Calcula distancia, punto medio, pendiente y la ecuación de la recta en formas pendiente-intersección, estándar y punto-pendiente, y el cruce de dos rectas.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 6
P₁(1, 2) y P₂(4, 6) están separados por 5, con punto medio (2.5, 4); la recta que los une tiene pendiente 4/3 (inclinación de 53.13°).
Ángulo de inclinación: 53.1301°, medido en sentido antihorario desde el semieje x positivo, en [0°, 180°).
Pendiente–ordenada: y = (4/3)x + 2/3 · General: 4x − 3y = −2 · Punto–pendiente: y − 2 = (4/3)(x − 1)
Por M(2.5, 4), perpendicular a P₁P₂: y = −0.75x + 5.875.
Introduce dos puntos para obtener su distancia d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), el punto medio ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) y la pendiente m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). La recta se expresa en forma pendiente–ordenada y = mx + b, forma general Ax + By = C con coeficientes enteros y forma punto–pendiente. También se obtiene la mediatriz. Las fracciones se conservan exactas: una pendiente 4/3 no se redondea a 1.3333.
Los puntos iniciales (1, 2) y (4, 6) están separados por 5 unidades, según el triángulo 3-4-5. Su punto medio es (2.5, 4) y su recta y = (4/3)x + 2/3. Al activar una segunda recta, se indica si son paralelas, perpendiculares o secantes, además del ángulo y el punto de intersección.
Una recta vertical no tiene pendiente definida y se muestra mediante una ecuación como x = 3. Las coordenadas no tienen una unidad fija: la distancia usa la misma unidad que ellas.
Introduce las coordenadas x e y de los dos puntos. El resultado principal es la distancia P₁P₂, mientras que la pendiente aparece en su propia salida. También se calculan las dos coordenadas del punto medio, ecuaciones de la recta y la mediatriz del segmento. Mantén siempre el orden x, y: intercambiar coordenadas de un punto cambia la geometría, aunque las cuatro cifras escritas sigan siendo las mismas.
Con P₁ = (1, 2) y P₂ = (4, 6), el cambio horizontal es 3 y el vertical 4. La distancia es 5, la pendiente 4/3 y el punto medio (2.5, 4). La recta puede escribirse y = (4/3)x + 2/3. La fracción conserva exactamente un coeficiente que su aproximación 1.33333333 solo representa parcialmente. Comprueba la etiqueta antes de copiar una cifra principal como si fuera la pendiente.
La tabla incluye rectas crecientes, decrecientes, horizontales y verticales, coordenadas negativas y entradas fraccionarias. Las distancias son no negativas. Dos puntos de una recta vertical tienen distancia y punto medio válidos, aunque no exista una pendiente finita. Los valores decimales de la tabla están redondeados para facilitar la comparación con las salidas.
| Puntos | Distancia | Pendiente | Punto medio x, y |
|---|---|---|---|
| (1, 2) a (4, 6) | 5 | 1.33333333 | 2.5, 4 |
| (0, 0) a (3, 4) | 5 | 1.33333333 | 1.5, 2 |
| (0, 0) a (2, 2) | 2.82842712 | 1 | 1, 1 |
| (0, 4) a (4, 0) | 5.65685425 | -1 | 2, 2 |
| (3, 1) a (3, 7) | 6 | No definida (vertical) | 3, 4 |
| (-2, 5) a (4, 5) | 6 | 0 | 1, 5 |
| (-3, -4) a (0, 0) | 5 | 1.33333333 | -1.5, -2 |
| (1/2, 1) a (5/2, 4) | 3.60555128 | 1.5 | 1.5, 2.5 |
De (0, 4) a (4, 0), el cambio vertical es −4 y el horizontal 4, de modo que m = −1. De (−2, 5) a (4, 5), el cambio vertical es cero y la pendiente es cero. De (3, 1) a (3, 7), no hay cambio horizontal y no puede calcularse el cociente. No confundas ese caso vertical con una recta horizontal de pendiente cero.
La fórmula es m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Resta en el mismo orden en numerador y denominador. Intercambiar ambas etiquetas conserva m porque cambian los dos signos. Invertir solo una de las restas cambia su signo y da una respuesta incorrecta para la recta original. Una pendiente positiva sube de izquierda a derecha y una negativa baja, con los ejes cartesianos habituales.
Si introduces dos veces el mismo punto, aparece un error: no se determina una recta única. En una vertical válida los puntos son distintos, aunque sus x coincidan. Su ecuación es x = constante, y se omiten las formas que necesitan una pendiente finita. Una pendiente ausente no invalida la distancia entre dos puntos distintos ni su mediatriz. Lee cada salida de acuerdo con la magnitud que representa.
Las unidades de los ejes deciden qué significa m. Con horas en x y kilómetros en y, sería una velocidad en km/h. Con longitudes de la misma unidad en ambos ejes, sería una razón adimensional. Los campos no infieren esas interpretaciones a partir de los números. Un dibujo con ejes de distinta naturaleza tampoco establece una escala física común para medir ángulos con una regla sobre la pantalla.
La distancia es d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Aplica Pitágoras a las separaciones horizontal y vertical. Al elevarlas al cuadrado desaparecen sus signos, por lo que invertir el orden de los puntos no cambia la distancia. El punto medio promedia cada coordenada: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Esa operación es independiente del signo de la pendiente.
El cálculo corresponde a un plano cartesiano. Latitud y longitud son ángulos sobre una Tierra curva y no constituyen longitudes planas intercambiables con x e y. Para ubicaciones geográficas necesitas un método adecuado a la superficie terrestre. Incluso en un plano, esta distancia une los puntos en línea recta: no incluye obstáculos, curvas ni una ruta obligada. Mantén explícitas esas hipótesis cuando utilices el resultado como medida física.
La forma pendiente-intersección es y = mx + b; la forma general utiliza coeficientes enteros; la forma punto-pendiente utiliza una de las coordenadas y m. Son representaciones de una misma recta. Sustituir cualquiera de los dos puntos permite verificar los signos y las constantes. Con fracciones conocidas, conservar el resultado exacto facilita esa comprobación y evita introducir un pequeño error por redondear primero m.
La mediatriz pasa por el punto medio y es perpendicular al segmento. Para el ejemplo inicial es y = −0.75x + 5.875. Sus puntos están a igual distancia de los dos extremos. Una vertical tiene mediatriz horizontal; un segmento horizontal tiene mediatriz vertical. Por eso la existencia de una mediatriz no exige que ambas rectas admitan una forma y = mx + b con pendiente finita.
Activa la comparación e introduce los dos puntos de la segunda recta. Las salidas adicionales muestran su ecuación, la relación entre las rectas, el ángulo menor entre ellas y las coordenadas de intersección cuando existe un cruce único. Dos paralelas distintas no se cortan; dos coincidentes comparten infinitos puntos y no deben representarse mediante una sola coordenada de intersección elegida arbitrariamente.
Las rectas que pasan por (0, 0), (2, 2) y (0, 2), (2, 0) tienen pendientes 1 y −1. Son perpendiculares y se cortan en (1, 1). Si la segunda pasa por (0, 1) y (2, 3), ambas pendientes son 1 y las rectas son paralelas distintas. Una horizontal y una vertical también son perpendiculares, aunque no puedas multiplicar dos pendientes finitas para comprobarlo.
Las entradas racionales pueden conservarse en las ecuaciones exactas; distancia y ángulo tienen sus reglas de presentación decimal. Muchas cifras no recuperan precisión que faltara en las coordenadas medidas. Guarda la ecuación exacta para cálculos algebraicos posteriores y las unidades junto a la distancia final. Si cambias puntos para explorar un caso cercano, vuelve a comprobar la clasificación de la recta antes de reutilizar una salida previa.
La calculadora gráfica permite visualizar funciones. El calculador de triángulos rectángulos resulta más directo cuando las entradas son lados y ángulos. Para el área de un contorno completo, utiliza polígonos por coordenadas, que requiere vértices en orden alrededor de la frontera y resuelve una pregunta distinta de la distancia entre dos puntos.
Fuente de comprobación: mediatriz por (5/2, 4) con pendiente −3/4 y b = 47/8 = 5.875 (las fracciones terminantes se muestran como decimales)
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: coordenadas x iguales; x = 3 es vertical y la mediatriz es la horizontal que pasa por (3, 4)
Fuente de comprobación: −3x − 5y = −27/4 multiplicada por −4
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: tan θ = |(−1 − 4/3)/(1 − 4/3)| = 7
Divide la variación de y entre la de x: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). De (1, 2) a (4, 6), el cambio vertical es 4 y el horizontal 3: m = 4/3 ≈ 1.3333. Una pendiente positiva sube hacia la derecha; una negativa baja; 0 corresponde a una recta horizontal. Si x₂ = x₁, la recta es vertical y la pendiente no está definida.
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²): es el teorema de Pitágoras aplicado a las diferencias horizontal y vertical. Entre (1, 2) y (4, 6), esas diferencias son 3 y 4: d = √25 = 5. Para latitud y longitud, utiliza un método geodésico o de círculo máximo; la fórmula plana no representa la curvatura terrestre.
Calcula la pendiente m y después la ordenada en el origen b = y₁ − m·x₁; escribe y = mx + b. Para (1, 2) y (4, 6), m = 4/3 y b = 2 − 4/3 = 2/3: y = (4/3)x + 2/3. Al multiplicar por 3 y reordenar queda 4x − 3y = −2, con coeficientes enteros.
Para rectas no verticales, pendientes iguales indican rectas paralelas o coincidentes; si el producto de las pendientes es −1, son perpendiculares, como ocurre con 1/2 y −2. Una recta vertical y una horizontal también son perpendiculares. Las paralelas distintas no se cortan. Para otras parejas de pendiente finita se usa tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|: con 4/3 y −1, tan θ = 7 y el ángulo menor es aproximadamente 81.87°.
La recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él; todos sus puntos están a igual distancia de los extremos. Para (1, 2) y (4, 6), pasa por (2.5, 4) con pendiente −3/4, la opuesta del recíproco de 4/3: y = −0.75x + 5.875. Las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en el centro de su circunferencia circunscrita.
Esta calculadora incluye 6 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.