एक-नमूना, दो-नमूना (वेल्च या पूल्ड) और युग्मित t-परीक्षण तथा औसत या अनुपात के z-परीक्षण करें; p-मान, क्रांतिक मान और निष्कर्ष पाएँ।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7
α = 0.05 पर H₀ को अस्वीकार करें। यदि वास्तविक औसत 500 हो, तो कम-से-कम इतना चरम परिणाम मिलने की प्रायिकता 0.0355 होगी। p-मान H₀ के सही होने की संभावना नहीं है, और सांख्यिकीय रूप से सार्थक परिणाम प्रभाव के आकार या व्यावहारिक महत्व को नहीं बताता।
H₀ अस्वीकार करें
द्विपक्षीय परीक्षण में |t| की तुलना 2.201 से करें।
t-परीक्षण नमूना औसत और परिकल्पित मान, या दो नमूना औसतों के अंतर को उसकी मानक त्रुटि से भाग देता है। एक नमूने या युग्मित अंतरों के लिए अनुपात का Student t-वितरण n − 1 स्वतंत्रता अंश वाला है। संयुक्त दो-नमूना परीक्षण में n₁ + n₂ − 2 और असमान प्रसरणों में Welch–Satterthwaite स्वतंत्रता अंश उपयोग होते हैं। समष्टि का σ ज्ञात हो तो अनुपात z-सांख्यक है; अनुपात परीक्षण इसी तरह नमूना अनुपात की p₀ से तुलना करता है।
गुणवत्ता जाँच, A/B परीक्षण और पहले-बाद के अध्ययन इसके सामान्य उपयोग हैं। डिफ़ॉल्ट में भराव वजन के 12 मानों को लक्ष्य 500 से जाँचा जाता है: औसत 498.64, t = −2.395, स्वतंत्रता अंश 11 और द्विपक्षीय p = 0.0355। इसलिए α = 0.05 पर औसत 500 होने की शून्य परिकल्पना अस्वीकार होती है।
स्वतंत्र-नमूना t-परीक्षणों में प्रेक्षण स्वतंत्र और समष्टियाँ लगभग सामान्य होनी चाहिए; संयुक्त परीक्षण समान प्रसरण भी मानता है। युग्मित परीक्षण में अलग-अलग युग्म स्वतंत्र और उनके अंतर लगभग सामान्य होने चाहिए। परिमित प्रसरण और उपयुक्त नमूना चयन होने पर बड़े नमूने मध्यम असामान्यता सह सकते हैं।
परीक्षण का प्रकार, डेटा देने की विधि और वैकल्पिक परिकल्पना चुनें। एक-नमूना t में t = (x̄−μ₀)/(s/√n), df = n−1 है। प्रारंभिक 12 भराव मापों में माध्य 498.641667, नमूना SD 1.964438 और शून्य मान 500 है। मानक त्रुटि 0.567084, t ≈ −2.395294 और दो-तरफा p-मूल्य 0.035527 मिलता है।
α = 0.05 पर यह शून्य परिकल्पना अस्वीकार करता है। केवल p देखना पर्याप्त नहीं: अनुमानित फर्क, इकाई, नमूना और अध्ययन का संदर्भ भी देखें। सारांश देते समय नमूने का SD भरें, SE नहीं; SE देने पर फॉर्म उसे √n से दोबारा भाग देगा।
वेल्च में SE = √(s₁²/n₁+s₂²/n₂) है। संयुक्त विकल्प समान समष्टि प्रसरण मानकर भारित संयुक्त प्रसरण लेता है। NIST का दो-नमूना संदर्भ दोनों गणनाएँ और वेल्च की भिन्नात्मक स्वतंत्रता डिग्री देता है।
माध्य 20.1 तथा 17.4, SD 3.2 तथा 4.8, आकार 15 तथा 12 पर वेल्च p ≈ 0.111135 और संयुक्त p ≈ 0.092410 है। छोटा p पाने के लिए विधि न बदलें। समूह 1 घटा समूह 2 वाले क्रम और परिकल्पित अंतर Δ₀ को संगत रखें।
एक ही व्यक्ति के पहले और बाद के माप युग्मित हैं। हर जोड़े में पहला घटा दूसरा लें, फिर उन अंतरों का एक-नमूना t परीक्षण करें। मूल डेटा की दोनों सूचियों का क्रम मेल खाना चाहिए। युग्मित सारांश में अंतरों का माध्य, अंतरों का SD और जोड़ों की संख्या दें। अलग-अलग समूहों के केवल दो माध्य और SD पर्याप्त नहीं हैं।
अंतर 6, 3, 4, 1, 10, 6, 1, 7 पर माध्य 4.75, SD लगभग 3.105 और t लगभग 4.33 है। सात df पर दाएँ-तरफा p लगभग 0.0017 है। उन्हीं मूल मापों को स्वतंत्र समूह मानने से दूसरा प्रश्न बनता है।
समष्टि का σ बाहर से ज्ञात हो तभी माध्य वाला z चुनें। σ = 15, माध्य 103, n = 36, शून्य माध्य 100 पर z = 1.2 और दाएँ-तरफा p ≈ 0.115070 है। अनुपात में शून्य परिकल्पना का p₀ मानक त्रुटि में आता है: z = (p̂−p₀)/√(p₀(1−p₀)/n)।
1,000 में 540 सफलता, p₀ = 0.5 पर दो-तरफा p ≈ 0.011412 है। यह निरंतरता-सुधार के बिना सामान्य सन्निकटन है। छोटे अपेक्षित सफलता या विफलता समूह में सटीक द्विपद विधि की जरूरत हो सकती है।
| उदाहरण | वैकल्पिक परिकल्पना | p-मूल्य |
|---|---|---|
| प्रारंभिक भराव मापों की 500 से तुलना | दो-तरफा | 0.035527 |
| स्वतंत्र समूहों के सारांश, वेल्च | दो-तरफा | 0.111135 |
| वही सारांश, संयुक्त प्रसरण | दो-तरफा | 0.092410 |
| 540/1000 सफलताओं की 0.5 से तुलना | दो-तरफा | 0.011412 |
| ज्ञात σ = 15, माध्य 103, n = 36, शून्य परिकल्पना 100 | दाएँ-तरफा | 0.115070 |
प्रारंभिक भराव डेटा का बाएँ-तरफा p लगभग 0.0178 और दाएँ-तरफा 0.9822 है। दिशा डेटा देखने से पहले तय होनी चाहिए। दो-तरफा क्रांतिक मान के दोनों चिह्न, बाएँ-तरफा में ऋणात्मक सीमा और दाएँ-तरफा में धनात्मक सीमा लागू हैं।
p-मूल्य H₀ सही मानकर कम-से-कम इतना चरम परिणाम आने की संभावना है; यह H₀ के सही होने की संभावना नहीं है। अस्वीकार न करना बराबरी सिद्ध नहीं करता। माप स्वतंत्र हों और छोटे नमूने में संबंधित समष्टि, या युग्मित अंतरों, की सामान्यता देखें। प्रभाव का अंतराल विश्वास अंतराल, कई समूहों के लिए ANOVA, योजना के लिए नमूना आकार देखें।
जाँच का स्रोत: विषम ν पर A&S 26.7.3 के बंद रूप से p-मान; t₀.₉₇₅,₁₁ = 2.201 (t-तालिका)
जाँच का स्रोत: t-घनत्व के Gauss–Legendre समाकलन से p-मान
जाँच का स्रोत: ν = 25 पर A&S 26.7.3 के बंद रूप से p-मान
जाँच का स्रोत: ν = 7 पर A&S के बंद रूप से p-मान
शून्य परिकल्पना सही मानने पर, देखे गए सांख्यक जितना या उससे अधिक चरम सांख्यक मिलने की प्रायिकता। डिफ़ॉल्ट में p = 0.0355 है: वास्तविक औसत 500 हो तो लगभग 3.6% नमूनों में कम-से-कम इतना चरम मानकीकृत अंतर मिलेगा। यह H₀ के सही होने की संभावना या प्रभाव का आकार नहीं है; American Statistical Association के 2016 के p-मान वक्तव्य में भी यही भेद बताया गया है।
प्रसरण समान मानने का अच्छा आधार न हो तो Welch परीक्षण उपयुक्त सामान्य विकल्प है। यह समान प्रसरण की शर्त हटाता है और प्रसरण वास्तव में समान हों तब भी शक्ति में आम तौर पर कम नुकसान होता है। समूह आकार और प्रसरण दोनों अलग हों तो संयुक्त परीक्षण की गलत सकारात्मक दर α से भटक सकती है। उदाहरण में s = 3.2 और 4.8, n = 15 और 12 पर Welch से 18.4 स्वतंत्रता अंश और p = 0.111 मिलता है; संयुक्त परीक्षण से 25 स्वतंत्रता अंश और p = 0.092।
जब एक नमूने का हर मान दूसरे के एक मान से जुड़ा हो: जैसे उन्हीं लोगों का उपचार से पहले और बाद का माप, या उन्हीं पुर्जों को मापते दो उपकरण। यह अंतरों पर एक-नमूना t-परीक्षण है, जिससे व्यक्तियों के बीच का बदलाव अलग हो जाता है। उदाहरण के आठ युग्मों में औसत अंतर 4.75 है; t = 4.33, स्वतंत्रता अंश 7 और दाएँ-पक्षीय p लगभग 0.0017 है।
z-परीक्षण ज्ञात समष्टि मानक विचलन σ और मानक सामान्य वितरण उपयोग करता है। t-परीक्षण σ का अनुमान नमूने से लगाता है और Student t उपयोग करता है, जिसके भारी पुच्छ उस अतिरिक्त अनिश्चितता को शामिल करते हैं। द्विपक्षीय 5% क्रांतिक मान z के लिए 1.960, 11 स्वतंत्रता अंश वाले t के लिए 2.201 और 30 के लिए 2.042 है। व्यवहार में σ प्रायः ज्ञात नहीं होता, इसलिए औसतों के लिए t-परीक्षण सामान्य विकल्प है।
दिशा डेटा देखने से पहले तय न की गई हो, या विपरीत दिशा का प्रभाव भी महत्वपूर्ण हो, तो द्विपक्षीय परीक्षण लें। एकपक्षीय परीक्षण पूरा α एक पुच्छ में रखता है; प्रभाव चुनी दिशा में हो तो उसका p-मान द्विपक्षीय का आधा है। 11 स्वतंत्रता अंश पर t = −2.395 के लिए द्विपक्षीय p = 0.0355 और बाएँ-पक्षीय p = 0.0178 है। डेटा देखकर अधिक अनुकूल पुच्छ चुनने से वास्तविक गलत सकारात्मक दर बढ़ती है; सममित निरंतर शून्य वितरण में यह दोगुनी हो सकती है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।