Calculadora de distribución normal: puntuaciones z, probabilidades por debajo, por encima o entre valores, y el valor de cualquier percentil (normal inversa).
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El 97.725 % de los valores de esta distribución queda por debajo de 130. La puntuación z es 2: cero coincide con la media, un valor negativo queda por debajo y uno positivo, por encima.
Una distribución normal queda determinada por su media μ y su desviación estándar σ. La calculadora transforma un valor en puntuación z, z = (x − μ)/σ, y obtiene el área bajo la campana a la izquierda de z mediante la distribución acumulada normal estándar Φ. La calcula con la función de error y aritmética decimal de 50 dígitos, sin recurrir a una tabla impresa. Las áreas por encima, entre dos valores o fuera de ellos se deducen de Φ; el modo inverso parte de un área para obtener el valor x.
Los valores iniciales modelan puntuaciones de cociente intelectual (media 100, desviación estándar 15): una puntuación de 130 tiene z = 2 y el 97,725 % queda por debajo. El mismo procedimiento convierte resultados de pruebas en percentiles y da intervalos de referencia. En este modelo, el 95 % central de las puntuaciones va de 70,6 a 129,4.
La validez de los resultados depende del modelo normal. Los datos asimétricos o con colas pesadas, como ingresos o tiempos de espera, pueden tener muchos más valores fuera de 3σ que el 0,27 % previsto. Revisa un histograma antes de confiar en cifras de colas extremas.
La puntuación z indica a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra un valor: z = (x − μ) ÷ σ. Considera un examen con media 72 y desviación estándar 8, en el que un estudiante obtiene 84.
En la calculadora, elige P(X < x), con media 72, desviación 8 y x = 84. Devuelve 0,933193 y muestra z = 1,5. Las notas inferiores a la media dan puntuaciones z negativas: una nota de 60 tiene z = (60 − 72) ÷ 8 = −1,5, y Φ(−1,5) = 0,06681 la sitúa cerca del percentil 7.
Como z no tiene unidades, permite comparar posiciones relativas en escalas distintas. Obtener 610 en una prueba de media 500 y desviación 100 da z = (610 − 500) ÷ 100 = 1,1, aproximadamente el percentil 86 bajo el modelo normal. La nota de 84 del primer examen está más por encima de la media de su grupo, aunque 610 sea un número mayor.
Para volver de una puntuación z al valor original, despeja la fórmula: x = μ + zσ. Quien quiera situarse en el 10 % superior necesita z = 1,2816 y, por tanto, una nota de 72 + 1,2816 × 8 = 82,25. El modo inverso, con un 90 % de área a la izquierda, devuelve 82,2524.
Esta regla da la proporción de una distribución normal situada a menos de 1, 2 y 3 desviaciones estándar de la media. Para el examen, aproximadamente el 68 % de las notas queda entre 64 y 80, y el 95 %, entre 56 y 88. Más lejos, las colas disminuyen rápidamente:
| Dentro de ±kσ | Proporción dentro | Proporción fuera | Aproximadamente 1 valor entre |
|---|---|---|---|
| 1σ | 68,27 % | 31,73 % | 3 |
| 1,5σ | 86,64 % | 13,36 % | 7 |
| 2σ | 95,45 % | 4,55 % | 22 |
| 2,5σ | 98,76 % | 1,24 % | 81 |
| 3σ | 99,73 % | 0,27 % | 370 |
| 4σ | 99,9937 % | 0,0063 % | 15 787 |
| 5σ | 99,99994 % | 0,000057 % | 1 744 278 |
| 6σ | 99,9999998 % | 0,000000197 % | 506 797 346 |
La columna «Proporción fuera» se reparte por igual entre ambas colas; solo la mitad queda por encima de la media. Aproximadamente 1 valor entre 44 supera la media en más de 2σ, no 1 entre 22.
Los intervalos no simétricos requieren dos cálculos. Las notas entre 60 y 80 van de z = −1,5 a z = 1, por lo que su proporción es Φ(1) − Φ(−1,5) = 0,84134 − 0,06681 = 0,77454, o 77,45 %. El modo P(a < X < b) realiza esta resta.
Una tabla z acumulada da Φ(z), la proporción de la distribución por debajo de z. Esta tabla muestra valores positivos de z y las otras dos áreas relacionadas.
| z | Área por debajo de z, Φ(z) | Área por encima de z | Área entre −z y z |
|---|---|---|---|
| 0,00 | 0,50000 | 0,50000 | 0,00000 |
| 0,25 | 0,59871 | 0,40129 | 0,19741 |
| 0,50 | 0,69146 | 0,30854 | 0,38292 |
| 0,75 | 0,77337 | 0,22663 | 0,54675 |
| 1,00 | 0,84134 | 0,15866 | 0,68269 |
| 1,25 | 0,89435 | 0,10565 | 0,78870 |
| 1,50 | 0,93319 | 0,06681 | 0,86639 |
| 1,75 | 0,95994 | 0,04006 | 0,91988 |
| 2,00 | 0,97725 | 0,02275 | 0,95450 |
| 2,25 | 0,98778 | 0,01222 | 0,97555 |
| 2,50 | 0,99379 | 0,00621 | 0,98758 |
| 2,75 | 0,99702 | 0,00298 | 0,99404 |
| 3,00 | 0,99865 | 0,00135 | 0,99730 |
| 3,50 | 0,99977 | 0,00023 | 0,99953 |
Para una z negativa, usa la simetría: Φ(−z) = 1 − Φ(z). Así, Φ(−1,5) = 1 − 0,93319 = 0,06681, el área por encima de +1,5. Las tablas impresas suelen limitar z a dos decimales y necesitan interpolación entre filas; la calculadora evalúa Φ directamente.
Pasar de un percentil a un valor es el problema de la normal inversa. Primero se obtiene z para el percentil y después se convierte con x = μ + zσ.
| Percentil | z |
|---|---|
| 1 | −2,3263 |
| 5 | −1,6449 |
| 10 | −1,2816 |
| 20 | −0,8416 |
| 25 | −0,6745 |
| 50 | 0 |
| 75 | 0,6745 |
| 80 | 0,8416 |
| 90 | 1,2816 |
| 95 | 1,6449 |
| 99 | 2,3263 |
| 99,5 | 2,5758 |
Para el examen, el 5 % inferior queda por debajo de 72 − 1,6449 × 8 = 58,84. La mitad central está entre los percentiles 25 y 75: 72 ± 0,6745 × 8, es decir, de 66,60 a 77,40.
Un percentil es una posición relativa, no una nota. Un estudiante en el percentil 90 supera al 90 % del grupo; eso no indica si respondió correctamente al 90 % de las preguntas. La calculadora de ajuste de notas permite trabajar con las posiciones y las notas de toda una clase.
Puede calcularse una puntuación z para cualquier conjunto de datos con desviación estándar positiva, pero convertirla en percentil mediante Φ supone una distribución normal. Los datos asimétricos incumplen ese supuesto y alteran ambas colas.
Los tiempos de espera son un ejemplo habitual. Si el tiempo hasta el próximo autobús sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos, su desviación estándar también es de 10 minutos. Un modelo normal con esas cifras predice que el 2,28 % de las esperas supera 30 minutos (media + 2σ) y que el 15,87 % es inferior a 0 minutos (media − σ). El modelo exponencial da un 4,98 % por encima de 30 minutos, más del doble, y ninguna espera negativa.
Antes de confiar en un percentil, comprueba los datos:
Las muestras pequeñas plantean otro problema. Cuando μ y σ se estiman a partir de pocos valores, las puntuaciones z describen la posición, pero la inferencia sobre la media debe incorporar la incertidumbre de esa estimación. Si se cumplen los supuestos correspondientes, se usa la t de Student, disponible en la calculadora de distribuciones t, chi-cuadrado y F. Los recuentos, como la cantidad de artículos defectuosos de un lote bajo ensayos independientes con probabilidad constante, se modelan con la binomial, disponible en la calculadora binomial y de Poisson.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: tabla normal estándar Φ(2,00) = 0,97725 (manual NIST §1.3.6.7.1)
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: regla 68–95–99,7
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: z₀.₉₅ = 1,644854 (tabla z)
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: z₀.₉₇₅ = 1,959964
Resta la media y divide entre la desviación estándar: z = (x − μ)/σ. Un cociente intelectual de 130 en una escala de media 100 y desviación 15 da z = (130 − 100)/15 = 2, dos desviaciones estándar por encima de la media. Una z negativa queda por debajo de la media y z = 0 coincide con ella. La puntuación z no tiene unidades y permite comparar posiciones relativas en pruebas distintas.
En una distribución normal, el 68,27 % de los valores queda a menos de 1 desviación estándar de la media; el 95,45 %, a menos de 2; y el 99,73 %, a menos de 3. Para una escala de cociente intelectual con media 100 y desviación 15, aproximadamente el 68 % queda entre 85 y 115, y el 95 %, entre 70 y 130. El multiplicador para un área central de exactamente el 95 % es aproximadamente 1,959964, normalmente redondeado a 1,96, no 2; de ahí su uso en los intervalos de confianza.
Al percentil 84,13. El percentil es el área a la izquierda de z, Φ(z), multiplicada por 100. Otros valores habituales: z = 1,645 corresponde al percentil 95; z = 1,96, al 97,5; z = 2, al 97,72; y z = −1, al 15,87. Para calcularlos, elige P(X < x), fija la media en 0 y la desviación estándar en 1 e introduce z como x.
Porque muestra el área entre 0 y z, no desde menos infinito. La tabla normal estándar del manual NIST/SEMATECH (§1.3.6.7.1) es de este tipo: da 0,47725 para z = 2,00. Al sumar el 0,5 situado por debajo de la media, se obtiene Φ(2) = 0,97725. Las tablas acumuladas y el modo P(X < x) de esta calculadora dan 0,97725 directamente.
1,96 para un intervalo bilateral del 95 %, porque queda un 2,5 % del área más allá de cada extremo, −1,96 y +1,96. Un límite unilateral del 95 % usa 1,645. Los valores bilaterales para el 90 % y el 99 % son 1,645 y 2,576. Para obtenerlos, elige «x para un área dada», fija la media en 0 y la desviación en 1, y selecciona el área central.
Esta calculadora incluye 7 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.