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चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर

जमा राशि और नियमित निवेश का भविष्य मूल्य निकालें। दैनिक और निरंतर सहित किसी भी चक्रवृद्धि आवृत्ति का उपयोग करें।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 6

$
%
$
आज़माएँ
भावी मूल्य
$
भावी मूल्य: $54,713.58
दशमलव स्थान: 2; निकटतम; बराबर दूरी पर सम अंक की ओर
कुल जमा
$34,000.00
अर्जित ब्याज
$20,713.58
प्रभावी वार्षिक दर
7.2290%
योगदानों की संख्या
120

10 वर्ष बाद शेष राशि $54,713.58 है: इसमें $34,000.00 आपकी जमा राशि है और $20,713.58 ब्याज, जो अंतिम शेष का 37.9% है।

शेष राशि: जमा और ब्याज

$0$20K$40K0246810वर्ष
जमाब्याज

अंतिम शेष किससे बना है

$54.7Kभावी मूल्य
शुरुआती जमा18.3%अंशदान43.9%ब्याज37.9%
वर्ष-दर-वर्ष बढ़त पंक्तियाँ: 10
वर्षजमाब्याजकुल जमाशेष राशि
1$2,400.00$801.42$12,400.00$13,201.42
2$2,400.00$1,032.85$14,800.00$16,634.27
3$2,400.00$1,281.01$17,200.00$20,315.28
4$2,400.00$1,547.11$19,600.00$24,262.39
5$2,400.00$1,832.45$22,000.00$28,494.83
6$2,400.00$2,138.41$24,400.00$33,033.24
7$2,400.00$2,466.49$26,800.00$37,899.74
8$2,400.00$2,818.29$29,200.00$43,118.03
9$2,400.00$3,195.52$31,600.00$48,713.55
10$2,400.00$3,600.02$34,000.00$54,713.58
गणना कैसे होती है S

  1. शुरुआती जमा की वृद्धि

    P(1+0.0712)12×10=20,096.61P\left(1+\frac{0.07}{12}\right)^{12 \times 10} = 20{,}096.61

  2. प्रति योगदान अवधि दर

    i=(1+0.0712)12/12−1=0.005833333333i = \left(1+\frac{0.07}{12}\right)^{12/12} - 1 = 0.005833333333

    नाममात्र दर को एक योगदान अंतराल की समतुल्य दर में बदलता है, ताकि कोई भी चक्रवृद्धि आवृत्ति किसी भी योगदान आवृत्ति के साथ चल सके।

  3. 120 योगदानों का भविष्य मूल्य

    C (1+i)N−1i=200.00×(1+0.005833333333)120−10.005833333333=34,616.96C\,\frac{(1+i)^{N}-1}{i} = 200.00 \times \frac{(1+0.005833333333)^{120}-1}{0.005833333333} = 34{,}616.96

  4. भावी मूल्य

    A=20,096.61+34,616.96=54,713.58A = 20{,}096.61 + 34{,}616.96 = 54{,}713.58

    राशियाँ 2 दशमलव तक half-to-even नियम से पूर्णांकित दिखाई गई हैं; इस पंक्ति से पहले कुछ भी पूर्णांकित नहीं किया गया।

  5. प्रभावी वार्षिक दर

    (1+0.0712)12−1=7.2290%\left(1+\frac{0.07}{12}\right)^{12} - 1 = 7.2290\%

चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर के बारे में

चक्रवृद्धि ब्याज में हर अवधि का ब्याज शेष राशि में जुड़ जाता है, इसलिए बाद का ब्याज पहले के ब्याज पर भी मिलता है। वार्षिक दर r पर, साल में k बार चक्रवृद्धि के साथ, एक जमा t वर्ष में A = P(1 + r/k)^(kt) हो जाती है; निरंतर चक्रवृद्धि में यह P × e^(rt) है। नियमित योगदान हर योगदान अवधि की समतुल्य दर पर वार्षिकी (एन्युटी) की तरह जोड़े जाते हैं, जो हर अवधि की शुरुआत या अंत में दिए जाते हैं।

डिफ़ॉल्ट मानों में 7% मासिक चक्रवृद्धि पर 10,000 और हर महीने के अंत में 200 मिलकर 10 वर्ष में 54,713.58 हो जाते हैं। कुल जमा 34,000.00 है, इसलिए 20,713.58, यानी अंतिम शेष का 37.9%, ब्याज है। प्रभावी वार्षिक दर 7.2290% है।

दर स्थिर मानी गई है और कोई कर या शुल्क नहीं घटाया गया है। निवेश का प्रतिफल हर वर्ष बदलता है, इसलिए तय दर वाले खाते के अलावा किसी और चीज़ के लिए परिणाम बताता है कि एक स्थिर औसत दर से कितना बनता।

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र

यह कैलकुलेटर किसी जमा राशि और नियमित योगदान का भविष्य मूल्य, कुल जमा, अर्जित ब्याज और प्रभावी वार्षिक दर निकालता है, किसी भी चक्रवृद्धि आवृत्ति पर। डिफ़ॉल्ट मानों में 7% वार्षिक दर (मासिक चक्रवृद्धि) पर 10,000 की जमा और हर महीने के अंत में 200 का योगदान 10 वर्ष में 54,713.58 हो जाता है। कुल जमा 34,000.00 है, इसलिए 20,713.58, यानी अंतिम शेष का 37.9%, ब्याज है; प्रभावी वार्षिक दर 7.2290% है।

एक जमा के लिए सूत्र है A = P(1 + r/k)^(kt), जहाँ P शुरुआती राशि, r दशमलव में नाममात्र वार्षिक दर, k वर्ष में चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या और t वर्ष है। 6% तिमाही चक्रवृद्धि पर 5,000 8 वर्ष में 5,000 × 1.015^32 = 8,051.62 हो जाते हैं। चक्रवृद्धि ब्याज A − P = 3,051.62 है।

यह सूत्र उस एक जमा पर लागू होता है जिसका ब्याज खाते में ही रहता है। उसी जमा पर साधारण ब्याज P × r × t = 5,000 × 0.06 × 8 = 2,400 है; अतिरिक्त 651.62 पहले के ब्याज पर मिला ब्याज है।

सावधि जमा (FD) का रिटर्न कैसे निकालें

संचयी (क्यूम्युलेटिव) सावधि जमा अपना ब्याज दोबारा निवेश करती है, इसलिए तिमाही चक्रवृद्धि वाली जमा P परिपक्वता पर P × (1 + r/4)^(4t) होती है, जहाँ r दशमलव में वार्षिक दर और t वर्ष है। 7% पर 5 वर्ष के लिए 100,000 परिपक्वता पर 141,477.82 होते हैं, जिनमें 41,477.82 ब्याज है।

नीचे की पंक्तियाँ 7% वार्षिक, तिमाही चक्रवृद्धि पर 100,000 की हैं, बीच में कुछ जोड़े या निकाले बिना। 7% केवल उदाहरण है, किसी बैंक की दर नहीं:

अवधि, वर्षपरिपक्वता राशिअर्जित ब्याज
1107185.907185.90
2114888.1814888.18
3123143.9323143.93
5141477.8241477.82

अगर जमा ब्याज बाहर भुगतान करती है, तो आपको हर तिमाही 100,000 × 7% ÷ 4 = 1,750 मिलते हैं, यानी 5 वर्ष में 35,000। यह दोबारा निवेश करने से 6,477.82 कम है, और यह साधारण ब्याज है, जिसके लिए साधारण ब्याज कैलकुलेटर है।

ब्याज पर कर और समय से पहले निकासी का कोई जुर्माना इन राशियों को घटाते हैं। किसी FD की परिपक्वता राशि से उसकी दर निकालने के लिए पैसे का समय मूल्य कैलकुलेटर में दर हल करें।

कुछ दिनों के लिए दैनिक चक्रवृद्धि ब्याज

दैनिक चक्रवृद्धि में शेष राशि हर दिन 1 + r/365 से गुणा होती है, इसलिए D दिन बाद यह P × (1 + r/365)^D होती है। 6% पर 10,000 90 दिन में 10,149.03 और 365 दिन बाद 10,618.31 हो जाते हैं। D दिन की अवधि D/365 वर्ष है, जैसा दूसरा स्तंभ लिखता है:

दिनवर्षों में डाली गई अवधिअंतिम शेषअर्जित ब्याज
3030/36510049.4349.43
9090/36510149.03149.03
180180/36510300.29300.29
365365/36510618.31618.31

कई खाते ब्याज की गणना रोज़ करते हैं पर उसे हर महीने जमा करते हैं। जमा होने तक ब्याज पर कुछ नहीं मिलता, इसलिए ऐसा खाता असल में मासिक चक्रवृद्धि देता है और इन आँकड़ों से थोड़ा कम कमाता है।

दिनों की गिनती भी अलग हो सकती है: कुछ अनुबंध वार्षिक दर को 360 से, या लीप वर्ष में 366 से भाग देते हैं, जबकि ये आँकड़े हमेशा 365 लेते हैं।

आवर्ती जमा (RD) की परिपक्वता राशि कैसे निकालें

आवर्ती जमा में हर महीने एक ही राशि जुड़ती है, और हर किस्त जमा होने के दिन से ब्याज कमाती है। 6% मासिक चक्रवृद्धि पर 2 वर्ष तक हर महीने के अंत में 1,000 जमा करने से 25,431.96 बनते हैं: 24,000 जमा और 1,431.96 ब्याज।

हर महीने की शुरुआत में जमा करने पर 25,559.12 बनते हैं, क्योंकि हर किस्त एक महीना अधिक ब्याज कमाती है। बैंक के आँकड़े से तुलना करने से पहले खाते की किस्त की तारीखें और चक्रवृद्धि की आवृत्ति जाँच लें।

किसी लक्ष्य तक पहुँचाने वाली मासिक जमा निकालने के लिए बचत लक्ष्य कैलकुलेटर इस्तेमाल करें।

मासिक योगदान के साथ चक्रवृद्धि ब्याज कैसे निकालें

उसी 5,000 पर, 6% तिमाही चक्रवृद्धि पर 8 वर्ष तक, हर महीने के अंत में 100 और जोड़ें। जमा और योगदान को अलग-अलग बढ़ाएँ, फिर जोड़ें।

  1. प्रति चक्रवृद्धि अवधि दर: 6% ÷ 4 = 1.5%।
  2. 32 तिमाहियों में जमा की वृद्धि: 5,000 × 1.015^32 = 5,000 × 1.610324 = 8,051.62।
  3. प्रति योगदान अवधि दर। ब्याज तिमाही में चक्रवृद्धि होता है पर पैसा हर महीने आता है, इसलिए वह मासिक दर खोजें जो तीन महीने में चक्रवृद्धि होकर 1.5% बने: i = 1.015^(1/3) − 1 = 0.4975%।
  4. 96 योगदानों की वृद्धि: 100 × ((1 + i)^96 − 1) ÷ i = 100 × 122.6732 = 12,267.32। क्योंकि (1 + i)^96 = 1.015^32 है, वही 1.610324 फिर आता है।
  5. भविष्य मूल्य: 8,051.62 + 12,267.32 = 20,318.94। आपने 14,600 जमा किए, इसलिए ब्याज 5,718.94 है।

तीसरा कदम छोड़कर 6% ÷ 12 = 0.5% मासिक लेने से योगदान 12,267.32 की जगह 12,282.85 आते हैं। यह छोटा तरीका चुपचाप योगदानों को मासिक चक्रवृद्धि पर डाल देता है।

ज़रूरी दर या समय कैसे निकालें

A = P(1 + r/k)^(kt) को पुनर्व्यवस्थित करने से दो और आम सवालों के उत्तर मिलते हैं:

  • ज़रूरी दर: r = k × ((A ÷ P)^(1 ÷ kt) − 1)। मासिक चक्रवृद्धि पर 6 वर्ष में 10,000 को 15,000 बनाने के लिए 12 × (1.5^(1/72) − 1) = 6.78% वार्षिक चाहिए।
  • ज़रूरी समय: t = ln(A ÷ P) ÷ (k × ln(1 + r/k))। 5% मासिक चक्रवृद्धि पर 10,000 ln 2.5 ÷ (12 × ln 1.0041667) = 18.36 वर्ष बाद, 221वीं मासिक चक्रवृद्धि पर, 25,000 तक पहुँचते हैं।

स्प्रेडशीट में ये रूपांतरण पहले से हैं। =EFFECT(6%, 4) 6.1364% देता है, जो तिमाही उदाहरण की प्रभावी दर है, और =NOMINAL(EFFECT(6%, 4), 12) 5.9702% देता है, जो तीसरे कदम की मासिक दर का 12 गुना है।

चक्रवृद्धि आवृत्ति के अनुसार प्रभावी वार्षिक दर

प्रभावी वार्षिक दर बताती है कि चक्रवृद्धि मिलाकर कोई नाममात्र दर एक वर्ष में कितना कमाती है: वर्ष में k अवधियों के लिए (1 + r/k)^k − 1, या निरंतर चक्रवृद्धि के लिए e^r − 1। नीचे हर खाने में वही प्रतिशत है:

नाममात्र दरवार्षिकछमाहीतिमाहीमासिकदैनिक (365)निरंतर
2%2.00002.01002.01512.01842.02012.0201
4%4.00004.04004.06044.07424.08084.0811
6%6.00006.09006.13646.16786.18316.1837
8%8.00008.16008.24328.30008.32788.3287
10%10.000010.250010.381310.471310.515610.5171
12%12.000012.360012.550912.682512.747512.7497

दर जितनी ऊँची, आवृत्ति का असर उतना अधिक। 2% पर वार्षिक से निरंतर तक पूरा अंतर 0.02 अंक है; 12% पर यह 0.75 अंक है। दैनिक चक्रवृद्धि के बाद लगभग कुछ नहीं बचता।

APY बनाम प्रभावी वार्षिक दर

अमेरिकी बैंकों को बचत पर प्रतिफल वार्षिक प्रतिशत प्रतिफल (APY) के रूप में बताना होता है। Regulation DD इसे APY = 100 × ((1 + ब्याज ÷ मूलधन)^(365 ÷ अवधि के दिन) − 1) के रूप में परिभाषित करता है (12 CFR 1030, Appendix A)।

उसी नियम का अपना उदाहरण: 182 दिन के सर्टिफ़िकेट पर 1,000 पर 30.37 ब्याज का APY 6.18% है। शुल्क न हों और दर स्थिर रहे तो APY प्रभावी वार्षिक दर के बराबर होता है, इसलिए 5% दैनिक चक्रवृद्धि का APY 5.1267% है और 1,000 पर वर्ष में 51.27 कमाता है।

दो ऑफ़रों की तुलना केवल प्रभावी दर पर की जा सकती है। मासिक चक्रवृद्धि वाला 4.95% का खाता (5.0639% प्रभावी) वार्षिक चक्रवृद्धि वाले 5% के खाते (5.0000%) से बेहतर है, भले ही उसकी घोषित दर कम हो।

72 का नियम कितना सटीक है?

72 को वार्षिक दर से भाग देने पर अनुमान मिलता है कि पैसा कितने वर्ष में दोगुना होगा। वार्षिक चक्रवृद्धि में सटीक समय ln 2 ÷ ln(1 + r) है:

दर72 का नियम (वर्ष)सटीक (वर्ष)त्रुटि
1%72.0069.66+3.4%
2%36.0035.00+2.8%
3%24.0023.45+2.3%
4%18.0017.67+1.9%
6%12.0011.90+0.9%
8%9.009.01−0.1%
10%7.207.27−1.0%
12%6.006.12−1.9%
15%4.804.96−3.2%
20%3.603.80−5.3%

4% और उससे कम पर 70 से भाग देना अधिक सटीक है: 70 ÷ 2 = 35.00 सटीक आँकड़े से मेल खाता है, और 70 ÷ 4 = 17.50 केवल 0.17 वर्ष दूर है, जबकि 72 का नियम 0.33 वर्ष दूर है।

निरंतर चक्रवृद्धि में सटीक दोगुना-समय 69.3 ÷ दर है, क्योंकि ln 2 = 0.693। यह नियम मुद्रास्फीति पर भी चलता है: 3% वार्षिक पर कीमतें लगभग 24 वर्ष में दोगुनी हो जाती हैं।

हर अवधि की शुरुआत या अंत में जमा

अवधि की शुरुआत में दिया गया भुगतान अंत में दिए गए भुगतान से एक अवधि अधिक बढ़ता है, जिससे योगदानों का कुल (1 + i) गुना हो जाता है। 6% मासिक चक्रवृद्धि पर हर महीने 300 के लिए:

वर्षकुल जमामहीने के अंत मेंमहीने की शुरुआत मेंअंतर
1036,00049,163.8049,409.62245.82
2072,000138,612.27139,305.33693.06
30108,000301,354.51302,861.291,506.77
40144,000597,447.22600,434.462,987.24

हर अवधि पर समय का यह अंतर शेष राशि का 0.5% है, यानी एक महीने की वृद्धि। अवधि का असर कहीं बड़ा है: 10 वर्ष बाद महीने के अंत वाली शेष राशि का 26.8% ब्याज है और 40 वर्ष बाद 75.9%।

आवृत्ति भी मायने रखती है। वही 3,600 हर वर्ष के अंत में एक साथ जमा करने पर 10 वर्ष बाद 47,826.41 बनते हैं, जो हर महीने 300 से लगभग 1,337 कम है, क्योंकि मासिक भुगतान जल्दी कमाना शुरू करते हैं।

समय वही चुनें जब पैसा सच में खाते में पहुँचता है। हर महीने की पहली तारीख को होने वाला ट्रांसफ़र अवधि की शुरुआत का भुगतान है; महीने के अंत के वेतन से कटने वाली राशि अवधि के अंत का भुगतान है।

भविष्य मूल्य क्या नहीं दिखाता

  • मुद्रास्फीति। भविष्य मूल्य भविष्य के पैसे में है। 7% वृद्धि और 3% मुद्रास्फीति पर वास्तविक प्रतिफल 4% नहीं, 1.07 ÷ 1.03 − 1 = 3.88% वार्षिक है। मुद्रास्फीति कैलकुलेटर परिणाम को वापस आज के पैसे में बदलता है।
  • कर और शुल्क। कुछ भी नहीं घटाया गया है। 7% प्रतिफल पर हर वर्ष 1% शुल्क लेने वाला फंड लगभग 6% से बढ़ता है, इसलिए लागत के बाद का प्रतिफल डालें।
  • बदलती दरें। पूरी अवधि पर एक ही दर लगती है। तय अवधि की जमा के बाद बदलती दर हो, तो पहले तय हिस्से का हिसाब लगाएँ और उसके परिणाम को दूसरे हिसाब की शुरुआती जमा बनाएँ।

हर वर्ष बढ़ने वाले मासिक म्यूचुअल फंड निवेश के लिए SIP कैलकुलेटर इस्तेमाल करें।

हल किए गए उदाहरण

7% मासिक चक्रवृद्धि पर 10 वर्ष के लिए 10,000 और हर महीने 200

शुरुआती जमा
10,000
ब्याज दर (प्रति वर्ष)
7%
अवधि
10
अवधि की इकाई
वर्ष
चक्रवृद्धि
मासिक
नियमित योगदान
200
योगदान हर
महीना
योगदान का समय
अवधि के अंत में
भावी मूल्य
54,713.58
कुल जमा
34,000.00
अर्जित ब्याज
20,713.58
प्रभावी वार्षिक दर
7.2290%

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

Excel FV का उदाहरण: 500 और हर महीने की शुरुआत में 200, 6%, 10 महीने

शुरुआती जमा
500
ब्याज दर (प्रति वर्ष)
6%
अवधि
10
अवधि की इकाई
महीने
चक्रवृद्धि
मासिक
नियमित योगदान
200
योगदान हर
महीना
योगदान का समय
अवधि की शुरुआत में
भावी मूल्य
2,581.40

जाँच का स्रोत: Microsoft का FV दस्तावेज़, =FV(0.06/12, 10, -200, -500, 1) = $2,581.40

निरंतर चक्रवृद्धि, बिना योगदान

शुरुआती जमा
1000
ब्याज दर (प्रति वर्ष)
5%
अवधि
10
अवधि की इकाई
वर्ष
चक्रवृद्धि
सतत
नियमित योगदान
0
योगदान हर
महीना
योगदान का समय
अवधि के अंत में
भावी मूल्य
1,648.72
प्रभावी वार्षिक दर
5.1271%

जाँच का स्रोत: 1000·e^0.5 = 1648.7212707… और e^0.05 − 1 = 5.12710964 %

शून्य दर

शुरुआती जमा
1000
ब्याज दर (प्रति वर्ष)
0%
अवधि
2
अवधि की इकाई
वर्ष
चक्रवृद्धि
मासिक
नियमित योगदान
100
योगदान हर
महीना
योगदान का समय
अवधि के अंत में
भावी मूल्य
3,400.00
अर्जित ब्याज
0.00
योगदानों की संख्या
24

जाँच का स्रोत: परिभाषा से 1000 + 24 × 100

सवाल

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र क्या है?

A = P(1 + r/n)^(nt), जहाँ P जमा राशि, r वार्षिक दर, n वर्ष में चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या और t वर्षों की संख्या है। 7% मासिक चक्रवृद्धि पर 10 वर्ष में 10,000 बढ़कर 10,000 × (1 + 0.07/12)^120 = 20,096.61 हो जाते हैं, यानी ब्याज 10,096.61 है। Excel का =FV(0.07/12, 120, 0, -10000) भी यही राशि देता है।

चक्रवृद्धि की आवृत्ति से कितना फ़र्क पड़ता है?

ज़्यादातर लोगों की सोच से कम। 7% पर 10 वर्ष में 10,000 वार्षिक चक्रवृद्धि से 19,671.51, तिमाही से 20,015.97, मासिक से 20,096.61, दैनिक से 20,136.18 और निरंतर चक्रवृद्धि से 20,137.53 हो जाते हैं। संबंधित प्रभावी वार्षिक दरें 7%, 7.1859%, 7.2290%, 7.2501% और 7.2508% हैं, इसलिए मासिक से दैनिक पर जाने से दस वर्ष में लगभग 40 बढ़ते हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज से पैसा दोगुना होने में कितना समय लगता है?

अनुमान के लिए 72 को वार्षिक दर से भाग दें (72 का नियम); वार्षिक चक्रवृद्धि में सटीक समय ln 2 ÷ ln(1 + r) है। 7% पर नियम 72 ÷ 7 = 10.29 वर्ष देता है और सटीक उत्तर ln 2 ÷ ln 1.07 = 10.24 वर्ष है। यह नियम 8% के आसपास सबसे सटीक है।

साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज में क्या अंतर है?

साधारण ब्याज केवल मूल जमा पर मिलता है; चक्रवृद्धि ब्याज पहले कमाए ब्याज पर भी मिलता है। 7% पर 10 वर्ष के लिए 10,000 पर साधारण ब्याज 10,000 × 0.07 × 10 = 7,000 है, जबकि वार्षिक चक्रवृद्धि से 9,671.51 और मासिक चक्रवृद्धि से 10,096.61 मिलते हैं। समय के साथ अंतर बढ़ता है, क्योंकि चक्रवृद्धि वृद्धि घातांकी होती है।

जल्दी बचत शुरू करने से कितना फ़र्क पड़ता है?

बहुत, क्योंकि सबसे पहले की जमा राशि सबसे लंबे समय तक चक्रवृद्धि पाती है। 7% मासिक चक्रवृद्धि पर हर महीने 200 बचाने से 48,000 की जमा पर 20 वर्ष में 104,185.33 बनते हैं, पर 72,000 की जमा पर 30 वर्ष में 243,994.20। अतिरिक्त 10 वर्ष जमा में 24,000 और अंतिम शेष में 139,808.87 जोड़ते हैं।

इस कैलकुलेटर के बारे में

A=P(1+rk)kt+C (1+i)N−1i (1+i)δ,i=(1+rk)k/m−1, N=mtA = P\left(1+\tfrac{r}{k}\right)^{kt} + C\,\frac{(1+i)^{N}-1}{i}\,(1+i)^{\delta},\quad i = \left(1+\tfrac{r}{k}\right)^{k/m}-1,\ N = mt

स्रोत

  1. Microsoft Excel FV function
  2. U.S. SEC Investor.gov — Compound interest calculator

केवल योजना बनाने के लिए। ऋणदाता, कर अधिकारी और बाज़ार अपने पूर्णांकन, शुल्क और नियम लागू करते हैं; कोई प्रतिबद्धता करने से पहले उनसे आँकड़ों की पुष्टि करें।

संदर्भों से जाँच की गई

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