2 पर घन फलन
- f(x)
- x^3 - 3x
- x
- 2
- f(x)
- 2
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 8 − 6
ग्राफ़ बनाने वाला कैलकुलेटर
कई फलन, ध्रुवीय और प्राचलिक वक्र बनाएँ; ग्राफ खिसकाएँ और ज़ूम करें; मूल, प्रतिच्छेदन, चरम बिंदु और क्षेत्रफल खोजें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 3
फलन
y = x^2 से फलन, r = 1 + cos(θ) से ध्रुवीय वक्र और (cos(t), sin(2t)) से प्राचलिक वक्र बनता है। यहाँ त्रिकोणमिति रेडियन में है।
दृश्य में महत्वपूर्ण बिंदु
| बिंदु | x ≈ | y ≈ |
|---|---|---|
| मूल | −1.7320508 | 0 |
| मूल | 0 | 0 |
| मूल | 1.7320508 | 0 |
| अधिकतम | −1 | 2 |
| न्यूनतम | 1 | −2 |
| मूल | −6.2831853 | 0 |
| मूल | −3.1415927 | 0 |
| मूल | 3.1415927 | 0 |
| मूल | 6.2831853 | 0 |
| न्यूनतम | −7.8539816 | −2 |
| अधिकतम | −4.712389 | 2 |
| न्यूनतम | −1.5707963 | −2 |
| अधिकतम | 1.5707963 | 2 |
| न्यूनतम | 4.712389 | −2 |
| अधिकतम | 7.8539816 | 2 |
| प्रतिच्छेदन | −1.981305 | −1.8338359 |
| प्रतिच्छेदन | 0 | 0 |
| प्रतिच्छेदन | 1.981305 | 1.8338359 |
डबल-प्रिसीजन गणना में चिह्न बदलने पर द्विभाजन से मिले; 8 सार्थक अंकों तक दिखाए गए।
ग्राफ़ बनाने वाला कैलकुलेटर के बारे में
एक ही अक्ष-युग्म पर x के छह तक फलन, r = 1 + cos(θ) जैसे ध्रुवीय वक्र और (cos(t), sin(2t)) जैसे प्राचलिक वक्र बनाएँ। दृश्य खिसकाने के लिए खींचें, ज़ूम के लिए स्क्रॉल या दो उँगलियों का उपयोग करें। सूचक रखने पर फलन का मान दिखता है; स्पष्ट y = f(x) वक्रों में सूचक के स्थान पर इसे 50-अंकीय दशमलव में फिर निकाला जाता है।
ग्राफ़ के नीचे वर्तमान दृश्य में मिले मूल, चरम बिंदु और प्रतिच्छेदन सूचीबद्ध होते हैं। ये चिह्न बदलने पर द्विभाजन से खोजे जाते हैं। पहला फलन अवकलित करके उसका ग्राफ़ भी दिखा सकते हैं और दो सीमाओं के बीच का क्षेत्र रंगकर सिम्पसन विधि से समाकल का अनुमान ले सकते हैं।
अधिकांश ग्राफ़िंग सॉफ़्टवेयर की तरह यहाँ त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में हैं; 90 के बजाय pi/2 लिखें।
फ़ंक्शन का ग्राफ बनाकर मान जाँचें
x^2-4 लिखें और x-अक्ष के कटान −2 और 2 देखें। शीर्ष (0,−4) है; x=1 पर y=−3 रखकर सारणी से जाँच सकते हैं। एक ही चित्र में कई फ़ंक्शन रखने से प्रतिच्छेद की जगह समझ आती है, लेकिन स्क्रीन पर दिखती निकटता सटीक बराबरी का प्रमाण नहीं है।
कोष्ठक ज़रूर लगाएँ: 1/(x-1) और 1/x-1 अलग फ़ंक्शन हैं। ln(x) प्राकृतिक लघुगणक, log(x) आधार 10 और log2(x) आधार 2 है। इस ग्राफ में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन रेडियन लेते हैं; डिग्री में x हो तो sin(pi*x/180) लिखें।
फ़ंक्शन और जाँचने योग्य बिंदु
| x | x² − 4 | x³ − 3x | 2x + 1 |
|---|---|---|---|
| -2 | 0 | -2 | -3 |
| -1 | -3 | 2 | -1 |
| 0 | -4 | 0 | 1 |
| 1 | -3 | -2 | 3 |
| 2 | 0 | 2 | 5 |
| लिखने की अभिव्यक्ति | x = 1 पर मान | x = 2 पर मान |
|---|---|---|
x^2-4 | -3 | 0 |
x^3-3*x | -2 | 2 |
2*x+1 | 3 | 5 |
sin(x) | 0.84147098 | 0.90929743 |
cos(x) | 0.54030231 | -0.41614684 |
tan(x) | 1.5574077 | -2.1850399 |
x*sin(x) | 0.84147098 | 1.8185949 |
x*tan(x) | 1.5574077 | -4.3700797 |
ln(x) | 0 | 0.69314718 |
log(x) | 0 | 0.30103000 |
x*ln(x) | 0 | 1.3862944 |
x*log(x) | 0 | 0.60205999 |
sin(3*pi*x) | 0 | 0 |
cos(2*pi*x/7) | 0.62348980 | -0.22252093 |
चित्र की सीमाएँ समझें
1/(x-1) में x=1 पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। ln(x) के वास्तविक मान केवल x>0 पर हैं। खड़ी जाती रेखा या नमूना बिंदुओं के बीच जुड़ा खंड उस स्थान पर वास्तविक मान साबित नहीं करता। छोटे अंतराल में ज़ूम करें और मूल अभिव्यक्ति का डोमेन देखें।
ध्रुवीय रूप में r को कोण से और प्राचलिक रूप में x तथा y को t से परिभाषित करें। उदाहरण r=1+cos(θ) और (cos(t),sin(t)) अलग ढंग से निर्देशांक बनाते हैं। कोण तथा t का अंतराल बदलने से दिखता भाग बदल सकता है।
मूल, प्रतिच्छेद और चरम बिंदु संख्यात्मक खोज से मिलते हैं। दोहरा मूल जो अक्ष को छूकर लौट जाए, बहुत संकरी विशेषता या असांतत्य खोज में छूट सकता है। बहुपद के सभी वास्तविक और सम्मिश्र मूल के लिए बहुपद मूल खोजक, ढाल के लिए अवकलज देखें।
हल किए गए उदाहरण
π/2 पर ज्या
- f(x)
- sin(x)
- x
- pi/2
- f(x)
- 1
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: sin(π/2) = 1; ग्राफ़ रेडियन में काम करता है
परिमेय फलन
- f(x)
- 1/(x-1)
- x
- 3
- f(x)
- 0.5
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: 1/2
सवाल
दो ग्राफ़ कहाँ काटते हैं, कैसे पता करें?
दोनों फलन लिखें और ग्राफ़ के नीचे महत्वपूर्ण बिंदुओं की सारणी देखें। इसमें वर्तमान दृश्य में मिले संख्यात्मक संभावित हलों के निर्देशांक 8 सार्थक अंकों तक दिखते हैं; प्रदर्शन की यह परिशुद्धता उतनी सटीकता की गारंटी नहीं है। नमूने लेने की विधि स्पर्श करते या बहुत पास के प्रतिच्छेदन छोड़ सकती है। ज़ूम या दृश्य खिसकाकर क्षेत्र देखें और महत्वपूर्ण हल मूल समीकरणों में जाँचें।
क्या यह ध्रुवीय और प्राचलिक समीकरणों के ग्राफ़ बना सकता है?
हाँ। θ में ध्रुवीय वक्र के लिए पंक्ति r = से शुरू करें; उदाहरण के लिए r = 2 sin(3θ) तीन पंखुड़ियों का गुलाब बनाता है। प्राचलिक वक्र के लिए (cos(t), sin(t)) जैसा जोड़ा कोष्ठक में लिखें; t को −2π से 2π तक चलाया जाता है।
tan(x) के ग्राफ़ में अंतराल क्यों हैं?
tan(x) में x = π/2 + kπ पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी हैं, जहाँ वह +∞ से −∞ की ओर छलाँग लगाता है। लगातार नमूने डेढ़ स्क्रीन ऊँचाई से अधिक उछलें तो ग्राफ़ की रेखा तोड़ी जाती है, ताकि अनंतस्पर्शी के आर-पार भ्रामक ऊर्ध्वाधर रेखाएँ न जुड़ें।
स्रोत
- OpenStax Precalculus 2e — Functions, function notation and graphs
- OpenStax Precalculus 2e — Graphs of the sine and cosine functions
- Implementation: adaptive sampling with discontinuity breaks; values at a point recomputed in 50-digit Decimal