இரு புள்ளிகளின் தொலைவு, நடுப்புள்ளி, சாய்வு மற்றும் கோட்டின் சமன்பாட்டை சாய்வு-வெட்டு, பொதுநிலை, புள்ளி-சாய்வு வடிவங்களில் காணுங்கள். இரு கோடுகளின் சந்திப்பையும் கணக்கிடுங்கள்.
M(2.5, 4) வழியாக P₁P₂ க்குச் செங்குத்தாக: y = −0.75x + 5.875.
சாய்வு, தொலைவு மற்றும் நடுப்புள்ளி கணிப்பான் பற்றி
இரு புள்ளிகளை உள்ளிட்டு நேர்கோட்டுத் தொலைவு d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), நடுப்புள்ளி ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2), சாய்வு m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) பெறலாம். அவற்றின் கோடு y = mx + b வடிவிலும் முழு எண் கெழுக்களுள்ள Ax + By = C வடிவிலும் புள்ளி-சாய்வு வடிவிலும் எழுதப்படும்; செங்குத்து இருசமவெட்டியும் கிடைக்கும். பின்னங்கள் துல்லியமாகப் பாதுகாக்கப்படுவதால் 4/3 என்பது 1.3333 ஆக வட்டமிடப்படாது.
இயல்புநிலைப் புள்ளிகள் (1, 2), (4, 6) இடையிலான தொலைவு 5; இது 3-4-5 முக்கோணம். நடுப்புள்ளி (2.5, 4); கோடு y = (4/3)x + 2/3. இரண்டாம் கோட்டை இயக்கினால் இணை, செங்குத்து அல்லது வெட்டும் உறவு, அவற்றுக்கிடையிலான கோணம், வெட்டுப்புள்ளியும் கிடைக்கும்.
செங்குத்துக் கோட்டிற்குச் சாய்வு இல்லை; x = 3 போன்ற பொதுவடிவம் மட்டும் கிடைக்கும். ஆயங்களுக்கு தனி அலகில்லை; தொலைவும் உள்ளிட்ட ஆயங்களின் அலகிலேயே இருக்கும்.
இரு புள்ளிகளின் தொலைவு, நடுப்புள்ளி, கோடு
புள்ளிகள் P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂) ஐ உள்ளிடவும். மாற்றங்கள் dx=x₂−x₁, dy=y₂−y₁. தொலைவு √(dx²+dy²); நடுப்புள்ளி ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2); dx≠0 எனில் சாய்வு dy/dx. இயல்புநிலை (1,2), (4,6) க்கு தொலைவு 5; நடுப்புள்ளி (2.5,4); சாய்வு 4/3.
கோட்டின் சாய்வு-வெட்டுத்துண்டு வடிவம் y=mx+b; b=y₁−mx₁. பொதுவடிவம் Ax+By=C முழு எண் கெழுக்களாகவும், புள்ளி-சாய்வு வடிவமும் கிடைக்கும். பின்னங்களாக உள்ளிட்ட ஆயங்கள் துல்லியமான கோட்டுச் சமன்பாட்டில் பாதுகாக்கப்படும்; வட்டமிட்ட தசமச் சாய்வை மீண்டும் உள்ளிட்டால் அந்தத் தகவல் இழக்கப்படலாம்.
வேறு கோட்டுத் திசைகளில் சரிபார்க்கவும்
ஆயங்கள் ஒரே தள அலகில் இருக்க வேண்டும். அட்டவணையில் சாய்வு தசமமாகக் காட்டப்பட்டாலும் கிடைக்கும் பின்னச் சமன்பாடு அதிகத் தகவலைக் கொண்டிருக்கலாம்.
இரு புள்ளிகள்
தொலைவு
சாய்வு
(1, 2) → (4, 6)
5
1.333333
(0, 0) → (3, 4)
5
1.333333
(0, 0) → (2, 2)
2.828427
1
(0, 4) → (4, 0)
5.656854
-1
(3, 1) → (3, 7)
6
தீர்மானிக்க முடியாது
(-2, 5) → (4, 5)
6
0
செங்குத்து, கிடைமட்டம் மற்றும் ஒரே புள்ளி
x₂=x₁ ஆனால் y வேறுபட்டால் கோடு செங்குத்து; சாய்வு வரையறுக்கப்படாது. அது பூச்சியச் சாய்வு அல்ல. y₂=y₁ எனில் கிடைமட்டக் கோடு, சாய்வு 0. இரு ஆயங்களும் ஒரே புள்ளியாக இருந்தால் ஒரு குறிப்பிட்ட கோட்டைத் தீர்மானிக்க முடியாததால் பிழை வரும்.
சாய்வுக் கோணம் நேர்ம x அச்சிலிருந்து எதிர்கடிகாரமாக [0°,180°) வரம்பில் காட்டப்படும். எதிர்மச் சாய்விற்கு எதிர்மக் கோணத்தை எதிர்பார்க்க வேண்டாம்; அதே கோட்டுத் திசையின் விரிகோண வடிவம் காட்டப்படலாம்.
இரண்டாம் கோட்டுடன் ஒப்பிடுதல்
இரண்டாம் கோட்டை இயக்கி மேலும் இரு வேறு புள்ளிகளைத் தரவும். சமச் சாய்வுள்ள கோடுகள் வேறு வெட்டுத்துண்டுகளுடன் இணையாகவோ ஒரே சமன்பாட்டுடன் ஒன்றுபடவோ முடியும். ஒன்றுபட்ட கோடுகளுக்கு ஒரே தனித்த வெட்டுப்புள்ளி இல்லை. செங்குத்து, கிடைமட்டக் கோடுகளையும் சாய்வு பெருக்கல் விதி மட்டும் கொண்டு சோதிக்க வேண்டாம்; கருவி திசை வெக்டர்களால் இவற்றையும் கையாள்கிறது.
செங்குத்து இருசமவெட்டி P₁P₂ இன் நடுப்புள்ளி வழியாக அதற்குச் செங்குத்தாகச் செல்லும். (1,2), (4,6) க்கு y=−0.75x+5.875. இது முதல் கோட்டின் நடுப்புள்ளி மட்டுமல்ல; முழு சமன்பாடாகும்.
தள ஆயங்களுக்கு மட்டுமே
உள்ளீட்டில் தனி அலகு மாற்றம் இல்லை. x, y அனைத்தும் மீட்டராக இருந்தால் தொலைவு மீட்டர்; வேறு அலகுகளை கலந்து உள்ளிட்டால் கணிதம் பொருள் இழக்கும். அட்சரேகை, தீர்க்கரேகை பாகைகளை நேரடியாகத் தளத் தொலைவாகக் கருத வேண்டாம். மூன்று புள்ளிகளின் வட்டத்திற்கு வட்டத் தீர்வி, பல உச்சிகளின் பரப்பிற்கு ஷூலேஸ் கருவி, உயர்வு-கிடைநீள மாற்றத்திற்கு சாய்வுக் கணிப்பான் பொருத்தமானவை.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
P₁(1, 2), P₂(4, 6) புள்ளிகள்
புள்ளி 1: x
1
புள்ளி 1: y
2
புள்ளி 2: x
4
புள்ளி 2: y
6
தொலைவு P₁P₂
5
நடுப்புள்ளி x
2.5
நடுப்புள்ளி y
4
சாய்வு
1.33333333
சாய்வுக் கோணம்
53.130102 °
சாய்வு-வெட்டுத்துண்டு வடிவம்
y = (4/3)x + 2/3
வழக்கமான வடிவம்
4x − 3y = −2
புள்ளி-சாய்வு வடிவம்
y − 2 = (4/3)(x − 1)
செங்குத்து இருசமவெட்டி
y = −0.75x + 5.875
சரிபார்ப்பின் மூலம்: dx = 3, dy = 4 என்ற 3-4-5 அமைப்பு; m = 4/3, b = 2 − 4/3 = 2/3. (5/2, 4) வழியான −3/4 சாய்வு இருசமவெட்டிக்கு b = 47/8 = 5.875. முடிவுறு பின்னங்கள் தசமமாகவும், கோணம் arctan(4/3) ஆகவும் சரிபார்க்கப்பட்டன.
செங்குத்துக் கோடு (சாய்வு இல்லை என்ற எல்லை நிலை)
புள்ளி 1: x
3
புள்ளி 1: y
1
புள்ளி 2: x
3
புள்ளி 2: y
7
தொலைவு P₁P₂
6
வழக்கமான வடிவம்
x = 3
சாய்வுக் கோணம்
90 °
செங்குத்து இருசமவெட்டி
y = 4
நடுப்புள்ளி y
4
சரிபார்ப்பின் மூலம்: சமமான x ஆயங்களால் x = 3 செங்குத்துக் கோடு; இருசமவெட்டி (3, 4) வழியான கிடைமட்டக் கோடு.
தசம ஆயங்கள்
புள்ளி 1: x
-1.5
புள்ளி 1: y
2.25
புள்ளி 2: x
3.5
புள்ளி 2: y
-0.75
தொலைவு P₁P₂
5.83095189
சாய்வு
-0.6
சாய்வு-வெட்டுத்துண்டு வடிவம்
y = −0.6x + 1.35
வழக்கமான வடிவம்
12x + 20y = 27
சரிபார்ப்பின் மூலம்: dx = 5, dy = −3, தொலைவு √34; −3x − 5y = −27/4 ஐ −4 ஆல் பெருக்கிப் பொதுவடிவம் சரிபார்க்கப்பட்டது.
y மாற்றத்தை x மாற்றத்தால் வகுக்கவும்: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). (1, 2) முதல் (4, 6) வரை உயர்வு 4, கிடைநீளம் 3; m = 4/3 ≈ 1.3333. நேர்மச் சாய்வு வலப்புறமாக உயரும்; எதிர்மம் குறையும்; 0 கிடைமட்டம். x₂ = x₁ எனில் கோடு செங்குத்து; சாய்வு வரையறுக்கப்படாது.
தொலைவுச் சூத்திரம் என்ன?
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²); கிடைமட்ட, செங்குத்து இடைவெளிகளுக்குப் பிதாகரஸ் தேற்றம். (1, 2), (4, 6) இடையே இடைவெளிகள் 3, 4; d = √25 = 5. அட்சரேகை, தீர்க்கரேகைக்கு பெருவட்டத் தொலைவுச் சூத்திரம் தேவை; தளச் சூத்திரம் பூமியின் வளைவைப் புறக்கணிக்கும்.
இரு புள்ளிகள் வழியான கோட்டின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு காண்பது?
சாய்வு m, வெட்டுத்துண்டு b = y₁ − m·x₁ கணக்கிட்டு y = mx + b எழுதவும். (1, 2), (4, 6) க்கு m = 4/3, b = 2 − 4/3 = 2/3; y = (4/3)x + 2/3. 3 ஆல் பெருக்கி மாற்றினால் முழு எண் கெழுக்களுடன் 4x − 3y = −2.
இரு கோடுகள் இணையானவையா அல்லது செங்குத்தானவையா என எவ்வாறு அறிவது?
செங்குத்தல்லாத கோடுகளுக்கு சமச் சாய்வுகள் இணை அல்லது ஒன்றுபடும் கோடுகளைக் குறிக்கும். சாய்வுகளின் பெருக்கல் −1 எனில் செங்குத்து; எ.கா. 1/2, −2. கிடைமட்டமும் செங்குத்தும் கூட ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து. வேறு இணைக் கோடுகள் சந்திக்காது. பிற முடிவுறு சாய்வுகளுக்கு tan θ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)|. 4/3, −1 க்கு tan θ = 7; சிறிய இடைக்கோணம் 81.87°.
செங்குத்து இருசமவெட்டி என்றால் என்ன?
ஒரு துண்டின் நடுப்புள்ளி வழியாக அதற்குச் செங்குத்தாகச் செல்லும் கோடு; அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரு முனைகளிலிருந்தும் சமத் தொலைவில் இருக்கும். (1, 2), (4, 6) க்கு நடுப்புள்ளி (2.5, 4), சாய்வு −3/4; y = −0.75x + 5.875. முக்கோணப் பக்கங்களின் இருசமவெட்டிகள் வெளிவட்ட மையத்தில் சந்திக்கும்.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 6 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.
இந்தக் கணிப்பானை உங்கள் தளத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள்
கணிப்பான் எங்கு தோன்ற வேண்டுமோ அங்கே இதை ஒட்டுங்கள். இதைப் பயன்படுத்துவது இலவசம், இங்கே செய்யப்படும் திருத்தங்கள் இதிலும் தானாகவே வந்துவிடும், அதற்குக் கீழே உள்ள நன்றிக் குறிப்பு மூலப் பக்கத்தை இணைப்பதால் உங்கள் வாசகர்கள் முழு வடிவத்தைக் கண்டறியலாம்.