Calculadora de estadística descriptiva: media, mediana, moda, desviación estándar, varianza, cuartiles, rango intercuartílico, valores atípicos, asimetría y curtosis, con histograma.
Máximo de decimales: 6; Al más cercano; empates alejándose de cero
Mediana
24,5
Moda
22 (aparece 2 veces)
Cantidad n
18
Suma
480
Mínimo
12
Máximo
64
Rango
52
Varianza muestral s²
136,588235
Desviación estándar muestral s
11,687097
Varianza poblacional σ²
129
Desviación estándar poblacional σ
11,357817
Error estándar de la media
2,754675
Primer cuartil Q1
19,5
Tercer cuartil Q3
30,5
Rango intercuartílico
11
Valores atípicos
64, fuera de los límites de 1,5·RIC, 3 y 47
Asimetría (G1)
1,959304
Exceso de curtosis (G2)
5,600893
Coeficiente de variación
43,83%
La media es 26.6667 y la mediana, 24.5. La desviación estándar muestral es 11.6871, y la mitad central de los datos va de 19.5 a 30.5. Los datos presentan una distribución asimétrica hacia la derecha (cola más larga hacia los valores altos). Valores fuera de los límites de 1,5·RIC: 64. Revisa su contexto antes de decidir cómo usarlos.
Histograma (6 intervalos de anchura 10)
Diagrama de caja (bigotes en los valores más extremos dentro de los límites)
Tabla de frecuencias (un valor en el límite entre intervalos cuenta en el superior) Filas: 6
Intervalo
Cantidad
Frecuencia relativa
Acumulada
De 10 a 20
5
27,78 %
27,78 %
De 20 a 30
8
44,44 %
72,22 %
De 30 a 40
4
22,22 %
94,44 %
De 40 a 50
0
0 %
94,44 %
De 50 a 60
0
0 %
94,44 %
De 60 a 70
1
5,56 %
100 %
Cómo se calcula S
Suma y media
xˉ=n∑xi=18480=26.666667
Mediana
x~=24.5
La media de los valores ordenados en las posiciones 9 y 10.
Interpolación lineal (R-7, QUARTILE.INC de Excel): Q_p se sitúa en la posición (n − 1)p + 1 de los datos ordenados, interpolando entre valores vecinos.
Intervalos del histograma
Regla de Sturges: ⌈log₂ 18⌉ + 1 = 6 intervalos. La anchura inicial es 8.667; un paso redondeado de 10 desde 10 da 6 intervalos.
m_k = Σ(x − x̄)^k / n son los momentos centrales. Coinciden con SKEW y KURT de Excel.
Acerca de Calculadora de estadística descriptiva
La estadística descriptiva resume un conjunto de datos mediante su centro, dispersión y forma. La media es la suma dividida entre n. La varianza muestral divide la suma de las desviaciones cuadradas respecto a la media entre n − 1; la poblacional, entre n. Los cuartiles se obtienen de los datos ordenados por interpolación lineal (R-7, como QUARTILE.INC de Excel), el método exclusivo (R-6) o las bisagras de Tukey. La asimetría y el exceso de curtosis usan las fórmulas ajustadas de SKEW y KURT de Excel.
Se señalan como atípicos los valores situados más de 1,5 × RIC fuera de los cuartiles, siguiendo la regla de Tukey para diagramas de caja. Los datos iniciales, 18 tiempos de desplazamiento en minutos, tienen media 26,67 y mediana 24,5. El trayecto de 64 minutos supera el límite superior de 47 y eleva la media por encima de la mediana.
Usa la desviación estándar muestral cuando los datos sean una muestra de un grupo mayor, y la poblacional cuando representen al grupo completo. En la lista de entrada, usa punto decimal y separa los valores con comas, espacios o saltos de línea.
Cómo calcular la desviación estándar a mano
La desviación estándar mide cuánto suelen alejarse los valores de su media. Estas ocho notas sobre 10 permiten hacer el cálculo en papel: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 y 9.
Calcula la media: las notas suman 40 y 40 ÷ 8 = 5.
Resta la media a cada valor y eleva la diferencia al cuadrado.
Nota x
Desviación x − 5
Desviación cuadrada
2
−3
9
4
−1
1
4
−1
1
4
−1
1
5
0
0
5
0
0
7
2
4
9
4
16
Suma
0
32
Suma las desviaciones cuadradas: 32. Las desviaciones sin elevar al cuadrado siempre suman 0, una comprobación útil del paso 2.
Divide para obtener la varianza: 32 ÷ 8 = 4 para la varianza poblacional σ², o 32 ÷ 7 = 4,571429 para la muestral s².
Calcula la raíz cuadrada: σ = √4 = 2 y s = √4,571429 = 2,138090.
Al introducir las ocho notas en la calculadora, se obtiene una desviación estándar poblacional de 2 y una muestral de 2,13809. Son las fórmulas del manual NIST/SEMATECH, §1.3.5.6.
La varianza se expresa en unidades al cuadrado, aquí puntos². Por eso se calcula su raíz cuadrada: la desviación estándar, 2,14 puntos, vuelve a la escala de los datos y puede compararse con la media.
Muestra o población: cuál usar
Usa la fórmula poblacional, que divide entre n, cuando los datos sean todo el grupo que quieres describir, como las notas de todos los estudiantes de esta clase. Usa la muestral, que divide entre n − 1, cuando representen a un grupo mayor, como ocho estudiantes encuestados para conocer a todo un curso.
Los resultados difieren por un factor de √(n ÷ (n − 1)), relevante en conjuntos pequeños y cada vez menor al aumentar n:
Cantidad n
DE muestral ÷ DE poblacional
2
1,4142
3
1,2247
5
1,1180
10
1,0541
30
1,0171
100
1,0050
1000
1,0005
Los programas no comparten una misma opción predeterminada:
Herramienta
Muestral (n − 1)
Poblacional (n)
Excel
STDEV.S
STDEV.P
Módulo statistics de Python
stdev()
pstdev()
NumPy
np.std(x, ddof=1)
np.std(x), opción predeterminada
pandas
DataFrame.std(), opción predeterminada
DataFrame.std(ddof=0)
Esta calculadora
Desviación estándar muestral s
Desviación estándar poblacional σ
std de NumPy divide entre n salvo que se indique otra cosa, mientras que pandas divide entre n − 1. Pasar la misma columna de uno a otro cambia el resultado por el factor de la tabla. STDEV.S de Excel también omite texto y celdas vacías de un rango; un número almacenado como texto puede quedar fuera del cálculo sin que resulte evidente.
Media, mediana, moda y rango
Para las ocho notas, la media es 5 y la mediana es 4,5: la media del cuarto y quinto valores ordenados, 4 y 5. La moda es 4, que aparece tres veces, y el rango es 9 − 2 = 7.
Cada medida responde a una pregunta distinta. La media utiliza todos los valores y sirve de referencia para la desviación estándar. La mediana es el centro de los datos ordenados y depende de su posición, no de la distancia de los extremos. La moda es la única de estas tres medidas que también sirve para categorías, como la talla de calzado más vendida. El rango depende de solo dos valores; una lectura inusual puede alterarlo por completo.
Si la media está por encima de la mediana, los datos suelen tener una cola más larga hacia los valores altos. Así ocurre con estas notas: el 9 deja la media medio punto por encima de la mediana, y la calculadora da una asimetría de 0,818.
Comparación de métodos de cuartiles
Los cuartiles Q1 y Q3 delimitan el cuarto inferior y el superior de los datos ordenados. El rango intercuartílico, Q3 − Q1, mide la dispersión de la mitad central. Hyndman y Fan (1996) recopilan nueve definiciones publicadas, que pueden discrepar en conjuntos pequeños. La calculadora ofrece tres; estos son sus resultados para las ocho notas:
Método
Q1
Q3
RIC
Límites de 1,5 × RIC
¿El 9 es atípico?
Interpolación lineal (R-7)
4
5,5
1,5
1,75 y 7,75
Sí
Exclusivo (R-6)
4
6,5
2,5
0,25 y 10,25
No
Bisagras de Tukey
4
6
2
1 y 9
No, está en el límite
R-7 sitúa Q3 en la posición (n − 1) × 0,75 + 1 = 6,25 de la lista ordenada: un cuarto del recorrido entre el sexto valor, 5, y el séptimo, 7. Corresponde a QUARTILE.INC de Excel y a las opciones predeterminadas de quantile() de R y percentile() de NumPy.
R-6 usa la posición (n + 1) × 0,75 = 6,75. Corresponde a QUARTILE.EXC de Excel y al método que la documentación de R atribuye a Minitab y SPSS. statistics.quantiles() de Python también lo usa salvo que se indique otra opción.
Las bisagras de Tukey son las medianas de la mitad inferior (2, 4, 4, 4) y de la superior (5, 5, 7, 9). fivenum() de R devuelve estos valores.
Con solo ocho datos, el método por sí solo determina si se señala el 9 como atípico. Antes de comparar cuartiles o cantidades de valores atípicos con un libro u otro programa, selecciona el mismo método.
Interpretar los resultados y evitar errores habituales
Desviación estándar y error estándar son distintos. El error estándar de la media, s ÷ √n, mide la precisión con la que la media muestral estima la poblacional, no la dispersión de los datos. Para las notas, es 2,138 ÷ √8 = 0,756. Presentarlo como si fuera la desviación estándar hace que los datos parezcan casi tres veces menos variables. Es la base para construir un intervalo de confianza de la media.
El coeficiente de variación necesita un cero significativo. El CV, s ÷ |media| × 100, es del 42,76 % para las notas y permite comparar la dispersión entre datos de distintas escalas. No tiene una interpretación adecuada para temperaturas en °C o medidas que pueden ser negativas: una media cercana a cero puede hacerlo crecer sin límite.
La fórmula de un solo paso pierde precisión. La expresión de la varianza (Σx² − (Σx)² ÷ n) ÷ (n − 1) evita calcular primero la media. Con números grandes y diferencias pequeñas, puede fallar en aritmética habitual de doble precisión. El conjunto de referencia NumAcc3 de NIST, con 1001 valores próximos a 1 000 000,2, tiene una desviación estándar certificada de exactamente 0,1; esa expresión con números float de Python devuelve 0,1072. La calculadora resta primero la media y trabaja con 50 cifras significativas, obteniendo 0,1.
Menos de dos valores. Con un solo valor no hay otros datos con los que medir la dispersión, y la fórmula muestral dividiría entre cero. Por eso, la calculadora pide al menos dos.
Una vez conocidas la media y la desviación estándar, la calculadora de distribución normal convierte un valor en puntuación z y percentil bajo el supuesto de normalidad, adecuado cuando el histograma tiene aproximadamente forma de campana.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: valores certificados de NIST StRD NumAcc3: media 1000000,2 y desviación estándar 0,1
Cuartiles exclusivos (R-6)
Datos
7, 15, 36, 39, 40, 41
Método de cuartiles
Exclusivo (R-6, QUARTILE.EXC de Excel, Minitab)
Primer cuartil Q1
13
Tercer cuartil Q3
40,25
Mediana
37,5
Rango intercuartílico
27,25
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Preguntas
¿Qué diferencia hay entre la desviación estándar muestral y la poblacional?
La muestral divide la suma de desviaciones cuadradas entre n − 1, aplicando la corrección de Bessel; la poblacional, entre n. Las desviaciones respecto a la media muestral tienden a ser algo pequeñas, y dividir entre n − 1 corrige el sesgo de la varianza al estimar una población mayor. Para los 18 valores iniciales, s = 11,687 y σ = 11,358; la diferencia disminuye al crecer n. STDEV.S y STDEV.P de Excel siguen esta distinción.
¿Cómo se identifican los valores atípicos?
Con la regla de Tukey: un valor es atípico si queda por debajo de Q1 − 1,5 × RIC o por encima de Q3 + 1,5 × RIC. Para los datos iniciales, Q1 = 19,5 y Q3 = 30,5; el rango intercuartílico es 11, los límites son 3 y 47, y se señala el valor 64. Los valores situados más allá de 3 × RIC suelen llamarse atípicos extremos. Una señal sirve para revisar el dato, no para eliminarlo automáticamente.
¿Por qué los cuartiles difieren entre Excel, calculadoras y libros?
Hyndman y Fan (1996) enumeran nueve definiciones publicadas. QUARTILE.INC de Excel y el método inicial de R interpolan en la posición (n − 1)p + 1; QUARTILE.EXC y Minitab usan (n + 1)p; muchos libros usan las bisagras de Tukey, las medianas de cada mitad. Para 7, 15, 36, 39, 40, 41, los pares Q1 y Q3 son, respectivamente, 20,25 y 39,75; 13 y 40,25; y 15 y 40.
¿Qué significan la asimetría y la curtosis?
La asimetría mide la falta de simetría: vale 0 en datos simétricos y es positiva cuando la cola larga apunta a valores altos. La regla orientativa de Bulmer (1979) interpreta |G1| menor que 0,5 como aproximadamente simétrico; de 0,5 a 1, como moderadamente asimétrico; y superior a 1, como muy asimétrico. El exceso de curtosis compara el peso de las colas con una distribución normal, cuyo valor es 0. Los datos iniciales dan G1 = 1,96 y G2 = 5,60, ambos influidos por el trayecto de 64 minutos.
¿Cuándo conviene usar la mediana en lugar de la media?
Cuando los datos son asimétricos o contienen valores atípicos, porque un dato extremo puede desplazar mucho la media y afectar menos a la mediana. En los datos iniciales, el trayecto de 64 minutos eleva la media a 26,67, mientras que la mediana es 24,5. Sin ese trayecto, la media sería 24,47 y la mediana, 24. Por la misma razón, los ingresos y los precios de viviendas suelen resumirse con medianas.
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