Calculadora de distribución binomial: P(X = k), P(X ≤ k), colas e intervalos exactos para distribuciones binomial, de Poisson, geométrica, binomial negativa e hipergeométrica.
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Para Binomial(n = 20, p = 0.3), P(X ≤ 5) = 0.416371: probabilidad del 41.6371 %, aproximadamente 1 entre 2.4. La media de X es 6 y su desviación estándar, 2.0494; estas medidas no definen un intervalo garantizado de resultados.
Binomial(n = 20, p = 0.3)
Aritmética racional exacta con numerador y denominador BigInt; al final se convierte a 50 cifras significativas.
Una distribución discreta asigna una probabilidad a cada recuento entero. La binomial cuenta éxitos en n ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito p: P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. La de Poisson cuenta sucesos con media λ; la geométrica y la binomial negativa cuentan ensayos hasta el primer éxito o el éxito r; la hipergeométrica cuenta éxitos al extraer sin reemplazo. Las probabilidades acumuladas y de intervalos suman términos con fracciones exactas, pasando a las funciones beta o gamma incompletas cuando las fracciones crecen demasiado.
El ejemplo inicial calcula la probabilidad de 5 éxitos o menos en 20 ensayos con p = 0,3: 41,64 %, con una media de 6. Para λ = 3 llamadas por hora, Poisson da una probabilidad del 22,4 % de exactamente 2. La hipergeométrica da un 34,1 % de al menos un as en una mano de 5 cartas.
Los modelos binomial, geométrico y binomial negativo suponen ensayos independientes con probabilidad de éxito constante. Un proceso de Poisson supone incrementos independientes y tasa constante. Las extracciones hipergeométricas son dependientes porque no se reponen los elementos. La agrupación de sucesos o las probabilidades cambiantes pueden invalidar el modelo elegido. En las fórmulas, B, P y H representan probabilidades binomiales, de Poisson e hipergeométricas; N es el tamaño de población; K, sus éxitos; y n, el tamaño de la extracción.
Si se repiten n ensayos independientes y cada uno tiene probabilidad de éxito p, la probabilidad de obtener exactamente k éxitos es P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Para 5 caras en 10 lanzamientos de una moneda equilibrada hay C(10, 5) = 252 secuencias, cada una con probabilidad 0,5¹⁰ = 1/1024, así que P = 252/1024 = 0,2461.
Una probabilidad acumulada suma esos términos. Con los valores iniciales de la calculadora, 20 ensayos y p = 0,3, P(X ≤ 5) es la suma de k = 0 a 5:
El total es 0,416371, una probabilidad del 41,6 % aproximadamente. Esta distribución tiene media np = 6, varianza np(1 − p) = 4,2 y desviación estándar √4,2 = 2,05.
En los recuentos, la redacción de la pregunta decide si el propio k entra en el cálculo. Con 20 ensayos y p = 0,3:
Los complementos emparejan ≤ con > y < con ≥. Si sumas P(X ≤ 5) y P(X ≥ 5) obtienes 1,1789, porque P(X = 5) = 0,1789 se cuenta dos veces. Un intervalo P(a ≤ X ≤ b) incluye los dos extremos.
Para sucesos que llegan con una media de λ por intervalo, P(X = k) = e^(−λ) × λᵏ ÷ k!. Un servicio de asistencia que recibe una media de 3 llamadas por hora tiene exactamente 2 llamadas con probabilidad e^(−3) × 3² ÷ 2 = 0,2240, y al menos 5 con probabilidad 1 − P(X ≤ 4) = 0,1847.
λ tiene que corresponder al intervalo de la pregunta. Tres llamadas por hora equivalen a λ = 1,5 en media hora, de modo que la probabilidad de pasar media hora sin llamadas es e^(−1,5) = 0,2231. Reescalar λ así supone que la tasa se mantiene constante durante toda la hora.
En un recuento de Poisson, la media y la varianza valen λ. Si los recuentos varían mucho más que su media, los sucesos se agrupan o la tasa cambia, y una binomial negativa suele ajustarse mejor.
Con muchos ensayos y una p pequeña, una binomial se parece a una Poisson con λ = np. Para 100 ensayos con p = 0,02, P(X = 0) vale 0,98¹⁰⁰ = 0,1326 frente a e^(−2) = 0,1353, y P(X ≤ 2) es 0,6767 en ambos modelos.
Una regla práctica citada con frecuencia admite el cambio cuando n ≥ 20 y p ≤ 0,05, o cuando n ≥ 100 y np ≤ 10. Fuera de esos márgenes los resultados se separan: para 20 ensayos con p = 0,3, P(X ≤ 5) es exactamente 0,4164, pero una Poisson con λ = 6 da 0,4457.
La distribución geométrica da la probabilidad de que el primer éxito llegue en el ensayo k, (1 − p)ᵏ⁻¹ × p, o como muy tarde en el ensayo k, 1 − (1 − p)ᵏ. Sacar un seis en 6 tiradas o menos tiene probabilidad 1 − (5/6)⁶ = 31031/46656 = 0,6651, y la espera media es 1/p = 6 tiradas.
La binomial negativa generaliza esto al r-ésimo éxito: P(X = k) = C(k − 1, r − 1) × pʳ × (1 − p)ᵏ⁻ʳ. Que la tercera cara salga en el quinto lanzamiento tiene probabilidad C(4, 2) × 0,5⁵ = 6/32 = 0,1875.
Algunos libros cuentan los fracasos previos al éxito en lugar de los ensayos. El mismo suceso pasa a ser X = 2 fracasos en vez de X = 5 ensayos. La probabilidad sigue siendo 0,1875, pero cada umbral se desplaza r unidades, o 1 en la geométrica. La calculadora permite elegir cualquiera de los dos convenios.
Al extraer n elementos de una población de N que contiene K éxitos, P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n). La probabilidad de recibir al menos un as en cinco cartas es 1 − C(48, 5)/C(52, 5) = 1 − 1 712 304/2 598 960 = 0,3412, que la calculadora también da como fracción exacta, 18472/54145.
Si se tratan las cinco cartas como extracciones independientes con p = 4/52, el resultado es 0,3298. El atajo binomial solo se acerca cuando la muestra es una fracción pequeña de la población.
| Escenario | Suceso | Probabilidad |
|---|---|---|
| Binomial, 20 ensayos, p = 0,3 | X ≤ 5 | 0,416371 |
| Binomial, 10 ensayos equilibrados | X = 5 | 0,246094 |
| Poisson, media 3 | X = 2 | 0,224042 |
| Tercera cara con moneda equilibrada | Ensayo X = 5 | 0,187500 |
| Cuatro ases en 52 cartas, se extraen 5 | X ≥ 1 | 0,341158 |
Cada fila está desarrollada en un apartado anterior. «Ensayo X = 5» cuenta ensayos, incluido el de la tercera cara.
Para sumas de dados, rachas de monedas y manos de póquer, usa la calculadora de probabilidad de dados, monedas y cartas. El número combinatorio C(n, k) por sí solo se obtiene con la calculadora de permutaciones y combinaciones.
Las mediciones continuas y los estadísticos de contraste corresponden a la calculadora de distribuciones t, chi-cuadrado y F.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: C(10,5)/2¹⁰ = 252/1024 = 63/256
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 4,5·e^(−3) = 0,2240418077
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Multiplica las formas de colocar k éxitos entre n ensayos por la probabilidad de una secuencia concreta: P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Para 5 caras en 10 lanzamientos equilibrados, C(10, 5) = 252 y 0,5¹⁰ = 1/1024, así que P = 252/1024 = 0,2461. Una probabilidad acumulada como P(X ≤ 5) suma los términos de k = 0 a 5.
Para recuentos enteros, difieren en el término P(X = k), de modo que P(X < 5) = P(X ≤ 4). Con n = 20 y p = 0,3, P(X ≤ 5) = 0,4164, pero P(X < 5) = 0,2375. «Como máximo 5» significa ≤ 5; «menos de 5», < 5; «al menos 5», ≥ 5; y «más de 5», > 5.
Cuando n es grande y p pequeño, usando λ = np. Una regla orientativa frecuente es n ≥ 20 con p ≤ 0,05, o n ≥ 100 con np ≤ 10. Fuera de esos rangos, la aproximación puede alejarse: con n = 20 y p = 0,3, la binomial da P(X ≤ 5) = 0,4164, mientras que Poisson con λ = 6 da 0,4457. Esta calculadora evalúa directamente la binomial y usa fracciones exactas cuando es viable; no necesita aproximarla por Poisson.
Cuando se extrae sin reemplazo de una población finita: cada extracción cambia las probabilidades de la siguiente. La probabilidad de al menos un as en una mano de 5 cartas es del 34,12 % con la hipergeométrica (N = 52, K = 4, n = 5). Tratar las extracciones como ensayos binomiales independientes con p = 4/52 da un 32,98 %. Ambas se aproximan cuando la muestra es una fracción pequeña de la población.
La media es np y la varianza, np(1 − p). Con 20 ensayos y p = 0,3, la media es 6 éxitos; la varianza, 4,2; y la desviación estándar, √4,2 = 2,05. En una distribución de Poisson, media y varianza son iguales a λ. Los recuentos cuya varianza supera mucho a la media presentan sobredispersión y a menudo se ajustan mejor a una binomial negativa.
Esta calculadora incluye 12 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.