शीर्षों के निर्देशांकों से सरल बहुभुज का क्षेत्रफल, परिमाप और क्षेत्रकेंद्र निकालें। शूलेस सूत्र के हर पद की गणना देखें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7
5 बिंदुओं की वामावर्त सीमा का क्षेत्रफल 16.5 m², परिमाप 24.307995 m और केंद्रक (संतुलन बिंदु) (3.8889, 3.6667) है।
| शीर्ष | x | y | xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | −17 |
| 2 | 3 | 1 | −1 |
| 3 | 7 | 2 | 20 |
| 4 | 4 | 4 | −12 |
| 5 | 8 | 5 | 43 |
सूचकांक n + 1 पर फिर शीर्ष 1 लिया जाता है।
योग धनात्मक है; सरल बहुभुज के लिए इसका अर्थ वामावर्त शीर्ष-क्रम है।
A± चिह्नयुक्त क्षेत्रफल है; इससे शीर्षों के दोनों क्रमों में केंद्रक सही मिलता है।
बहुभुज के कोनों को उसकी सीमा के क्रम में लिखें। शूलेस सूत्र क्षेत्रफल देता है: A = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|। अंतिम शीर्ष के बाद पहला शीर्ष लिया जाता है। योग का चिह्न चलने की दिशा बताता है; वामावर्त क्रम में यह धनात्मक है। इन्हीं पदों से केंद्रक मिलता है और सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग परिमाप है।
पहले से दिए पाँच बिंदु (1, 6), (3, 1), (7, 2), (4, 4) और (8, 5), Wikipedia के शूलेस सूत्र वाले लेख का उदाहरण हैं। पदों का योग 33 है, इसलिए क्षेत्रफल 16.5 m² है। सर्वेक्षक साइट के नक्शे पर कोनों के निर्देशांकों से भूखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए इस विधि का उपयोग करते हैं। इसे सर्वेक्षक का क्षेत्रफल सूत्र भी कहते हैं।
सीमा स्वयं को नहीं काटनी चाहिए। 200 शीर्षों तक काटती भुजाओं पर चेतावनी मिलती है, क्योंकि एक-दूसरे पर चढ़े हिस्से रद्द हो सकते हैं या दो बार गिने जा सकते हैं। बड़ी सूची में यह जाँच नहीं होती। निर्देशांक समतल होने चाहिए; अक्षांश और देशांतर को पहले UTM जैसे प्रक्षेपित ग्रिड में बदलें।
सीमा के चारों ओर घूमते क्रम में हर x, y जोड़ा लिखें। कैलकुलेटर लगातार बिंदुओं को जोड़ता है और अंतिम से पहले को अपने आप जोड़कर सीमा बंद करता है। पहला बिंदु अंत में दोहराना स्वीकार है और गिनती से हट जाता है। केवल कोनों का संग्रह पर्याप्त नहीं; क्रम ऐसा हो कि रेखाएँ इच्छित सीमा बनाएँ।
हर पंक्ति में एक जोड़ा या (0,0); (4,0); (4,3); (0,3) जैसे जोड़े दे सकते हैं। संख्याएँ या बिना अंदरूनी रिक्त स्थान के भिन्न उपयोग करें। कुल संख्याएँ विषम हों तो एक निर्देशांक गायब है और त्रुटि आएगी।
नीचे क्षेत्रफल वर्ग इकाई में और क्षेत्रकेंद्र उसी लंबाई इकाई के निर्देशांकों में है। L आकार दो बिना दोहराव वाले आयतों में बाँटकर जाँचा जा सकता है।
| सीमा की आकृति | सीमा के क्रम में शीर्ष | क्षेत्रफल | क्षेत्रकेंद्र |
|---|---|---|---|
| आयत | (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) | 12 | (2, 1.5) |
| समकोण त्रिभुज | (0,0), (4,0), (0,3) | 6 | (4/3, 1) |
| L आकार की सीमा | (0,0), (6,0), (6,2), (2,2), (2,5), (0,5) | 18 | (7/3, 11/6) |
| प्रारंभिक पाँच बिंदुओं की सीमा | (1,6), (3,1), (7,2), (4,4), (8,5) | 16.5 | (35/9, 11/3) |
हर किनारे का पद tᵢ = xᵢyᵢ₊₁−xᵢ₊₁yᵢ है। चिह्न सहित क्षेत्रफल Aₛ = Σtᵢ/2 और सामान्य क्षेत्रफल |Aₛ| है। अंतिम किनारा भी पहले शीर्ष पर लौटता है। 4 × 3 आयत के पद 0, 12, 12, 0 का योग 24 और क्षेत्रफल 12 है। परिमाप 14 और केंद्र (2, 1.5) है।
प्रारंभिक पाँच बिंदुओं (1,6), (3,1), (7,2), (4,4), (8,5) के पद −17, −1, 20, −12, 43 हैं। योग 33, क्षेत्रफल 16.5 है। अंतिम 43 छोड़ने पर गलत उत्तर मिलेगा। लंबी सूची में तालिका के शुरुआती दस पदों के अलावा सभी पंक्तियाँ या CSV भी देखें।
सामान्य Cartesian अक्षों में धनात्मक चिह्न वामावर्त और ऋणात्मक दक्षिणावर्त क्रम है। क्रम उलटने पर चिह्न बदलता है, पर क्षेत्रफल, परिमाप और क्षेत्रकेंद्र वही रहते हैं। स्क्रीन पर y नीचे की ओर बढ़े तो दिखने वाली दिशा उलट सकती है।
क्षेत्रकेंद्र के लिए Cx = Σ(xᵢ+xᵢ₊₁)tᵢ/(6Aₛ) और Cy में इसी तरह y का योग है। हर शीर्ष का सामान्य औसत लेना सही नहीं। L आकार में 6×2 तथा 2×3 आयतों का कुल क्षेत्रफल 18 और क्षेत्रकेंद्र (7/3, 11/6) है। अवतल आकृति का क्षेत्रकेंद्र सीमा के बाहर भी हो सकता है।
निर्देशांक की इकाई चुनने से संख्याओं का अर्थ बताया जाता है, वे बदली नहीं जातीं। 4 × 3 को m में देने पर 12 m², ft में देने पर 12 ft² मिलेगा। उसी वास्तविक आकृति को दूसरी इकाई में बताने के लिए पहले सभी निर्देशांक बदलें। अक्षांश और देशांतर को समतलीय लंबाइयाँ न मानें; उपयुक्त प्रक्षेपण चाहिए।
3 से 1,000 शीर्ष समर्थित हैं। शून्य शूलेस योग अस्वीकार होता है; यह संरेखीय बिंदुओं या आपस में कटती सीमा के भागों के रद्द होने से आ सकता है। 200 शीर्ष तक गैर-पड़ोसी किनारों का पार होना या छूना जाँचा जाता है। 200 से ऊपर जाँच छूटने की चेतावनी आती है। चेतावनी न दिखना बड़ी सीमा के सरल होने का प्रमाण नहीं।
स्वयं को काटती आकृति का गैरशून्य परिणाम भी बीजगणितीय शुद्ध क्षेत्रफल है, जरूरी नहीं कि इच्छित भूखंड का क्षेत्रफल हो। एक बाहरी सीमा समर्थित है; छेदों की अलग सीमाएँ एक सूची में न मिलाएँ। बाहरी क्षेत्रफल से छेद अलग घटाएँ। माप में छोटी त्रुटियाँ, खासकर लगभग रद्द होते पदों में, बड़ा फर्क दे सकती हैं। सामान्य आकृति के लिए क्षेत्रफल कैलकुलेटर, दो कोनों की दूरी के लिए निर्देशांक ज्यामिति देखें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: Wikipedia के “Shoelace formula” उदाहरण से क्षेत्रफल 16.5
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 4 × 3 आयत; केंद्रक उसके केंद्र पर।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: ½ × 4 × 3; 3-4-5 परिमाप; त्रिभुज का केंद्रक शीर्षों का औसत (4/3, 1) है।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: दक्षिणावर्त क्रम के लिए शूलेस योग −2 × क्षेत्रफल है।
हर x को अगले शीर्ष के y से गुणा करें और उसमें से अगले x तथा इस y का गुणनफल घटाएँ। पूरे चक्कर के पद जोड़कर योग के निरपेक्ष मान को 2 से भाग दें। (0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3) के पद 0, 12, 12 और 0 हैं, इसलिए क्षेत्रफल 24/2 = 12 है। दो स्तंभों में निर्देशांक लिखने पर गुणन की रेखाएँ जूते के फीते जैसी दिखती हैं, इसलिए यह नाम पड़ा।
हाँ। बिंदु सीमा के साथ दक्षिणावर्त या वामावर्त क्रम में होने चाहिए, बीच से छलाँग लगाते हुए नहीं। दिशा बदलने से केवल चिह्न बदलता है: वामावर्त में धनात्मक और दक्षिणावर्त में ऋणात्मक योग। क्षेत्रफल उसका निरपेक्ष मान है। 2 × 2 वर्ग के कोनों को (0, 0), (2, 2), (2, 0), (0, 2) क्रम में लेने पर सीमा खुद को काटती है; शूलेस क्षेत्रफल 4 के बजाय 0 आता है।
हर कोने के निर्देशांक समतल ग्रिड पर लें, जैसे साइट के नक्शे में मीटर में पूर्व और उत्तर की दूरियाँ। उन्हें सीमा के क्रम में लिखकर शूलेस सूत्र लगाएँ। फुट में (0, 0), (6, 0), (6, 2), (2, 2), (2, 5) और (0, 5) कोनों वाला L-आकार का भूखंड 18 ft² है। अक्षांश और देशांतर का पहले प्रक्षेपण करें, क्योंकि देशांतर की एक डिग्री की दूरी ध्रुवों की ओर घटती है।
हर शूलेस पद को उससे जुड़े दोनों x निर्देशांकों के योग से गुणा करें: Cx = Σ(xᵢ + xᵢ₊₁)(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)/(6A), जहाँ A चिह्नयुक्त क्षेत्रफल है। Cy भी इसी तरह मिलता है। त्रिभुज के लिए यह तीनों शीर्षों का औसत है। ऊपर दिए L-आकार के भूखंड के लिए केंद्रक (7/3, 11/6) ≈ (2.333, 1.833) है। अवतल आकृति का केंद्रक उसके बाहर भी हो सकता है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।