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वर्णनात्मक सांख्यिकी कैलकुलेटर

वर्णनात्मक सांख्यिकी कैलकुलेटर: माध्य, माध्यिका, बहुलक, मानक विचलन, प्रसरण, चतुर्थक, IQR, बाह्य मान, विषमता और ककुदता पाएँ; साथ में हिस्टोग्राम।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 7

संख्याएँ कॉमा, रिक्त स्थान या नई पंक्ति से अलग करें (डिफ़ॉल्ट में मिनटों में 18 यात्रा-अवधियाँ हैं)।
और विकल्प
खाली छोड़ने पर स्टर्जेस का नियम, ⌈log₂ n⌉ + 1 वर्ग-अंतराल, लागू होता है। सीमाएँ 10 की घात के 1, 2, 2.5 या 5 गुना चरणों पर रखी जाती हैं, इसलिए वास्तविक वर्गों की संख्या थोड़ी अलग हो सकती है।
आज़माएँ
माध्य
माध्य: 26.666667
अधिकतम दशमलव स्थान: 6; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
माध्यिका
24.5
बहुलक
22 (2 बार आता है)
मानों की संख्या n
18
योग
480
न्यूनतम
12
अधिकतम
64
परास
52
नमूना प्रसरण s²
136.588235
नमूना मानक विचलन s
11.687097
समष्टि प्रसरण σ²
129
समष्टि मानक विचलन σ
11.357817
औसत की मानक त्रुटि
2.754675
प्रथम चतुर्थक Q1
19.5
तृतीय चतुर्थक Q3
30.5
अंतरचतुर्थक विस्तार
11
बाह्य मान
64 — 1.5·IQR की सीमाएँ 3 और 47 के बाहर
विषमता (G1)
1.959304
अतिरिक्त ककुदता (G2)
5.600893
विचरण गुणांक
43.83%

औसत 26.6667 और मध्यिका 24.5 है। नमूना मानक विचलन 11.6871 है; बीच के आधे मान 19.5 से 30.5 तक फैले हैं। डेटा का आकार दाईं ओर विषम (बड़े मानों की लंबी पूँछ) है। 1.5·IQR की सीमाओं से बाहर मान: 64। इन्हें कैसे इस्तेमाल करें, यह तय करने से पहले संदर्भ जाँचें।

हिस्टोग्राम (10 चौड़ाई के 6 वर्ग-अंतराल)

10 से 20: 5510 से 2020 से 30: 8820 से 3030 से 40: 4430 से 4040 से 50: 0040 से 5050 से 60: 0050 से 6060 से 70: 1160 से 70

बॉक्स प्लॉट (सीमाओं के भीतर सबसे दूर के मानों तक मूँछें)

2030405060माध्यिका 24.5
आवृत्ति तालिका (सीमा पर स्थित मान अगले वर्ग में गिना जाता है) पंक्तियाँ: 6
वर्ग-अंतरालगिनतीसापेक्ष आवृत्तिसंचयी
10 से 20527.78 %27.78 %
20 से 30844.44 %72.22 %
30 से 40422.22 %94.44 %
40 से 5000 %94.44 %
50 से 6000 %94.44 %
60 से 7015.56 %100 %
गणना कैसे होती है S

  1. योग और औसत

    xˉ=∑xin=48018=26.666667\bar x = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{480}{18} = 26.666667

  2. माध्यिका

    x~=24.5\tilde x = 24.5

    क्रमबद्ध सूची के स्थान 9 और 10 के मानों का औसत।

  3. प्रसरण और मानक विचलन

    s2=∑(xi−xˉ)2n−1=2,32217=136.588235,s=11.687097;σ2=2,32218=129s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar x)^2}{n - 1} = \frac{2{,}322}{17} = 136.588235,\quad s = 11.687097;\qquad \sigma^2 = \frac{2{,}322}{18} = 129

    50 सार्थक अंकों की दशमलव गणना के दो चरण: पहले औसत, फिर उससे वर्ग-विचलन।

  4. औसत की मानक त्रुटि

    SE=sn=11.68709718=2.754675SE = \frac{s}{\sqrt n} = \frac{11.687097}{\sqrt{18}} = 2.754675

  5. चतुर्थक (R-7)

    h1=(18−1)×0.25+1=5.25, Q1=19.5;h3=(18−1)×0.75+1=13.75, Q3=30.5h_1 = (18-1)\times0.25+1 = 5.25,\ Q_1 = 19.5;\quad h_3 = (18-1)\times0.75+1 = 13.75,\ Q_3 = 30.5

    रैखिक अंतर्वेशन (R-7, Excel QUARTILE.INC): क्रमबद्ध डेटा में Q_p का स्थान (n − 1)p + 1 है; पड़ोसी मानों के बीच अंतर्वेशन होता है।

  6. हिस्टोग्राम वर्ग-अंतराल

    स्टर्जेस का नियम: ⌈log₂ 18⌉ + 1 = 6 वर्ग-अंतराल। प्रारंभिक चौड़ाई 8.667 है; 10 से 10 के पूर्णांकित चरण लेने पर 6 वर्ग-अंतराल मिलते हैं।

  7. बाह्य मान की सीमाएँ

    Q1−1.5 IQR=3,Q3+1.5 IQR=47Q_1 - 1.5\,IQR = 3,\quad Q_3 + 1.5\,IQR = 47

    सीमाओं के बाहर मानों की संख्या: 1।

  8. विषमता और अतिरिक्त ककुदता

    G1=n(n−1)n−2⋅m3m23/2=1.959304,G2=(n−1)[(n+1)(m4m22−3)+6](n−2)(n−3)=5.600893G_1 = \frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}\cdot\frac{m_3}{m_2^{3/2}} = 1.959304,\quad G_2 = \frac{(n-1)\left[(n+1)\left(\frac{m_4}{m_2^2}-3\right)+6\right]}{(n-2)(n-3)} = 5.600893

    m_k = Σ(x − x̄)^k / n केंद्रीय आघूर्ण हैं। ये Excel SKEW और KURT से मेल खाते हैं।

वर्णनात्मक सांख्यिकी कैलकुलेटर के बारे में

वर्णनात्मक सांख्यिकी किसी डेटा समुच्चय के केंद्र, फैलाव और आकार का सार देती है। औसत कुल योग को n से भाग देने पर मिलता है। नमूना प्रसरण में औसत से वर्ग-विचलनों के योग को n − 1 से और समष्टि प्रसरण में n से भाग देते हैं। चतुर्थक क्रमबद्ध डेटा से रैखिक अंतर्वेशन (R-7, जैसे Excel QUARTILE.INC), अपवर्जी विधि (R-6) या टुकी के हिंज से मिलते हैं। विषमता और अतिरिक्त ककुदता के लिए Excel SKEW और KURT के समायोजित सूत्र हैं।

टुकी के बॉक्स-प्लॉट नियम से चतुर्थकों से 1.5 × IQR से अधिक दूर मान बाह्य मान चिह्नित होते हैं। डिफ़ॉल्ट में मिनटों में 18 यात्रा-अवधियाँ हैं, जिनका औसत 26.67 और मध्यिका 24.5 है। 64 मिनट की यात्रा ऊपरी सीमा 47 से बाहर है और औसत को मध्यिका से ऊपर खींचती है।

डेटा किसी बड़े समूह का नमूना हो तो नमूना मानक विचलन लें; पूरा समूह हो तो समष्टि मानक विचलन लें।

मानक विचलन हाथ से कैसे निकालें

मानक विचलन डेटा के औसत के आसपास फैलाव मापता है। मान लें कि 10 में से आठ विद्यार्थियों के अंक 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 और 9 हैं।

  1. औसत निकालें: कुल अंक 40 हैं, इसलिए 40 ÷ 8 = 5।
  2. हर अंक से 5 घटाएँ और अंतर का वर्ग लें।
अंक xविचलन x − 5वर्ग-विचलन
2−39
4−11
4−11
4−11
500
500
724
9416
योग032
  1. वर्ग-विचलन जोड़ें: 32। स्वयं विचलनों का योग 0 है; इससे दूसरे चरण की जाँच कर सकते हैं।
  2. प्रसरण निकालें: समष्टि के लिए σ² = 32 ÷ 8 = 4; नमूने के लिए s² = 32 ÷ 7 ≈ 4.571429।
  3. वर्गमूल लें: σ = √4 = 2 और s ≈ 2.138090।

कैलकुलेटर में यही आठ अंक डालने पर समष्टि मानक विचलन 2 और नमूना मानक विचलन लगभग 2.13809 मिलता है। नमूना प्रसरण और मानक विचलन के सूत्र NIST/SEMATECH पुस्तिका के खंड 1.3.5.6 से मेल खाते हैं। प्रसरण की इकाई यहाँ अंक² है; वर्गमूल लेने पर मानक विचलन फिर अंकों की इकाई में आ जाता है। यह हर परिणाम के औसत से इतनी ही दूरी पर होने की गारंटी नहीं है।

नमूना या समष्टि: कौन-सा विकल्प लें

जिस पूरे समूह का वर्णन करना चाहते हैं, उसका हर मान उपलब्ध हो तो n से भाग देने वाला समष्टि सूत्र लें। उदाहरण: इसी कक्षा के सभी विद्यार्थियों के अंक। डेटा किसी बड़े समूह का प्रतिनिधि नमूना हो तो n − 1 वाला नमूना सूत्र लें। उदाहरण: पूरे वर्ष-समूह के बारे में जानने के लिए आठ विद्यार्थियों के अंक।

दोनों मानक विचलनों का अनुपात √(n ÷ (n − 1)) है। छोटे नमूनों में इसका प्रभाव अधिक होता है।

मानों की संख्या nनमूना मानक विचलन ÷ समष्टि मानक विचलन
21.4142
31.2247
51.1180
101.0541
301.0171
1001.0050
1,0001.0005

अलग सॉफ़्टवेयर में डिफ़ॉल्ट एक जैसा नहीं है:

साधननमूना (n − 1)समष्टि (n)
ExcelSTDEV.SSTDEV.P
Python का statistics मॉड्यूलstdev()pstdev()
NumPynp.std(x, ddof=1)np.std(x), डिफ़ॉल्ट
pandasDataFrame.std(), डिफ़ॉल्टDataFrame.std(ddof=0)
यह कैलकुलेटरनमूना मानक विचलन sसमष्टि मानक विचलन σ

NumPy का std डिफ़ॉल्ट में n से भाग देता है; pandas का DataFrame.std n − 1 से। इसलिए समान डेटा पर अलग परिणाम मिलना आवश्यक रूप से गलती नहीं है। तुलना से पहले सूत्र, खाली मानों और पाठ के व्यवहार की जाँच करें।

औसत, मध्यिका, बहुलक और परास

इन आठ अंकों का औसत 5 है। क्रमबद्ध सूची के चौथे और पाँचवें मान 4 तथा 5 हैं, इसलिए मध्यिका 4.5 है। बहुलक 4 है, जो तीन बार आता है। परास 9 − 2 = 7 है।

औसत हर मान का उपयोग करता है और मानक विचलन उसी के आसपास निकाला जाता है। मध्यिका क्रमबद्ध डेटा के बीच की स्थिति बताती है; चरम मान कितने दूर हैं, उससे उसका परिमाण सीधे नहीं बदलता। बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान है और श्रेणीबद्ध डेटा पर भी लागू होता है। परास केवल सबसे छोटे और सबसे बड़े मान पर निर्भर है।

यहाँ 9 औसत को मध्यिका से आधा अंक ऊपर खींचता है। कैलकुलेटर समायोजित विषमता लगभग 0.818 देता है। औसत और मध्यिका की तुलना उपयोगी संकेत है, लेकिन अकेले उससे हर वितरण का आकार तय नहीं होता।

चतुर्थक विधियों की तुलना

प्रथम और तृतीय चतुर्थक Q1 और Q3, क्रमबद्ध डेटा के निचले तथा ऊपरी चौथाई की सीमाएँ बताते हैं। अंतरचतुर्थक विस्तार IQR = Q3 − Q1 है। हाइंडमैन और फ़ैन (1996) ने नौ क्वांटाइल परिभाषाओं का अध्ययन किया। यह कैलकुलेटर R-7, R-6 और टुकी के हिंज देता है; छोटे डेटा में इनके परिणाम अलग हो सकते हैं।

विधिQ1Q3IQR1.5 × IQR की सीमाएँक्या 9 बाह्य मान है?
रैखिक अंतर्वेशन (R-7)45.51.51.75 और 7.75हाँ
अपवर्जी (R-6)46.52.50.25 और 10.25नहीं
टुकी के हिंज4621 और 9नहीं, ठीक सीमा पर है
  • R-7: Q3 का स्थान (n − 1) × 0.75 + 1 = 6.25 है। छठे मान 5 से सातवें मान 7 तक एक-चौथाई दूरी पर 5.5 मिलता है। यह R के quantile() का डिफ़ॉल्ट है।
  • R-6: स्थान (n + 1) × 0.75 = 6.75 है, जिससे Q3 = 6.5 आता है। इस कैलकुलेटर में डेटा की सीमा से बाहर पड़ने वाले स्थान निकटतम छोर तक सीमित किए जाते हैं; अन्य सॉफ़्टवेयर के छोटे नमूनों का व्यवहार अलग हो सकता है।
  • टुकी के हिंज: निचले आधे 2, 4, 4, 4 की मध्यिका 4 और ऊपरी आधे 5, 5, 7, 9 की मध्यिका 6 है। विषम n पर बीच का मान दोनों आधों में शामिल होता है।

एक ही आठ-मान वाले डेटा में विधि बदलने से 9 का बाह्य मान होना बदल जाता है। किसी पुस्तक या दूसरे प्रोग्राम से तुलना करते समय समान विधि चुनें।

परिणाम पढ़ना और आम गलतियों से बचना

  • मानक विचलन और मानक त्रुटि अलग हैं। मानक विचलन डेटा का फैलाव है। औसत की मानक त्रुटि s ÷ √n, नमूना औसत की आकलन-अनिश्चितता से जुड़ी है। यहाँ यह 2.138 ÷ √8 ≈ 0.756 है। उपयुक्त नमूना-मान्यताओं के साथ इसका उपयोग औसत के विश्वास अंतराल में होता है।
  • विचरण गुणांक के लिए अर्थपूर्ण शून्य चाहिए। CV = s ÷ |औसत| × 100 यहाँ 42.76% है। अलग पैमानों के अनुपात-आधारित मापों में यह उपयोगी हो सकता है। °C जैसे मनमाने शून्य वाले पैमानों पर इसे न समझें; औसत शून्य के पास हो तो CV बहुत बड़ा हो सकता है।
  • बड़े मानों पर छोटे अंतर की गणना सावधानी से करें। एक-चरणीय सूत्र (Σx² − (Σx)² ÷ n) ÷ (n − 1) में लगभग बराबर बड़ी संख्याएँ घटाने से साधारण फ़्लोटिंग-पॉइंट गणना की सटीकता खो सकती है। कैलकुलेटर पहले औसत और फिर वर्ग-विचलन निकालता है तथा 50 सार्थक अंकों की दशमलव गणना करता है।
  • कम-से-कम दो मान दें। एक मान पर नमूना प्रसरण में n − 1 शून्य होगा, इसलिए कैलकुलेटर कम-से-कम दो मान माँगता है। समान मानों पर मानक विचलन शून्य है, लेकिन विषमता और ककुदता अपरिभाषित हैं।
  • बाह्य मान अपने-आप न हटाएँ। सीमा से बाहर का मान प्रविष्टि-त्रुटि, कोई अलग परिस्थिति या वास्तविक दुर्लभ परिणाम हो सकता है। संदर्भ जाँचें और किए गए निर्णय को दर्ज करें।

औसत और मानक विचलन से किसी मान का z-स्कोर निकाला जा सकता है। उसे सामान्य-वितरण प्रतिशतक में बदलने के लिए सामान्य वितरण कैलकुलेटर लें, बशर्ते सामान्य वितरण डेटा के लिए उपयुक्त मॉडल हो।

हल किए गए उदाहरण

यात्रा-अवधियाँ (डिफ़ॉल्ट डेटा)

डेटा
12, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 22, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 38, 64
चतुर्थक विधि
रैखिक अंतर्वेशन (R-7, Excel QUARTILE.INC)
मानों की संख्या n
18
योग
480
माध्य
26.666667
माध्यिका
24.5
बहुलक
22 (occurs 2 times)
नमूना प्रसरण s²
136.588235
नमूना मानक विचलन s
11.687097
समष्टि प्रसरण σ²
129
औसत की मानक त्रुटि
2.754675
प्रथम चतुर्थक Q1
19.5
तृतीय चतुर्थक Q3
30.5
अंतरचतुर्थक विस्तार
11
बाह्य मान
64: outside the 1.5·IQR fences 3 and 47
विषमता (G1)
1.959304
अतिरिक्त ककुदता (G2)
5.600893
विचरण गुणांक
43.83%

जाँच का स्रोत: G1/G2 के लिए सटीक भिन्न (Excel SKEW/KURT सूत्र) तथा दशमलव वर्गमूल

NIST StRD NumAcc1

डेटा
10000001, 10000003, 10000002
चतुर्थक विधि
रैखिक अंतर्वेशन (R-7, Excel QUARTILE.INC)
माध्य
10,000,002
नमूना मानक विचलन s
1
माध्यिका
10,000,002
विषमता (G1)
0

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: NIST StRD NumAcc1 के प्रमाणित मान: औसत 10000002, मानक विचलन 1

NIST StRD NumAcc3 (10⁶ के पास 1001 मान)

डेटा
1000000.2 1000000.1 1000000.3 1000000.1 1000000.3 1000000.1 1000000.3 1000000…
चतुर्थक विधि
रैखिक अंतर्वेशन (R-7, Excel QUARTILE.INC)
मानों की संख्या n
1,001
माध्य
1,000,000.2
नमूना मानक विचलन s
0.1
माध्यिका
1,000,000.2
अतिरिक्त ककुदता (G2)
-2.003003

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: NIST StRD NumAcc3 के प्रमाणित मान: औसत 1000000.2, मानक विचलन 0.1

अपवर्जी चतुर्थक (R-6)

डेटा
7, 15, 36, 39, 40, 41
चतुर्थक विधि
अपवर्जी (R-6, Excel QUARTILE.EXC, Minitab)
प्रथम चतुर्थक Q1
13
तृतीय चतुर्थक Q3
40.25
माध्यिका
37.5
अंतरचतुर्थक विस्तार
27.25

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

सवाल

नमूना और समष्टि मानक विचलन में क्या अंतर है?

नमूना मानक विचलन में वर्ग-विचलनों के योग को n − 1 से भाग देते हैं (बेसेल का सुधार), जबकि समष्टि में n से। नमूना औसत से मापे गए वर्ग-विचलन औसतन कुछ छोटे होते हैं; n − 1 से भाग देना समष्टि प्रसरण के आकलन में इसका सुधार है। डिफ़ॉल्ट 18 मानों के लिए s ≈ 11.687 और σ ≈ 11.358 हैं; n बढ़ने पर अंतर घटता है। Excel के STDEV.S और STDEV.P भी यही भेद रखते हैं।

बाह्य मान कैसे पहचाने जाते हैं?

टुकी के नियम से Q1 − 1.5 × IQR से नीचे या Q3 + 1.5 × IQR से ऊपर का मान चिह्नित होता है। डिफ़ॉल्ट डेटा में Q1 = 19.5 और Q3 = 30.5 हैं, इसलिए IQR = 11, सीमाएँ 3 और 47 तथा बाह्य मान 64 है। 3 × IQR से आगे के मान अक्सर अत्यधिक बाह्य मान कहे जाते हैं। चिह्नित होना डेटा जाँचने का संकेत है, उसे मिटाने का कारण नहीं।

Excel, कैलकुलेटर और पुस्तकों में चतुर्थक अलग क्यों आते हैं?

हाइंडमैन और फ़ैन (1996) ने नौ प्रकाशित परिभाषाएँ बताईं। Excel QUARTILE.INC और R का डिफ़ॉल्ट स्थान (n − 1)p + 1 पर अंतर्वेशन करते हैं; QUARTILE.EXC और Minitab, (n + 1)p लेते हैं। कई पुस्तकें टुकी के हिंज, यानी दोनों आधों की मध्यिका, लेती हैं। 7, 15, 36, 39, 40, 41 के लिए इनसे Q1 और Q3 क्रमशः 20.25 व 39.75, 13 व 40.25, और 15 व 40 मिलते हैं।

विषमता और ककुदता का क्या अर्थ है?

विषमता असममिति मापती है: सममित डेटा में 0, और बड़े मानों की ओर लंबी पूँछ हो तो प्रायः धनात्मक। बुल्मर (1979) के मोटे व्यावहारिक नियम में |G1| < 0.5 लगभग सममित, 0.5 से 1 मध्यम विषम और 1 से अधिक बहुत विषम माना जाता है। अतिरिक्त ककुदता पूँछों के भार की तुलना सामान्य वितरण से करती है, जिसका मान 0 है। डिफ़ॉल्ट डेटा में G1 = 1.96 और G2 = 5.60 हैं; दोनों पर 64 मिनट की यात्रा का बड़ा प्रभाव है।

औसत के बजाय मध्यिका कब लें?

डेटा विषम हो या बाह्य मान हों तो मध्यिका अधिक उपयोगी हो सकती है, क्योंकि चरम मान औसत को खींचते हैं जबकि मध्यिका उनके परिमाण से कम प्रभावित होती है। डिफ़ॉल्ट में 64 मिनट की यात्रा औसत को 26.67 तक ले जाती है, लेकिन मध्यिका 24.5 है। उसे हटाकर गणना करें तो औसत 24.47 और मध्यिका 24 होंगे। इसी कारण आय और घरों की कीमतें अक्सर मध्यिका से बताई जाती हैं।

इस कैलकुलेटर के बारे में

xˉ=1n∑xi,s2=∑(xi−xˉ)2n−1,G1=n(n−1)(n−2)∑(xi−xˉs)3\bar x = \frac{1}{n}\sum x_i,\qquad s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar x)^2}{n-1},\qquad G_1 = \frac{n}{(n-1)(n-2)}\sum\left(\frac{x_i-\bar x}{s}\right)^3

स्रोत

  1. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.5 Quantitative techniques (location, scale, skewness and kurtosis)
  2. NIST Statistical Reference Datasets — univariate summary statistics (NumAcc1–4)
  3. Hyndman & Fan (1996), Sample quantiles in statistical packages, The American Statistician 50(4)
  4. Microsoft Excel SKEW and KURT functions

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 7 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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