CalcOpenly
Tiếng Việt

Đường tròn qua ba điểm: tâm, bán kính, phương trình

Tìm tâm, bán kính, diện tích và phương trình đường tròn qua ba điểm theo dạng (x − h)² + (y − k)² = r² và dạng tổng quát.

Cập nhật Ví dụ đã kiểm tra: 4

Thử
Bán kính
Bán kính: 5
Số chữ số thập phân tối đa: 8; Gần nhất; nếu cách đều thì ra xa số không
Centre x
1
Centre y
1
Standard form
(x − 1)² + (y − 1)² = 25
General form
x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0
Đường kính
10
Chu vi đường tròn
31.4159
Diện tích
78.5398

The only circle through (−3, 4), (4, 5) and (1, −4) is centred at (1, 1) with radius 5: (x − 1)² + (y − 1)² = 25.

Circle through the three points

r = 5centre (1, 1)P1(−3, 4)P2(4, 5)P3(1, −4)
Cách tính S

  1. Determinant (zero means the points are collinear)

    D=2[x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)]=−120D = 2[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)] = -120

  2. Centre

    h=(x12+y12)(y2−y3)+(x22+y22)(y3−y1)+(x32+y32)(y1−y2)D=1k=(x12+y12)(x3−x2)+(x22+y22)(x1−x3)+(x32+y32)(x2−x1)D=1\begin{gathered} h = \frac{(x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2)}{D} = 1 \\[6pt] k = \frac{(x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1)}{D} = 1 \end{gathered}

    The centre is where the perpendicular bisectors of P₁P₂ and P₂P₃ meet, so it is equally far from all three points.

  3. Bán kính

    r=(x1−h)2+(y1−k)2=25=5r = \sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2} = \sqrt{25} = 5

  4. Equation

    Standard: (x − 1)² + (y − 1)² = 25 · General: x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0

Giới thiệu Đường tròn qua ba điểm: tâm, bán kính, phương trình

Three points that do not lie on one line fix exactly one circle, the circumcircle of the triangle they form. Its centre (h, k) is where the perpendicular bisectors of two chords meet, which a determinant formula gives directly, and the radius is the distance from the centre to any of the points. Coordinates stay exact fractions, so a centre at (1, 4/3) is shown as 4/3, not 1.3333.

The default points (−3, 4), (4, 5) and (1, −4) give centre (1, 1) and radius 5: (x − 1)² + (y − 1)² = 25, or x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0. The same construction finds the centre of a round table, pipe or arch from three marks on its edge, and the radius of a road curve from three survey points.

If the determinant is zero the points are collinear and no circle exists. Coordinates carry no unit; the radius and area are in the coordinates' unit and its square.

Ví dụ có lời giải

(−3, 4), (4, 5), (1, −4)

Point 1: x
-3
Point 1: y
4
Point 2: x
4
Point 2: y
5
Point 3: x
1
Point 3: y
-4
Centre x
1
Centre y
1
Bán kính
5
Standard form
(x − 1)² + (y − 1)² = 25
General form
x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0

Nguồn đối chiếu: Python 3.8 fractions with the determinant formula; each point is 5 from (1, 1): 4² + 3², 3² + 4², 0² + 5²

Right-angled corner (0, 0), (4, 0), (0, 3)

Point 1: x
0
Point 1: y
0
Point 2: x
4
Point 2: y
0
Point 3: x
0
Point 3: y
3
Centre x
2
Centre y
1.5
Bán kính
2.5
Diện tích
19.634954

Nguồn đối chiếu: Thales: the hypotenuse (length 5) is a diameter, centre at its midpoint; Python 3.8 math: pi*2.5**2

Centre at the origin (edge case: no shift terms)

Point 1: x
1
Point 1: y
0
Point 2: x
0
Point 2: y
1
Point 3: x
-1
Point 3: y
0
Centre x
0
Centre y
0
Bán kính
1
Standard form
x² + y² = 1
General form
x² + y² − 1 = 0

Nguồn đối chiếu: All three points are 1 from the origin

Fractional centre (0, 0), (2, 0), (1, 3)

Point 1: x
0
Point 1: y
0
Point 2: x
2
Point 2: y
0
Point 3: x
1
Point 3: y
3
Centre x
1
Centre y
1.33333333
Bán kính
1.66666667
Standard form
(x − 1)² + (y − 4/3)² = 25/9

Nguồn đối chiếu: Python 3.8 fractions: h = 1 by symmetry, 9 − 6k = 1 gives k = 4/3, r² = 1 + 16/9 = 25/9

Câu hỏi

How do you find the equation of a circle through three points?

Substitute each point into the general form x² + y² + Dx + Ey + F = 0 and solve the three linear equations for D, E and F. For (−3, 4), (4, 5) and (1, −4) this gives D = −2, E = −2 and F = −23. Completing the square turns that into (x − 1)² + (y − 1)² = 25: centre (1, 1), radius 5.

How do you find the centre of a circle from three points on it?

Construct the perpendicular bisectors of two chords, such as P₁P₂ and P₂P₃; they cross at the centre, because every point on a perpendicular bisector is equally far from both ends of its chord. For a right triangle the centre is the midpoint of the hypotenuse: (0, 0), (4, 0) and (0, 3) give centre (2, 1.5) and radius 2.5.

What is the general form of the equation of a circle?

x² + y² + Dx + Ey + F = 0. The centre is (−D/2, −E/2) and the radius is √(D²/4 + E²/4 − F). For x² + y² − 2x − 2y − 23 = 0 the centre is (1, 1) and the radius √(1 + 1 + 23) = 5. If D²/4 + E²/4 − F is zero the equation describes a single point, and if it is negative, no real circle.

Why is there no circle through three points on a straight line?

A circle meets a straight line at most twice, so it cannot pass through three collinear points. In the formula, x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂), which is twice the triangle's signed area, becomes zero and the centre would need a division by zero. Points that are nearly collinear give a very large radius.

“Đường tròn qua ba điểm: tâm, bán kính, phương trình” chính xác đến mức nào?

Độ chính xác phụ thuộc vào dữ liệu nhập và giả định của phương pháp. Phép tính thập phân dùng 50 chữ số có nghĩa, nhưng ước lượng, phương pháp số và dữ liệu nguồn có thể kém chính xác hơn; làm tròn khi hiển thị không loại bỏ các giới hạn đó. Ví dụ có lời giải đã đối chiếu với nguồn độc lập: 4. Ví dụ, “(−3, 4), (4, 5), (1, −4)” được kiểm tra bằng Python 3.8 fractions with the determinant formula; each point is 5 from (1, 1): 4² + 3², 3² + 4², 0² + 5².

Phương pháp này lấy từ đâu?

Weisstein, E. W. “Circumcircle” — MathWorld (circle through three points, determinant form); Weisstein, E. W. “Circle” — MathWorld (standard and general equations).

Về công cụ tính này

h=∑(xi2+yi2)(yj−yk)2∑xi(yj−yk),k=∑(xi2+yi2)(xk−xj)2∑xi(yj−yk)(x−h)2+(y−k)2=r2\begin{gathered} h = \frac{\sum (x_i^2 + y_i^2)(y_j - y_k)}{2\sum x_i(y_j - y_k)},\quad k = \frac{\sum (x_i^2 + y_i^2)(x_k - x_j)}{2\sum x_i(y_j - y_k)} \\[6pt] (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \end{gathered}

Nguồn

  1. Weisstein, E. W. “Circumcircle” — MathWorld (circle through three points, determinant form)
  2. Weisstein, E. W. “Circle” — MathWorld (standard and general equations)

Đã đối chiếu nguồn tham khảo

Công cụ tính này có 4 ví dụ đã giải với đáp án từ các nguồn độc lập. Chúng được chạy trong bộ kiểm thử và bạn cũng có thể chạy tại đây.

Công cụ liên quan