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समतल आकृतियों का क्षेत्रफल और परिमाप कैलकुलेटर

आयत, त्रिभुज, समलंब, वृत्त, दीर्घवृत्त, सम बहुभुज और वलय सहित 15 समतल आकृतियों का क्षेत्रफल व परिमाप निकालें और मापानुसार चित्र देखें।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 16

आज़माएँ
क्षेत्रफल
cm²
क्षेत्रफल: 40 cm²
अधिकतम दशमलव स्थान: 4; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
परिमाप
26cm
विकर्ण
9.434cm

आयत का क्षेत्रफल 40 cm² है और उसकी सीमा की लंबाई 26 cm है।

पैमाने के अनुसार आयत

l = 8 cmw = 5 cm
गणना कैसे होती है S

  1. क्षेत्रफल

    A=l×w=8×5=40 cm2A = l \times w = 8 \times 5 = 40\,\text{cm}^{2}

  2. परिमाप

    P=2(l+w)=2(8+5)=26 cmP = 2(l + w) = 2(8 + 5) = 26\,\text{cm}

  3. विकर्ण

    d=l2+w2=82+52=9.433981 cmd = \sqrt{l^2 + w^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = 9.433981\,\text{cm}

समतल आकृतियों का क्षेत्रफल और परिमाप कैलकुलेटर के बारे में

15 समतल आकृतियों में से एक चुनें और उसे तय करने वाले माप दर्ज करें। क्षेत्रफल और परिमाप के साथ लागू होने पर विकर्ण, ऊँचाई, चाप और जीवा की लंबाई, समबहुभुज की अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या या वलय की चौड़ाई मिलती है। तीन भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए हीरोन सूत्र A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) है, जहाँ s अर्धपरिमाप है। समबहुभुज के लिए A = ns²/(4 tan(180°/n)) है।

पहले से दिए 8 cm × 5 cm आयत का क्षेत्रफल 40 cm², परिमाप 26 cm और विकर्ण 9.434 cm है। फर्श, घास और रंग की मात्रा के लिए क्षेत्रफल तथा बाड़, किनारे और स्कर्टिंग की लंबाई के लिए परिमाप उपयोगी है। दिए गए माप पैमाने के अनुसार बनते हैं, इसलिए गलत माप आकृति में दिख सकता है।

केवल आधार और ऊँचाई से त्रिभुज की तिरछी भुजाएँ तय नहीं होतीं। समलंब चतुर्भुज के परिमाप के लिए उसकी असमानांतर भुजाएँ भी चाहिए। ऐसे इनपुट से केवल क्षेत्रफल मिलता है; चित्र ज्ञात मापों का उदाहरण दिखाते हैं। ऊपर के सूत्र में A_n समबहुभुज का क्षेत्रफल और P_e दीर्घवृत्त का परिमाप है। दीर्घवृत्त के परिमाप का प्रारंभिक फलनों में सटीक सूत्र नहीं है; रामानुजन का दूसरा सन्निकटन लिया जाता है, जिसकी त्रुटि 0.04% या उससे कम है।

माप से क्षेत्रफल और परिमाप निकालें

आकृति चुनें, उसके लिए दिखाई देने वाले माप भरें और परिणाम की इकाई चुनें। आयताकार कमरे के लिए लंबाई 12 ft और चौड़ाई 10 ft देने पर क्षेत्रफल 120 ft² तथा परिमाप 44 ft है। क्षेत्रफल भीतर की सतह बताता है; परिमाप पूरी सीमा की लंबाई है। वर्ग फुट किसी भी आकार के क्षेत्रफल की इकाई हो सकता है।

आयत में A = lw और P = 2(l+w), वर्ग में A = a² तथा P = 4a है। त्रिभुज में A = bh/2 के लिए h आधार पर लंबवत ऊँचाई होनी चाहिए। समांतर चतुर्भुज में भी A = bh है; तिरछी भुजा परिमाप के काम आती है। आधार 8 cm, ऊँचाई 4 cm और तिरछी भुजा 5 cm पर क्षेत्रफल 32 cm² है।

जाँचे हुए उदाहरण

नीचे लंबाइयाँ cm में और क्षेत्रफल cm² में हैं। जहाँ माप परिमाप तय नहीं करते, वहाँ कोई अनुमानित भुजा नहीं जोड़ी गई है।

आकृति और मापक्षेत्रफल, cm²परिमाप, cm
वर्ग, भुजा 5 cm2520
आयत, 8 × 5 cm4026
त्रिभुज, आधार 8 cm और ऊँचाई 4 cm16निर्धारित नहीं
त्रिभुज, भुजाएँ 3, 4, 5 cm612
समांतर चतुर्भुज, आधार 8, ऊँचाई 4, भुजा 5 cm3226
समलंब, आधार 10 और 4, ऊँचाई 4 cm28निर्धारित नहीं
समचतुर्भुज, विकर्ण 8 और 6 cm2420
वृत्त, त्रिज्या 5 cm78.53981631.415927
अर्धवृत्त, त्रिज्या 5 cm39.26990825.707963
त्रिज्यखंड, त्रिज्या 5 cm और कोण 90°19.63495417.853982
वृत्तखंड, त्रिज्या 5 cm और कोण 180°39.26990825.707963
वलय, बाहरी त्रिज्या 5 और भीतरी 3 cm50.26548250.265482

त्रिभुज या समलंब में कौन-से माप पर्याप्त हैं

केवल आधार और ऊँचाई से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकलता है, बाकी दो भुजाएँ नहीं। तीन भुजाएँ मालूम हों तो संबंधित विधि चुनें। हीरोन सूत्र में s = (a+b+c)/2 और A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) है। 3, 4, 5 cm पर s = 6, क्षेत्रफल 6 cm² और परिमाप 12 cm मिलता है। हर भुजा बाकी दोनों के योग से छोटी होनी चाहिए।

समलंब के समानांतर आधार a और b तथा लंबवत ऊँचाई h से A = (a+b)h/2 निकलता है। परिमाप के लिए तिरछी भुजाओं की जानकारी भी चाहिए। आधार 10 और 4, ऊँचाई 4 cm का क्षेत्रफल 28 cm² है। दोनों तिरछी भुजाएँ 5 cm हों तो परिमाप 24 cm होगा।

वृत्त, वलय और दीर्घवृत्त की सीमा

वृत्त में r केंद्र से किनारे तक की त्रिज्या है, व्यास नहीं। अर्धवृत्त का परिमाप चाप और व्यास दोनों जोड़ता है। त्रिज्यखंड में चाप के साथ दो त्रिज्याएँ जुड़ती हैं; पूरे 360° पर केवल वृत्त की परिधि रहती है। वृत्तखंड की सीमा चाप और जीवा है। इन आकृतियों का समान कोण होने पर भी क्षेत्रफल और सीमा अलग हो सकते हैं।

वलय का क्षेत्रफल π(R²−r²) है और परिमाप दोनों वृत्तों की सीमाएँ जोड़ता है। भीतरी त्रिज्या बाहरी से बड़ी नहीं हो सकती। दीर्घवृत्त में a और b अर्ध-अक्ष हैं; पूरे अक्ष भरने से गलत आकृति बनेगी। क्षेत्रफल πab है, जबकि परिमाप सन्निकटन है। सम बहुभुज के विकल्प में सभी भुजाएँ और कोण बराबर माने जाते हैं।

कमरा, इकाइयाँ और सामग्री का अनुमान

L आकार के फर्श को बिना दोहराव वाले आयतों में बाँटें। 12 × 10 ft भाग और 4 × 6 ft विस्तार का योग 144 ft² है। दीवारों के लिए परिमाप को ऊँचाई से गुणा करके दरवाजे और खिड़कियाँ घटाएँ। फर्श का क्षेत्रफल सीधे दीवार का क्षेत्रफल नहीं है।

क्षेत्रफल बदलते समय लंबाई का गुणक वर्ग होता है: 1 ft² = 0.09290304 m², इसलिए 120 ft² = 11.1483648 m²। माप की सटीकता से अधिक भरोसा दिखाए गए दशमलवों पर न करें। कटाई और बर्बादी के लिए टाइल कैलकुलेटर, कमरे के लिए कमरे का क्षेत्रफल और गहराई सहित काम के लिए आयतन कैलकुलेटर देखें।

हल किए गए उदाहरण

8 × 5 cm आयत

आकृति
आयत
लंबाई
8 cm
चौड़ाई
5 cm
परिणाम की इकाई
सेंटीमीटर (cm)
क्षेत्रफल
40 cm²
परिमाप
26 cm
विकर्ण
9.433981 cm

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 8 × 5, 2(8 + 5)

हीरोन सूत्र से 3-4-5 त्रिभुज

आकृति
त्रिभुज (तीन भुजाएँ)
भुजा a
3 cm
भुजा b
4 cm
भुजा c
5 cm
परिणाम की इकाई
सेंटीमीटर (cm)
क्षेत्रफल
6 cm²
परिमाप
12 cm
ऊँचाई
4 cm

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 3 और 4 भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज: ½·3·4 = 6; भुजा 3 पर ऊँचाई दूसरी भुजा 4 है।

सम षट्भुज, भुजा 2 m

आकृति
समबहुभुज
भुजा की लंबाई
2 m
भुजाओं की संख्या
6
परिणाम की इकाई
मीटर (m)
क्षेत्रफल
10.392305 m²
परिमाप
12 m
अंतःत्रिज्या
1.732051 m
परिवृत्त त्रिज्या
2 m

जाँच का स्रोत: सम षट्भुज की परित्रिज्या उसकी भुजा के बराबर है।

सम चतुर्भुज के रूप में वर्ग (सटीक tan 45°)

आकृति
समबहुभुज
भुजा की लंबाई
3 cm
भुजाओं की संख्या
4
परिणाम की इकाई
सेंटीमीटर (cm)
क्षेत्रफल
9 cm²
अंतःत्रिज्या
1.5 cm
परिवृत्त त्रिज्या
2.12132 cm

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 3 भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल 9 और अंतःत्रिज्या 3/2

सवाल

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

दोनों समानांतर भुजाओं का औसत लेकर लंबवत ऊँचाई से गुणा करें: A = (a + b)/2 × h। 10 cm और 4 cm आधार तथा 4 cm ऊँचाई से 7 × 4 = 28 cm² मिलता है। ब्रिटिश अंग्रेज़ी में इसे trapezium कहते हैं; सूत्र वही है। परिमाप के लिए दोनों तिरछी भुजाएँ भी चाहिए। प्रत्येक 5 cm हो तो परिमाप 24 cm है।

तीन भुजाओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?

हीरोन सूत्र लें। पहले अर्धपरिमाप s = (a + b + c)/2, फिर A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)) निकालें। 5, 6 और 7 cm भुजाओं से s = 9 और A = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14.697 cm²। त्रिभुज तभी बनता है जब हर भुजा बाकी दोनों के योग से छोटी हो; इसलिए 3, 4 और 8 से त्रिभुज नहीं बनता।

सम षट्भुज का क्षेत्रफल कितना है?

A = (3√3/2)s², यानी भुजा के वर्ग का लगभग 2.598 गुना। 5 cm भुजाओं वाले षट्भुज का क्षेत्रफल 64.952 cm² और 2 m भुजाओं वाले का 10.392 m² है। n समान भुजाओं, प्रत्येक की लंबाई s, वाले किसी भी समबहुभुज के लिए A = ns²/(4 tan(180°/n))। सम षट्भुज की परित्रिज्या उसकी भुजा के बराबर और अंतःत्रिज्या s√3/2 ≈ 0.866s है।

क्या दीर्घवृत्त के परिमाप का कोई सूत्र है?

प्रारंभिक फलनों में सटीक सूत्र नहीं है; सटीक परिमाप पूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल से मिलता है। रामानुजन का 1914 का सन्निकटन P ≈ π(a + b)(1 + 3h/(10 + √(4 − 3h))), जहाँ h = (a − b)²/(a + b)², अधिकतम लगभग 0.04% चूकता है। यह सीमा तब आती है जब दीर्घवृत्त दबकर रेखा बनने के करीब हो। 10 और 6 अर्ध-अक्षों के लिए मान 51.0539977 है; पूरे सन्निकट मान और सटीक परिमाप का अंतर लगभग 1.2 × 10⁻⁹ है।

वर्ग फुट को वर्ग मीटर में कैसे बदलें?

0.09290304 से गुणा करें। यह अंतरराष्ट्रीय फुट का वर्ग है: 1 ft ठीक 0.3048 m है, जिसे 1959 में तय किया गया। 1 m² लगभग 10.764 ft² है। 12 ft × 10 ft कमरे का क्षेत्रफल 120 ft² या 11.148 m² है। क्षेत्रफल में लंबाई-इकाई का वर्ग लगता है, इसलिए पहले दोनों भुजाएँ बदलकर उनका गुणनफल लेने से भी वही उत्तर मिलता है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

A△=s(s−a)(s−b)(s−c),An=ns24tan⁡(π/n)Pe≈π(a+b)(1+3h10+4−3h)\begin{gathered} A_\triangle = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad A_n = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)} \\ P_e \approx \pi(a+b)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4-3h}}\right) \end{gathered}

स्रोत

  1. Weisstein, E. W. “Heron's Formula”, “Regular Polygon”, “Ellipse” — MathWorld
  2. Ramanujan, S. (1914) “Modular equations and approximations to π”, Quarterly Journal of Mathematics 45, 350–372 (perimeter approximation II)
  3. NIST Handbook 44, Appendix C — exact inch–centimetre relation (1 in = 2.54 cm)

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 16 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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