Calcula centro, radio, área y ecuación del círculo que pasa por tres puntos, en forma (x − h)² + (y − k)² = r² y en forma general.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 4
La única circunferencia que pasa por (−3, 4), (4, 5) y (1, −4) tiene centro (1, 1) y radio 5: (x − 1)² + (y − 1)² = 25.
El centro es la intersección de las mediatrices de P₁P₂ y P₂P₃, por lo que está a igual distancia de los tres puntos.
Ordinaria: (x − 1)² + (y − 1)² = 25 · General: x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0
Tres puntos no alineados determinan una única circunferencia: la circunscrita al triángulo que forman. Su centro (h, k) es la intersección de las mediatrices de dos cuerdas y se obtiene directamente mediante una fórmula con determinantes. El radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos. Las coordenadas conservan fracciones exactas: un centro en (1, 4/3) muestra 4/3, no 1.3333.
Los puntos iniciales (−3, 4), (4, 5) y (1, −4) dan centro (1, 1) y radio 5: (x − 1)² + (y − 1)² = 25, o x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0. La misma construcción permite encontrar el centro de una mesa redonda, tubo o arco a partir de tres marcas del borde, y el radio de una curva circular a partir de tres puntos topográficos.
Si el determinante es cero y los puntos son distintos, están alineados y ninguna circunferencia pasa por los tres. Las coordenadas no tienen una unidad fija: el radio usa la unidad de las coordenadas y el área, su cuadrado.
Introduce por separado las coordenadas x e y de los tres puntos. La calculadora encuentra el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos. Deben ser tres puntos distintos y no alineados. Bajo esas condiciones determinan una única circunferencia, el circuncírculo del triángulo que forman. El resultado principal es el radio; las coordenadas del centro aparecen como salidas adicionales.
Los puntos iniciales son (−3, 4), (4, 5) y (1, −4). Su centro es (1, 1) y el radio 5. También se muestran diámetro, circunferencia, área del círculo y las ecuaciones ordinaria y general. El centro no es el promedio de las coordenadas de los tres vértices: se obtiene imponiendo la misma distancia a cada uno. No lo confundas con el centroide del triángulo.
Utiliza un sistema cartesiano y una unidad de longitud coherentes para las seis entradas. Los campos no convierten metros a pies ni interpretan coordenadas geográficas sobre una esfera. Si las coordenadas están en metros, el radio está en metros y el área en metros cuadrados, aunque la página no añada esas etiquetas a cada salida. La unidad sigue siendo necesaria para interpretar físicamente el número calculado.
La tabla relaciona tres puntos, su centro, el radio y una ecuación ordinaria. Algunas filas conservan fracciones exactas. Una forma decimal abreviada del centro puede aproximar la circunferencia, pero no conservar exactamente los tres puntos originales. Usa las fracciones cuando continúes con álgebra o compruebes sustituciones.
| Tres puntos | Centro | Radio | Ecuación ordinaria |
|---|---|---|---|
| (−3, 4), (4, 5), (1, −4) | (1, 1) | 5 | (x − 1)² + (y − 1)² = 25 |
| (0, 0), (4, 0), (0, 3) | (2, 1.5) | 2.5 | (x − 2)² + (y − 1.5)² = 6.25 |
| (1, 0), (0, 1), (−1, 0) | (0, 0) | 1 | x² + y² = 1 |
| (0, 0), (2, 0), (1, 3) | (1, 4/3) | 5/3 | (x − 1)² + (y − 4/3)² = 25/9 |
Para el ejemplo inicial, resta el centro (1, 1) de cada punto y suma los cuadrados de las diferencias. Se obtiene 16 + 9, 9 + 16 y 0 + 25. Todos valen 25, por lo que las tres distancias son 5. Esta comprobación independiente permite detectar un signo incorrecto en el centro o una confusión entre el radio y su cuadrado.
En la fila del triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 5. Su punto medio (2, 1.5) es el circuncentro y la mitad de la hipotenusa, 2.5, es el radio. Ese centro está sobre el borde del triángulo. Según los ángulos, un circuncentro puede estar dentro, fuera o en la frontera. Que quede fuera de la figura triangular no invalida la circunferencia que pasa por sus vértices.
La forma (x − h)² + (y − k)² = r² identifica el centro (h, k). El segundo miembro es el radio al cuadrado. En el caso inicial aparece 25, de modo que el radio es 5. Si una coordenada del centro es cero, desaparece su desplazamiento y queda un término como x² o y². El ejemplo de circunferencia unitaria es x² + y² = 1.
Los signos de los paréntesis son opuestos a las coordenadas del centro: x − 1 corresponde a h = 1, mientras que x + 1 corresponde a h = −1. Sustituye las coordenadas de entrada para comprobar que satisfacen la ecuación completa. No basta con observar que el dibujo parece circular: la sustitución verifica las mismas restricciones numéricas que definen el problema.
La forma general es x² + y² + Dx + Ey + F = 0. El ejemplo inicial da x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0. Al completar cuadrados se recuperan h = −D/2, k = −E/2 y F = h² + k² − r². Aquí F = 1 + 1 − 25 = −23. Las dos ecuaciones describen la misma circunferencia.
Las ecuaciones pueden conservar coordenadas fraccionarias del centro y un radio al cuadrado racional, aunque el radio decimal esté redondeado. En la última fila, k = 4/3 y r² = 25/9. Copiar 4/3 preserva más información que usar un decimal corto. Esa exactitud de representación no recupera precisión ausente de unas coordenadas medidas: el resultado sigue describiendo exactamente, o con la precisión de trabajo disponible, las entradas suministradas.
Para lados de triángulo a, b, c y área triangular Δ, el circunradio cumple R = abc/(4Δ). En el caso inicial, el producto de longitudes es 600 y el área del triángulo 30, de modo que R = 600/(4×30) = 5. Esta comprobación utiliza las longitudes y el área de la figura triangular, aunque la entrada del formulario esté expresada mediante coordenadas.
La salida de área de esta página es πR², el área del círculo. No es el área triangular Δ de esa fórmula. Calcula Δ a partir de las diferencias de coordenadas o con una herramienta apropiada antes de sustituirlo. Si el enunciado te da tres lados en lugar de tres puntos, utiliza el solucionador de triángulos, que ofrece directamente el circunradio para esa representación de datos.
Dos puntos coincidentes no aportan tres restricciones independientes. Tres puntos alineados tampoco determinan una circunferencia, porque una recta no puede cortarla en tres puntos distintos. Ambos casos generan errores. Reordenar los mismos puntos válidos conserva el círculo; cambiar de casilla dos coordenadas completas no corrige una alineación. Una modificación de los valores sí define otro problema y debe responder a los datos originales.
Puntos casi alineados pueden producir un radio muy grande. Pequeñas variaciones de una coordenada medida pueden desplazar mucho el centro. Revisa la precisión de entrada y comprueba las distancias antes de atribuir fiabilidad física a muchos decimales. El dibujo ayuda a identificar la configuración, pero no sustituye los resultados numéricos ni representa por sí solo una medición topográfica o un ajuste estadístico a datos ruidosos.
Utiliza el calculador de círculos si ya conoces radio, diámetro, circunferencia o área. Geometría analítica permite calcular distancias y puntos medios; el área de polígonos por coordenadas requiere una frontera completa ordenada. Esta página encuentra una circunferencia por exactamente tres puntos planos; no ajusta el mejor círculo a una nube de medidas ni calcula el círculo inscrito del triángulo.
Fuente de comprobación: cada punto está a distancia 5 de (1, 1): 4² + 3², 3² + 4², 0² + 5²
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: por el teorema de Tales, la hipotenusa de longitud 5 es un diámetro y el centro es su punto medio
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: los tres puntos están a distancia 1 del origen
Fuente de comprobación: 9 − 6k = 1 da k = 4/3; r² = 1 + 16/9 = 25/9
Sustituye cada punto en x² + y² + Dx + Ey + F = 0 y resuelve las tres ecuaciones lineales para D, E y F. Para (−3, 4), (4, 5) y (1, −4) se obtiene D = −2, E = −2 y F = −23. Al completar cuadrados queda (x − 1)² + (y − 1)² = 25: centro (1, 1) y radio 5.
Traza las mediatrices de dos cuerdas, como P₁P₂ y P₂P₃. Su intersección es el centro porque todo punto de una mediatriz está a igual distancia de los extremos de la cuerda. Si el triángulo es rectángulo, el centro es el punto medio de la hipotenusa: (0, 0), (4, 0) y (0, 3) dan centro (2, 1.5) y radio 2.5.
x² + y² + Dx + Ey + F = 0. El centro es (−D/2, −E/2) y el radio √(D²/4 + E²/4 − F). Para x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0, el centro es (1, 1) y el radio √(1 + 1 + 23) = 5. Si D²/4 + E²/4 − F es cero, la ecuación describe un punto; si es negativo, no hay circunferencia real.
Una recta corta una circunferencia en dos puntos como máximo, así que esta no puede pasar por tres puntos distintos alineados. En la fórmula, x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂), que es el doble del área con signo del triángulo, se anula y obligaría a dividir entre cero. Con puntos casi alineados, el radio puede ser muy grande.
Esta calculadora incluye 4 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.