de libertad son 3,841, 5,991 y 11,070.
V = √(χ² / (N × (min(r, c) − 1))) transforma χ² en una medida de asociación entre 0 y 1, normalizada por el tamaño de muestra. El ejemplo 2×2, con χ² = 4 y N = 100, da V = 0,2. Cohen (1988) usa 0,1, 0,3 y 0,5 como referencias de efectos pequeños, medianos y grandes para tablas 2×2; en tablas mayores los umbrales son inferiores.
No. χ² crece proporcionalmente con el tamaño de muestra: los mismos porcentajes procedentes de 1000 observaciones dan un χ² diez veces mayor que con 100. Introducir porcentajes trata la muestra como si tuviera exactamente 100 casos y da un valor p incorrecto para cualquier otro tamaño. En cambio, las razones esperadas admiten cualquier escala: 9 3 3 1 se normaliza al total observado.
Esta calculadora incluye 5 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.