Calcula área, perímetro y centroide de un polígono simple con las coordenadas de sus vértices y cada término de la fórmula del cordón explicado.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 7
Los 5 puntos recorren un contorno Sentido antihorario que encierra 16.5 m², con perímetro 24.307995 m y centroide (punto de equilibrio) en (3.8889, 3.6667).
| Vértice | x | y | xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | −17 |
| 2 | 3 | 1 | −1 |
| 3 | 7 | 2 | 20 |
| 4 | 4 | 4 | −12 |
| 5 | 8 | 5 | 43 |
El índice n + 1 vuelve al vértice 1.
La suma es positiva; en un polígono simple indica un recorrido antihorario.
A± es el área con signo; usarla da el centroide correcto en ambos sentidos de recorrido.
Enumera los vértices siguiendo el contorno del polígono y aplica la fórmula del cordón: A = ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|, cerrando la suma desde el último vértice hasta el primero. Para un polígono simple, el signo indica el sentido de recorrido: es positivo en sentido antihorario. Los mismos términos permiten obtener el centroide y la suma de las longitudes de los lados da el perímetro.
Los cinco puntos iniciales, (1, 6), (3, 1), (7, 2), (4, 4) y (8, 5), corresponden al ejemplo del artículo de Wikipedia sobre la fórmula. Los términos suman 33, por lo que el área es 16.5 m². En topografía, este método permite calcular el área de una parcela a partir de las coordenadas de sus vértices en un plano.
El contorno no debe cruzarse consigo mismo. Hasta 200 vértices, los cruces generan una advertencia porque las regiones superpuestas pueden cancelarse o contarse más de una vez; con listas mayores se omite esa comprobación. Las coordenadas deben ser planas: convierte primero la latitud y longitud a una proyección adecuada, como UTM.
Introduce una pareja x, y por línea en el campo de vértices. La calculadora obtiene área, área con signo, perímetro y centroide de un contorno plano. Selecciona la unidad de las coordenadas o la opción sin unidad para un ejercicio abstracto. El ejemplo inicial tiene cinco vértices y área 16.5 m². El resultado supone una lista que recorre la frontera; una colección desordenada de esquinas no proporciona la misma figura.
Recorre el contorno una vez en sentido horario o antihorario y conserva ese orden. La herramienta une cada punto con el siguiente y cierra automáticamente desde el último hasta el primero. Repetir el punto inicial al final está permitido y se elimina del recuento. Saltar de una esquina a otra cruzando el interior puede crear un polígono diferente, aunque todos los puntos procedan del mismo plano.
Se admiten paréntesis y parejas separadas por punto y coma, como (0,0); (4,0); (4,3); (0,3). El cuadro lee números en pares x, y. Utiliza valores compactos o fracciones sin espacios internos. Un número impar de componentes deja una coordenada incompleta y genera un error. El analizador no añade una y faltante ni interpreta texto descriptivo como si fuera un vértice.
Las unidades de área son el cuadrado de la unidad de coordenadas. Las fracciones del centroide se conservan para mostrar sus valores exactos. El centroide es el centro de área de la región descrita, no el promedio simple de las posiciones de sus vértices.
| Contorno | Vértices en orden de frontera | Área | Centroide |
|---|---|---|---|
| Rectángulo | (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) | 12 | (2, 1.5) |
| Triángulo rectángulo | (0,0), (4,0), (0,3) | 6 | (4/3, 1) |
| Contorno en L | (0,0), (6,0), (6,2), (2,2), (2,5), (0,5) | 18 | (7/3, 11/6) |
| Contorno inicial de cinco puntos | (1,6), (3,1), (7,2), (4,4), (8,5) | 16.5 | (35/9, 11/3) |
En el rectángulo, los términos de la fórmula del cordón son 0, 12, 12 y 0. Suman 24 y la mitad de su valor absoluto es 12. Las cuatro longitudes de borde suman 14 y el centroide es (2, 1.5). Contrastar un rectángulo conocido con sus fórmulas ordinarias ayuda a comprender qué representa el cálculo por coordenadas y a detectar una pareja introducida en orden incorrecto.
Para la planta en L, descompón la figura en un rectángulo de 6 × 2 y otro de 2 × 3 sobre su extremo izquierdo. Las áreas suman 18. Ponderar sus centros por esas superficies produce el centroide (7/3, 11/6). Promediar sin ponderación todos los vértices daría, en general, otra posición: el método utiliza la distribución de área y no asigna igual peso a cada esquina listada.
Cada término es xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ, incluido el que cierra el último punto con el primero. El área con signo es la mitad de la suma. En ejes cartesianos habituales, un resultado positivo corresponde al recorrido antihorario y uno negativo al horario. El área principal toma su valor absoluto. Mantener el signo en una salida separada permite revisar el orden sin convertir una superficie física en una cantidad negativa.
Invertir un contorno simple válido cambia el signo, pero conserva área, perímetro y centroide. En el ejemplo inicial los términos suman 33, por lo que ambas áreas valen 16.5. El orden inverso da área con signo −16.5 y área principal 16.5. En un sistema de pantalla donde y crece hacia abajo, el significado visual del giro se invierte respecto al de los ejes cartesianos; identifica qué sistema utilizaste.
La tabla de términos muestra inicialmente diez filas en listas extensas. Su control para mostrar todas y la descarga CSV permiten inspeccionar cada término. El cálculo incluye todos los vértices aunque la vista previa los abrevie. Comprueba el cierre además de las primeras filas al comparar con un cálculo manual. Una previsualización corta no significa que la herramienta haya descartado los puntos posteriores.
El selector identifica las unidades existentes de los números introducidos; no los reescala. Un contorno numérico de 4 por 3 en metros tiene área 12 m². Elegir pies sin convertir los números describe otro contorno de 4 por 3 pies y área 12 ft². Para mantener el mismo objeto físico en otra unidad, convierte antes todas las coordenadas con un factor coherente.
Perímetro y coordenadas del centroide utilizan unidades lineales; las áreas utilizan su cuadrado. Latitud y longitud en grados no son distancias planas x, y. Para datos geográficos necesitas proyectarlos a un sistema plano apropiado antes de aplicar estas fórmulas. Esta página no elige una proyección cartográfica ni calcula un área geodésica sobre la Tierra. Una unidad etiquetada como metros no convierte por sí sola datos angulares en coordenadas métricas.
Se admiten de 3 a 1000 vértices. Una suma de cordón nula se rechaza porque no aporta un área neta utilizable. Puede ocurrir con puntos alineados o con un lazo cruzado cuyos lóbulos se cancelan. Tres puntos no alineados sí forman un triángulo válido; dos no definen un polígono. El recuento incluye puntos del contorno una vez retirado el cierre final repetido admitido.
Hasta 200 vértices se comprueba si aristas no adyacentes se cruzan o se tocan. Un cruce detectado produce una advertencia. Si el contorno cruzado conserva área neta no nula, ese número es un área algebraica, que puede no coincidir con la región que pretendías medir. Corrige el orden para recorrer la frontera original antes de utilizarlo como superficie de una parcela o una pieza.
Por encima de 200 vértices se omite la comprobación de cruces y aparece un aviso del límite. La ausencia de un aviso específico de intersección no garantiza entonces un contorno simple. El dibujo etiqueta vértices solo en listas pequeñas; las salidas numéricas y los términos conservan el cálculo completo. Se admite una frontera, sin anillos separados para huecos. Describe esas restricciones al transferir el resultado a un problema con otra topología.
El centroide de una región cóncava puede quedar fuera del contorno. Redondear coordenadas altera área y centroide, especialmente si coordenadas grandes delimitan una región neta pequeña. La precisión de trabajo no recupera cifras perdidas al medir. Conserva los datos originales y redondea los resultados finales según la exactitud útil de ese origen. Comprueba que el orden de vértices corresponda a la región que realmente quieres representar.
Utiliza área y perímetro para figuras estándar definidas por dimensiones y geometría analítica para distancias o puntos medios. El círculo por tres puntos responde a la pregunta distinta de hallar una circunferencia por tres vértices. Las fórmulas clásicas de cordón y centroide también se recopilan en el material de geometría de Paul Bourke.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: área 16.5 del ejemplo de «Shoelace formula» de Wikipedia
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: rectángulo 4 × 3; centroide en su centro
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: ½ × 4 × 3; perímetro de la terna 3-4-5; el centroide del triángulo es la media de los vértices: (4/3, 1)
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: la suma del cordón en sentido horario es −2 × área
Multiplica cada x por la y del siguiente vértice, resta la x siguiente multiplicada por la y actual, suma alrededor del contorno y divide entre dos el valor absoluto. Para (0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3), los términos son 0, 12, 12 y 0: el área es 24/2 = 12. El nombre alude al patrón cruzado de los productos cuando las coordenadas se escriben en dos columnas.
Sí. Los puntos deben seguir el contorno, en sentido horario o antihorario, sin saltar de un lado a otro. Invertir el recorrido solo cambia el signo: la suma es positiva en sentido antihorario y negativa en sentido horario; el área usa el valor absoluto. Los vértices de un cuadrado 2 × 2 ordenados como (0, 0), (2, 2), (2, 0), (0, 2) forman un contorno cruzado cuya área algebraica es 0, en lugar de 4.
Anota los vértices en coordenadas planas, por ejemplo coordenadas este y norte en metros de un plano, ordénalos alrededor del contorno y aplica la fórmula del cordón. Una parcela en L con vértices (0, 0), (6, 0), (6, 2), (2, 2), (2, 5) y (0, 5) en pies ocupa 18 ft². La latitud y longitud deben proyectarse primero: un grado de longitud representa menos distancia al acercarse a los polos.
Multiplica cada término de la fórmula por la suma de las dos coordenadas x asociadas: Cx = Σ(xᵢ + xᵢ₊₁)(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)/(6A), donde A es el área con signo. Para Cy se usan las coordenadas y. En un triángulo equivale a la media de sus tres vértices; en la parcela en L anterior es (7/3, 11/6) ≈ (2.333, 1.833). El centroide de una figura no convexa puede quedar fuera de ella.
Esta calculadora incluye 7 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.