Obtén la suma de ángulos interiores, cada ángulo interior y exterior y las diagonales de un polígono regular a partir de sus lados o de un ángulo.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 8
Un pentágono (5 lados) tiene ángulos interiores que suman 540°. Si es regular, cada interior mide 108° y cada exterior 72°. Tiene 5 diagonales.
Un polígono convexo de 5 lados se divide en 3 triángulos desde un vértice.
Un polígono simple de n lados puede dividirse en n − 2 triángulos, por lo que sus ángulos interiores suman (n − 2) × 180°. En un polígono regular convexo, cada ángulo interior mide (n − 2) × 180°/n y cada exterior 360°/n. Los ángulos exteriores de un polígono convexo completan una vuelta. El número de diagonales es n(n − 3)/2.
En el pentágono inicial, los ángulos interiores suman 540°; si es regular, cada uno mide 108°, los exteriores miden 72° y hay 5 diagonales. El cálculo inverso es útil en revestimientos y carpintería: un ángulo interior de 140° corresponde a 360/(180 − 140) = 9 lados. En un marco regular de n lados, el ajuste de inglete respecto al corte perpendicular es 180°/n, es decir, 36° para un pentágono.
Se rechazan ángulos que no corresponden a un número entero de lados, como 100°, y se propone un polígono válido cercano. Se admite un valor redondeado si coincide con un ángulo exacto: 128.57° se interpreta como los 900/7° del heptágono.
Selecciona si conoces el número de lados, un ángulo interior regular o uno exterior regular. Con número de lados, se admiten enteros de 3 a 100000. El ejemplo inicial es un pentágono de cinco lados y suma interior 540°. Las salidas distinguen suma total, cada ángulo interior o exterior, ángulo central y número de diagonales. No todas representan el mismo ángulo ni aplican las mismas hipótesis.
Para un polígono simple de n lados, la suma interior es (n − 2)·180°. Esa suma sirve también para un polígono irregular simple. En cambio, cada ángulo interior y cada exterior corresponden al caso regular, con ángulos iguales. Esta página no recibe una lista de ángulos medidos en un contorno irregular. Introducir un número de lados no afirma que cada esquina real tenga el valor regular mostrado.
En un polígono regular, el interior es 180° − 360°/n y el exterior 360°/n. El central coincide con el exterior y el número de diagonales es n(n − 3)/2. El capítulo de polígonos de OpenStax desarrolla estas relaciones. Para aplicarlas a una figura, identifica primero si buscas un total válido para cualquier polígono simple o un ángulo individual que supone regularidad.
La tabla utiliza grados para los ángulos. El número de diagonales cuenta segmentos entre pares de vértices no consecutivos. Un cuadrilátero tiene dos diagonales y un triángulo ninguna; no debe confundirse esa cantidad con las líneas necesarias para una triangulación particular.
| Lados | Suma interior | Cada ángulo interior | Cada ángulo exterior | Diagonales |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 180° | 60° | 120° | 0 |
| 4 | 360° | 90° | 90° | 2 |
| 5 | 540° | 108° | 72° | 5 |
| 6 | 720° | 120° | 60° | 9 |
| 8 | 1080° | 135° | 45° | 20 |
| 12 | 1800° | 150° | 30° | 54 |
Un pentágono se divide en n − 2 = 3 triángulos en la construcción habitual de la suma angular. Por tanto, sus interiores suman 3·180° = 540°. Si es regular, dividir entre cinco da 108° en cada vértice, y restar de 180° da 72° exterior. Los cinco giros exteriores iguales completan 360°. La igualdad de ángulos individuales procede de la regularidad y no solo de la suma total.
Desde un vértice pueden trazarse diagonales a n − 3 vértices: se excluyen el propio y sus dos vecinos. Multiplicar por n cuenta cada segmento dos veces, una por cada extremo; dividir entre dos corrige esa duplicación. Esta explicación permite comprobar la fórmula de diagonales sin interpretar las líneas de un dibujo pequeño como una enumeración completa de todas las conexiones.
Si conoces un interior regular α, su exterior es 180° − α y n = 360°/(180° − α). Con α = 140°, el resultado es 9 lados: un eneágono regular con suma interior 1260° y 27 diagonales. Un único ángulo de un polígono irregular no permitiría deducir n mediante esta operación. La hipótesis regular es necesaria para que todos los giros exteriores coincidan.
Con un exterior regular β, utiliza n = 360°/β. Un exterior de 24° da 15 lados y un interior de 156°. Los campos angulares admiten grados, radianes, grados centesimales y vueltas. Conserva la unidad seleccionada al copiar una medida y comprueba las etiquetas de las salidas. Una fracción de radián no se interpreta como grados por el hecho de que el dibujo tenga lados visibles.
Un interior de 100° implicaría 4.5 lados bajo la fórmula regular, por lo que se rechaza. El mensaje puede indicar un polígono regular válido cercano, sin redondear arbitrariamente 4.5 a un número entero como solución del problema. Cambia la entrada solo si ese valor sugerido corresponde al enunciado que realmente intentas resolver. Un contorno no puede tener una fracción de lado en este modelo.
Algunos ángulos regulares tienen decimales periódicos. El interior exacto de un heptágono es 900/7°, aproximadamente 128.57142857°. Una entrada de 128.57° puede reconocerse como siete lados porque coincide con el ángulo válido redondeado a la precisión escrita. La página avisa y utiliza después el ángulo del polígono identificado para calcular las otras salidas. Revisa tanto el recuento como esa advertencia.
Este reconocimiento de redondeo no es un análisis de incertidumbre para una esquina medida. Con precisión gruesa, una medida física puede admitir distintas interpretaciones. El resultado regular debe contrastarse con la forma original. La ausencia de una advertencia tampoco demuestra que una parcela sea regular: el formulario trabaja sobre una selección de relaciones matemáticas, sin recibir longitudes o mediciones independientes de todos sus vértices.
Un interior de 180° no corresponde a un polígono regular finito y un exterior cero exigiría dividir entre cero. Se rechazan ángulos negativos, interiores demasiado pequeños, recuentos no enteros y cantidades fuera del límite. Corrige el campo activo antes de reutilizar salidas. El dibujo de un caso previo no constituye una respuesta a una entrada que la herramienta haya marcado como incompatible.
Para un polígono convexo recorrido de manera coherente, la suma exterior es una vuelta completa, 360°. En uno regular se reparte en n giros iguales. En contornos cóncavos hay que atender a los signos de los giros; la salida de exterior individual de esta página no representa automáticamente cada esquina de un contorno arbitrario. No conviertas esa salida regular en una lista de ángulos medidos inexistente.
El dibujo ilustra un polígono regular y limita la representación a 360 vértices cuando n es grande. Los totales y las diagonales siguen utilizando el n real introducido o deducido, hasta 100000. Que la imagen parezca circular no significa que el cálculo haya cambiado de figura. Para trabajo en radianes, la suma interior es (n − 2)π; mantenla separada del ángulo central y de cada ángulo interior.
La página calcula relaciones angulares y recuentos. No utiliza longitudes para obtener área o perímetro. Para eso puedes usar área y perímetro de figuras o área de polígonos por coordenadas con una frontera ordenada. Si el dato original está en grados, minutos y segundos, conviértelo antes con el convertidor DMS, conservando la precisión adecuada hasta completar el cálculo.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: suma de ángulos de un triángulo (Euclides, I.32); un triángulo no tiene diagonales
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 3 × 180; 540/5; 360/5; 5·2/2
Fuente de comprobación: 7·4/2
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 10 × 180; 1800/12; 12·9/2
(n − 2) × 180°, donde n es el número de lados. Un triángulo tiene 180°; un cuadrilátero, 360°; un pentágono, 540°; un hexágono, 720°; y un octógono, 1080°. La regla vale para todo polígono simple, regular o no, porque puede dividirse en n − 2 triángulos de 180° cada uno.
Divide la suma de ángulos entre el número de lados: (n − 2) × 180°/n, equivalente a 180° − 360°/n. Un hexágono regular tiene ángulos de 120°; un octógono, de 135°; y un dodecágono, de 150°. Al aumentar n, el ángulo se aproxima a 180°: con 1000 lados mide 179.64°.
Resta el ángulo de 180° para obtener el exterior y divide 360° entre él: n = 360°/(180° − ángulo interior). Un ángulo de 140° da 360/40 = 9 lados: un eneágono. Si el resultado no es entero, ningún polígono regular tiene exactamente ese ángulo: 100° da 4.5 lados.
360° en cualquier polígono convexo, independientemente del número de lados. Al recorrer su contorno, cada ángulo exterior indica un giro; al completar el recorrido se vuelve a la dirección inicial tras una vuelta completa. En un polígono regular, cada exterior mide 360°/n: 72° en un pentágono, 60° en un hexágono y 45° en un octógono.
n(n − 3)/2. Cada uno de los n vértices se conecta mediante diagonales con n − 3 vértices: se excluyen él mismo y sus dos vecinos. Cada diagonal se cuenta desde ambos extremos, por lo que se divide entre 2. Un pentágono tiene 5 diagonales; un hexágono, 9; un octógono, 20; y un dodecágono, 54. Un triángulo no tiene diagonales.
Esta calculadora incluye 8 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.