दो बिंदुओं की दूरी, मध्यबिंदु और ढाल निकालें। रेखा का समीकरण ढाल-अंतःखंड, मानक और बिंदु-ढाल रूप में तथा दो रेखाओं का प्रतिच्छेद देखें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 6
P₁(1, 2) और P₂(4, 6) के बीच दूरी 5 और मध्यबिंदु (2.5, 4) है; उनसे गुजरती रेखा की ढलान 4/3 है (झुकाव 53.13°)।
झुकाव कोण: 53.1301°, धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापा गया; सीमा [0°, 180°) है।
ढलान-अंतःखंड: y = (4/3)x + 2/3 · मानक: 4x − 3y = −2 · बिंदु-ढलान: y − 2 = (4/3)(x − 1)
M(2.5, 4) से P₁P₂ के लंबवत: y = −0.75x + 5.875।
दो बिंदु दर्ज करके उनके बीच सीधी दूरी d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), मध्यबिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) और ढलान m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) पाएँ। उनसे गुजरती रेखा को ढलान-अंतःखंड रूप y = mx + b, पूर्णांक गुणांकों वाले मानक रूप Ax + By = C और बिंदु-ढलान रूप में दिखाया जाता है। लंब समद्विभाजक भी मिलता है। भिन्न सटीक रहते हैं, इसलिए 4/3 ढलान को 1.3333 में राउंड नहीं किया जाता।
पहले से दिए बिंदु (1, 2) और (4, 6) एक-दूसरे से 5 इकाई दूर हैं; वे 3-4-5 त्रिभुज बनाते हैं। मध्यबिंदु (2.5, 4) और रेखा y = (4/3)x + 2/3 है। दूसरी रेखा जोड़ने पर पता चलता है कि दोनों समानांतर, लंबवत या प्रतिच्छेदी हैं। उनके बीच का कोण और प्रतिच्छेद बिंदु भी मिलता है।
ऊर्ध्वाधर रेखा की ढलान अपरिभाषित है, इसलिए उसका केवल मानक रूप, जैसे x = 3, दिया जाता है। निर्देशांकों की कोई तय इकाई नहीं है; दूरी उन्हीं की इकाई में होगी।
पहले और दूसरे बिंदु के x और y निर्देशांक उनके अलग खानों में भरें। मुख्य परिणाम सीधी दूरी है। दूसरे परिणाम ढाल, मध्यबिंदु, रेखा के समीकरण और लंब समद्विभाजक बताते हैं। प्रारंभिक बिंदु (1, 2) तथा (4, 6) में क्षैतिज अंतर 3 और ऊर्ध्व अंतर 4 है। इसलिए दूरी 5, ढाल 4/3 और मध्यबिंदु (2.5, 4) है।
ढाल m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), दूरी d = √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²) और मध्यबिंदु ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) है। दोनों अंतरों में बिंदुओं का क्रम समान रखें। दोनों का क्रम उलटने पर ढाल नहीं बदलती, पर केवल एक अंतर उलटने पर उसका चिह्न बदल जाएगा।
नीचे दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती। ऊर्ध्वाधर रेखा की दूरी और मध्यबिंदु मौजूद हैं, भले उसकी ढाल अपरिभाषित हो।
| बिंदु | दूरी | ढाल | मध्यबिंदु x, y |
|---|---|---|---|
| (1, 2) से (4, 6) | 5 | 1.33333333 | 2.5, 4 |
| (0, 0) से (3, 4) | 5 | 1.33333333 | 1.5, 2 |
| (0, 0) से (2, 2) | 2.82842712 | 1 | 1, 1 |
| (0, 4) से (4, 0) | 5.65685425 | -1 | 2, 2 |
| (3, 1) से (3, 7) | 6 | अपरिभाषित (ऊर्ध्वाधर) | 3, 4 |
| (-2, 5) से (4, 5) | 6 | 0 | 1, 5 |
| (-3, -4) से (0, 0) | 5 | 1.33333333 | -1.5, -2 |
| (1/2, 1) से (5/2, 4) | 3.60555128 | 1.5 | 1.5, 2.5 |
(−2, 5) से (4, 5) में y नहीं बदलता, इसलिए ढाल शून्य है। (3, 1) से (3, 7) में x नहीं बदलता, इसलिए हर शून्य होने के कारण ढाल अपरिभाषित है। यह रेखा x = 3 है। इसे y = mx+b के सीमित m वाले रूप में नहीं लिख सकते।
एक ही बिंदु दोनों जगह भरना अलग मामला है: उससे अनंत रेखाएँ गुजर सकती हैं, इसलिए कैलकुलेटर त्रुटि देता है। बहुत पास के मापे हुए बिंदुओं की ढाल छोटी माप त्रुटि से काफी बदल सकती है। लंबे दशमलव उस माप की अनिश्चितता दूर नहीं करते।
प्रारंभिक रेखा y = (4/3)x + 2/3 है। ढाल-अवरोध, मानक और बिंदु-ढाल रूप उसी रेखा को लिखने के अलग तरीके हैं। जाँच के लिए दिए गए दोनों बिंदु समीकरण में रखें। भिन्न को जल्दी दशमलव में बदलने से समीकरण में अनावश्यक सन्निकटन आ सकता है।
लंब समद्विभाजक दोनों बिंदुओं के मध्यबिंदु से गुजरता है और उनके खंड पर समकोण बनाता है। प्रारंभिक उदाहरण में वह y = −0.75x + 5.875 है। उसकी हर स्थिति पर दोनों मूल बिंदुओं से दूरी बराबर होती है। क्षैतिज खंड का समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर और ऊर्ध्वाधर खंड का क्षैतिज होता है।
दूसरी रेखा से तुलना वाला विकल्प चालू करके उसके दो बिंदु दें। (0, 0), (2, 2) की रेखा और (0, 2), (2, 0) की रेखा (1, 1) पर लंबवत मिलती हैं। पहली ढाल 1 और दूसरी −1 है। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ भी लंबवत हैं; उनके लिए दो सीमित ढालों का गुणन जरूरी नहीं।
समांतर अलग रेखाओं का प्रतिच्छेद नहीं होता। संपाती रेखाएँ एक ही रेखा हैं, इसलिए केवल एक प्रतिच्छेद बिंदु बताना सही नहीं होगा। तुलना के परिणामों में संबंध और उपलब्ध प्रतिच्छेद को साथ पढ़ें।
दोनों अक्ष समान लंबाई की इकाई में हों तो दूरी उसी इकाई में है। x घंटे और y किलोमीटर हों तो ढाल km/h का अर्थ रख सकती है, लेकिन सामान्य समतलीय दूरी को भौतिक लंबाई कहना उचित नहीं होगा। अक्षांश और देशांतर को यहाँ सपाट दूरी मानकर न भरें। कार्य या फलन को चित्रित करने के लिए ग्राफिंग कैलकुलेटर, भुजाओं से हल के लिए समकोण त्रिभुज कैलकुलेटर देखें।
जाँच का स्रोत: (5/2, 4) से गुजरते −3/4 ढलान वाले समद्विभाजक का b = 47/8 = 5.875 (सांत भिन्न दशमलव में दिखते हैं)
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: x-निर्देशांक समान हैं, इसलिए x = 3 ऊर्ध्वाधर रेखा है। उसका समद्विभाजक (3, 4) से गुजरती क्षैतिज रेखा है।
जाँच का स्रोत: −3x − 5y = −27/4 को −4 से गुणा किया।
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
y के बदलाव को x के बदलाव से भाग दें: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)। (1, 2) से (4, 6) तक ऊँचाई का बदलाव 4 और क्षैतिज बदलाव 3 है, इसलिए m = 4/3 ≈ 1.3333। धनात्मक ढलान दाईं ओर ऊपर और ऋणात्मक नीचे जाती है। शून्य ढलान क्षैतिज है। x₂ = x₁ होने पर रेखा ऊर्ध्वाधर है और ढलान अपरिभाषित है।
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)। यह क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतर पर लागू पाइथागोरस प्रमेय है। (1, 2) और (4, 6) के बीच अंतर 3 और 4 हैं, इसलिए d = √25 = 5। अक्षांश और देशांतर में दिए बिंदुओं के लिए महावृत्त दूरी का सूत्र लें, क्योंकि समतल सूत्र पृथ्वी की वक्रता को नहीं गिनता।
पहले ढलान m और फिर अंतःखंड b = y₁ − m·x₁ निकालें; समीकरण y = mx + b है। (1, 2) और (4, 6) के लिए m = 4/3 तथा b = 2 − 4/3 = 2/3, इसलिए y = (4/3)x + 2/3। 3 से गुणा करके पद व्यवस्थित करने पर पूर्णांक गुणांकों वाला मानक रूप 4x − 3y = −2 मिलता है।
जो रेखाएँ ऊर्ध्वाधर नहीं हैं, उनकी ढलान बराबर हो तो वे समानांतर या संपाती हैं। ढलानों का गुणनफल −1 हो तो वे लंबवत हैं, जैसे 1/2 और −2। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ भी लंबवत होती हैं। अलग-अलग समानांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं। अन्य जोड़ियों में, जब दोनों ढलान परिमित हों, tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|। 4/3 और −1 ढलानों से tan θ = 7 मिलता है; उनके बीच छोटा कोण 81.87° है।
वह रेखा जो रेखाखंड के मध्यबिंदु से उसके लंबवत गुजरती है। उस पर हर बिंदु दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है। (1, 2) और (4, 6) के लिए यह (2.5, 4) से गुजरती है और ढलान −3/4 है, जो 4/3 का ऋणात्मक व्युत्क्रम है। समीकरण y = −0.75x + 5.875 है। त्रिभुज की तीन भुजाओं के लंब समद्विभाजक उसके परिवृत्त के केंद्र पर मिलते हैं।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 6 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।