Calculadora de pruebas t de una muestra, dos muestras (Welch o varianza combinada) y muestras pareadas, y pruebas z de una media o proporción: valor p, valor crítico y decisión.
Máximo de decimales: 6; Al más cercano; empates alejándose de cero
Decisión
Se rechaza H₀
Estadístico de prueba
−2,395294
Grados de libertad
11
Valor crítico
2,201
Estimación
498,641667
Error estándar
0,567084
Se rechaza H₀ con α = 0.05. Si la media verdadera fuera 500, un resultado al menos tan extremo aparecería con probabilidad 0.0355. El valor p no es la probabilidad de que H₀ sea verdadera, y un resultado significativo no indica por sí solo la magnitud ni la importancia del efecto.
Área del valor p bajo t con 11 grados de libertad (línea sin etiqueta: t = −2.395)
Cómo se calcula S
Hipótesis
H0:μ=500,H1:μ=500
Resumen de la muestra
xˉ=498.641667,s=1.964438,n=12
Error estándar
SE=ns=121.964438=0.567084
Estadístico de prueba
t=0.567084498.641667−500=−2.395294,ν=n−1=11
Valor p
p=2P(t≥∣−2.395294∣)=0.035527177
Decisión
p≤α=0.05
Se rechaza H₀
Para una prueba bilateral, compara |t| con 2.201.
Acerca de Calculadora de pruebas t y z
Una prueba t divide la diferencia entre una media muestral y un valor hipotético, o entre dos medias muestrales, por su error estándar. Bajo los supuestos de la prueba, el cociente sigue una t de Student con n − 1 grados de libertad para una muestra o diferencias pareadas; n₁ + n₂ − 2 para dos muestras con varianza combinada; y el valor de Welch–Satterthwaite cuando las varianzas pueden diferir. Con σ poblacional conocida, el mismo cociente es un estadístico z. La prueba de proporciones compara de forma análoga la proporción muestral con p₀.
Se usa en controles de calidad, pruebas A/B y estudios de antes y después. Los datos iniciales son 12 pesos de llenado comparados con un objetivo de 500: media 498,64, t = −2,395 con 11 grados de libertad y p bilateral = 0,0355. Por tanto, la media difiere de 500 al nivel α = 0,05.
Las pruebas t de muestras independientes requieren observaciones independientes y poblaciones aproximadamente normales; la de varianza combinada también supone varianzas iguales. En pruebas pareadas, los pares son independientes y sus diferencias deben ser aproximadamente normales. Con varianza finita y muestreo adecuado, las muestras grandes toleran desviaciones moderadas de la normalidad. En listas de datos individuales, usa punto decimal; las comas separan valores.
Cómo hacer una prueba t
La prueba t para una muestra calcula t = (x̄ − μ₀) ÷ (s ÷ √n): la distancia entre la media muestral y la media de la hipótesis nula, medida en errores estándar, con n − 1 grados de libertad. Con los valores iniciales de la calculadora, doce pesos de llenado con media 498,64 contrastados con 500 dan t = −2,395 y un valor p bilateral de 0,0355.
Los pesos son 498,2; 501,3; 497,6; 499,1; 495,8; 500,4; 496,9; 498,7; 497,3; 499,8; 502,1 y 496,5. A mano:
Media: x̄ = 498,641667.
Desviación estándar muestral, dividiendo entre n − 1: s = 1,964438.
Error estándar: s ÷ √12 = 0,567084.
Estadístico: t = (498,641667 − 500) ÷ 0,567084 = −2,395294.
Valor p: el área más allá de ±2,395 bajo una t con 11 grados de libertad es 0,035527.
Con un nivel de significación α = 0,05, el valor crítico bilateral es 2,201. Como |t| = 2,395 lo supera, o lo que es lo mismo, p ≤ 0,05, se rechaza la hipótesis nula H₀: la media de llenado difiere de 500.
Prueba t de Welch o con varianza combinada
Para dos grupos independientes, el estadístico compara la diferencia de medias con su error estándar. Las dos versiones difieren en cómo obtienen ese error estándar:
Welch: EE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂), con los grados de libertad de Welch–Satterthwaite, que suelen ser fraccionarios.
Varianza combinada: une las varianzas en s_p² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²] ÷ (n₁ + n₂ − 2) y después EE = s_p √(1/n₁ + 1/n₂), con n₁ + n₂ − 2 grados de libertad.
Usa Welch salvo que haya buenas razones para creer que las varianzas poblacionales son iguales. Pierde poca potencia cuando lo son, mientras que la tasa de falsos positivos de la prueba combinada se aleja de α cuando difieren a la vez las varianzas y los tamaños de los grupos (NIST).
Sean las medias 20,1 y 17,4, las desviaciones estándar 3,2 y 4,8, y los tamaños 15 y 12:
Welch: EE = √(10,24/15 + 23,04/12) = 1,6133, t = 2,7 ÷ 1,6133 = 1,674 con 18,39 grados de libertad, p = 0,1111.
Combinada: s_p² = 15,872, EE = 1,5430, t = 1,750 con 25 grados de libertad, p = 0,0924.
Ningún resultado es significativo al 0,05. Aquí difieren tanto las desviaciones estándar como los tamaños, justo el caso para el que se diseñó Welch, y un valor p menor no es motivo para pasar a la varianza combinada.
Prueba t pareada
Cuando cada valor de una muestra se corresponde con uno de la otra, como las mismas personas medidas antes y después, se contrastan las diferencias. Se resta dentro de cada par y se hace una prueba t de una muestra de las diferencias frente a Δ₀, normalmente 0.
Sean ocho pares: 142 y 136, 138 y 135, 150 y 146, 145 y 144, 160 y 150, 155 y 149, 139 y 138, y 148 y 141. Las diferencias son 6, 3, 4, 1, 10, 6, 1 y 7.
Su media es 4,75 con desviación estándar 3,105, así que t = 4,75 ÷ (3,105 ÷ √8) = 4,33 con 7 grados de libertad, y el valor p de cola derecha es 0,0017.
Si los mismos números se tratan como dos muestras independientes, la prueba de Welch de cola derecha da p = 0,0935. El emparejamiento elimina la variabilidad entre personas: las primeras mediciones tienen una desviación estándar de 7,72, y las diferencias, solo de 3,11.
Pruebas z con σ conocida o para una proporción
Si la σ poblacional se conoce por una fuente externa a la muestra, el estadístico es z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ ÷ √n), que se lee en la normal estándar.
Una media de 103 obtenida de 36 valores con σ = 15, contrastada con 100, da z = 3 ÷ 2,5 = 1,2. El valor p de cola derecha es 0,1151, insuficiente para la significación al 0,05, que exige z mayor que 1,645.
La prueba z para una proporción usa la proporción de la hipótesis nula en el error estándar: z = (p̂ − p₀) ÷ √(p₀(1 − p₀) ÷ n). Para 540 éxitos en 1000 frente a p₀ = 0,5, z = 0,04 ÷ 0,015811 = 2,530, con un valor p bilateral de 0,0114.
La prueba de proporción es una aproximación normal sin corrección por continuidad. Si n·p₀ o n·(1 − p₀) es menor que 10, es más seguro un contraste binomial exacto.
¿Unilateral o bilateral?
Usa una prueba bilateral salvo que el sentido se haya fijado antes de ver los datos y un efecto en sentido contrario cuente igual que la ausencia de efecto. Para los pesos de llenado, el valor p de cola izquierda es 0,0178, la mitad del bilateral, 0,0355. El de cola derecha es 0,9822.
Elegir la cola después de ver los datos duplica la tasa real de falsos positivos. En todas las versiones se rechaza H₀ cuando p ≤ α.
Qué indica el valor p
El valor p es la probabilidad de obtener un estadístico al menos tan extremo como el observado si H₀ es cierta. Para los pesos de llenado, si la media real fuera 500, las muestras al menos igual de alejadas de 500 aparecerían aproximadamente un 3,6 % de las veces.
No es la probabilidad de que H₀ sea cierta, ni mide el tamaño del efecto. No rechazar H₀ no demuestra que las medias sean iguales; la muestra puede ser demasiado pequeña para detectar una diferencia real.
Supuestos
Las observaciones deben ser independientes y cada población, aproximadamente normal; en la prueba pareada, lo deben ser las diferencias. La prueba con varianza combinada supone además varianzas iguales.
Las muestras grandes toleran desviaciones moderadas de la normalidad, pero una asimetría fuerte o valores atípicos en una muestra pequeña pueden llevar a conclusiones erróneas.
Ejemplos de pruebas t
Escenario
Hipótesis alternativa
Valor p
Pesos de llenado iniciales frente a 500
Bilateral
0,035527
Resúmenes independientes, Welch
Bilateral
0,111135
Mismos resúmenes, varianza combinada
Bilateral
0,092410
540/1000 éxitos frente a 0,5
Bilateral
0,011412
σ conocida = 15, media 103, n = 36, valor nulo 100
Cola derecha
0,115070
Cada fila está desarrollada en un apartado anterior. Los resúmenes independientes son las medias 20,1 y 17,4, las desviaciones estándar 3,2 y 4,8, y los tamaños 15 y 12.
Estadísticos resumidos que hay que introducir bien
Desviación estándar, no error estándar. Los campos de resumen piden la desviación estándar muestral; un error estándar escrito en su lugar se divide entre √n por segunda vez.
Los resúmenes pareados son la media y la desviación estándar de las diferencias, con n igual al número de pares. Las medias y desviaciones de cada grupo por separado no bastan.
La diferencia hipotética Δ₀ es la muestra 1 menos la muestra 2 bajo H₀; intercambiar las muestras cambia el signo de t.
El valor crítico se da en valor absoluto: las pruebas bilaterales rechazan más allá de ± ese valor, y las de cola izquierda, por debajo de su opuesto.
Fuente de comprobación: valor p mediante la expresión cerrada A&S 26.7.3 para ν impar; t₀.₉₇₅,₁₁ = 2,201 (tabla t)
t de Welch a partir de estadísticos resumidos
Prueba
Prueba t de dos muestras, Welch (varianzas desiguales)
Intro
Estadísticos resumidos
Media de la muestra 1
20,1
Desviación estándar s₁
3,2
Tamaño de la muestra n₁
15
Media de la muestra 2
17,4
Desviación estándar s₂
4,8
Tamaño de la muestra n₂
12
Diferencia hipotética Δ₀
0
Hipótesis alternativa
≠ (bilateral)
Nivel de significación α
0,05
Estadístico de prueba
1,673611
Grados de libertad
18,3865
Valor p
0,111135
Fuente de comprobación: valor p mediante cuadratura de Gauss–Legendre de la densidad t
t combinada con los mismos resúmenes
Prueba
Prueba t de dos muestras, varianza combinada
Intro
Estadísticos resumidos
Media de la muestra 1
20,1
Desviación estándar s₁
3,2
Tamaño de la muestra n₁
15
Media de la muestra 2
17,4
Desviación estándar s₂
4,8
Tamaño de la muestra n₂
12
Diferencia hipotética Δ₀
0
Hipótesis alternativa
≠ (bilateral)
Nivel de significación α
0,05
Estadístico de prueba
1,749856
Grados de libertad
25
Valor p
0,09241
Fuente de comprobación: valor p mediante la expresión cerrada A&S 26.7.3 con ν = 25
t pareada, cola derecha
Prueba
Prueba t pareada
Intro
Datos individuales
Muestra 1
142 138 150 145 160 155 139 148
Muestra 2
136 135 146 144 150 149 138 141
Diferencia hipotética Δ₀
0
Hipótesis alternativa
> (cola derecha)
Nivel de significación α
0,05
Estadístico de prueba
4,32649
Grados de libertad
7
Valor p
0,001726
Estimación
4,75
Fuente de comprobación: valor p mediante la expresión cerrada de A&S con ν = 7
Preguntas
¿Qué indica un valor p?
Es la probabilidad de un estadístico al menos tan extremo como el observado, suponiendo verdadera la hipótesis nula. Para los datos iniciales, p = 0,0355: si la media verdadera fuera 500, resultados muestrales al menos tan alejados aparecerían aproximadamente el 3,6 % de las veces. No es la probabilidad de que H₀ sea verdadera ni mide la magnitud del efecto, como subraya la declaración de 2016 de la American Statistical Association sobre los valores p.
¿Debo usar la prueba t de Welch o la de varianza combinada?
Usa Welch salvo que haya razones sólidas para suponer varianzas iguales. Elimina ese supuesto y pierde poca potencia cuando las varianzas coinciden. En cambio, la tasa de falsos positivos de la prueba combinada puede alejarse de α cuando difieren tanto las varianzas como los tamaños de grupo. En el ejemplo trabajado, con s = 3,2 y 4,8 y n = 15 y 12, Welch da p = 0,111 con 18,4 grados de libertad; la combinada da p = 0,092 con 25.
¿Cuándo debo usar una prueba t pareada?
Cuando cada valor de una muestra esté emparejado con uno de la otra: los mismos pacientes antes y después de un tratamiento, o dos instrumentos que miden las mismas piezas. Se aplica una prueba t de una muestra a las diferencias, eliminando la variación entre sujetos. En el ejemplo pareado, ocho pares difieren en 4,75 de media, con t = 4,33, 7 grados de libertad y p unilateral = 0,0017.
¿Qué diferencia hay entre una prueba t y una prueba z?
La prueba z usa una desviación estándar poblacional σ conocida y la distribución normal estándar. La prueba t estima σ a partir de la muestra y usa la t de Student, cuyas colas más pesadas incorporan esa incertidumbre adicional. El valor crítico bilateral al 5 % es 1,960 para z, 2,201 para t con 11 grados de libertad y 2,042 con 30. En la práctica rara vez se conoce σ, por lo que t es la opción habitual para medias.
¿Debo usar una prueba unilateral o bilateral?
Usa una bilateral salvo que la dirección se haya fijado antes de ver los datos y un efecto en sentido contrario se trataría igual que la ausencia de efecto. Una unilateral concentra α en una cola, por lo que su valor p es la mitad del bilateral si el efecto apunta en la dirección prevista. Con t = −2,395 y 11 grados de libertad, p es 0,0355 bilateral y 0,0178 de cola izquierda. Elegir la cola después de observar el resultado duplica la tasa real de falsos positivos.
Welch, B. L. (1947). The generalization of Student's problem when several different population variances are involved. Biometrika 34, 28–35
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