Calculadora ANOVA de un factor: estadístico F, valor p, sumas y medias de cuadrados y η² para dos o más grupos, con la tabla ANOVA completa.
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Se rechaza H₀ con α = 0.05. Si todas las medias poblacionales de los grupos fueran iguales, un resultado al menos tan extremo aparecería con probabilidad 0.0032. El valor p no es la probabilidad de que H₀ sea verdadera, y un resultado significativo no indica por sí solo la magnitud ni la importancia del efecto. La pertenencia a un grupo explica el 61.5 % de la variación total (η²). ANOVA no indica qué grupos difieren; continúa con una comparación posterior, como HSD de Tukey.
| Fuente | SC | gl | CM | F | Valor p |
|---|---|---|---|---|---|
| Entre grupos | 27,8973 | 2 | 13,9487 | 9,5911 | 0,0032 |
| Dentro de los grupos | 17,452 | 12 | 1,4543 | — | — |
| Total | 45,3493 | 14 | — | — | — |
H₁: al menos una media poblacional difiere.
El valor crítico F con α = 0.05 es 3.8853.
El análisis de varianza de un factor, ANOVA, contrasta si dos o más grupos independientes comparten la misma media poblacional. Divide la variación total en una suma de cuadrados entre grupos y otra dentro de los grupos. Cada una se divide entre sus grados de libertad, k − 1 y N − k, para obtener los cuadrados medios; su cociente es el estadístico F. El valor p es el área de la distribución F más allá del F observado.
Se usa, por ejemplo, para comparar rendimientos de cultivos con tres fertilizantes, notas con distintos métodos docentes o tiempos de respuesta de versiones de un producto. Los datos iniciales, el ejemplo del manual NIST con tres grupos de cinco, dan F = 9,59 con 2 y 12 grados de libertad y p = 0,0032. Al nivel α = 0,05, las tres medias no son todas iguales.
La prueba supone observaciones independientes, datos aproximadamente normales en cada grupo y varianzas poblacionales iguales. Una F significativa indica que al menos una media difiere, pero no identifica cuál.
El ANOVA de un factor contrasta si las medias de varios grupos son iguales mediante F = CME ÷ CMD, el cuadrado medio entre grupos (CME) dividido entre el cuadrado medio dentro de los grupos (CMD). Con los valores iniciales de la calculadora, tres grupos de cinco con medias 5,34; 7,72 y 8,56 dan F = 9,59 con 2 y 12 grados de libertad y p = 0,0032: las medias no son todas iguales.
Los datos son el ejemplo del manual electrónico de NIST: 6,9; 5,4; 5,8; 4,6; 4,0 en el primer grupo, 8,3; 6,8; 7,8; 9,2; 6,5 en el segundo y 8,0; 10,5; 8,1; 6,9; 9,3 en el tercero. A mano:
Para el ejemplo, la tabla queda así:
Las dos sumas de cuadrados suman la variación total alrededor de la media general, y lo mismo ocurre con los grados de libertad. La fila del total no tiene cuadrado medio ni F, y la de dentro de los grupos no tiene una F propia.
Si las medias poblacionales son iguales, F tiende a quedar cerca de 1. Una F grande significa que las medias de los grupos están más separadas de lo que explicaría la dispersión dentro de cada grupo.
Cuánto tiene que valer para considerarse grande depende de los dos grados de libertad. Con 2 y 12, el valor crítico al 5 % es 3,885 y al 1 %, 6,927, así que F = 9,59 es significativa en ambos niveles.
Una misma F puede aportar evidencias distintas. F = 13,5 da p = 0,0020 con 2 y 9 grados de libertad, pero p = 0,0213 con 1 y 4.
El valor p indica si las medias difieren; η² = SCE ÷ SCT indica qué parte de la variación explica la pertenencia a un grupo. En el ejemplo, η² = 27,897 ÷ 45,349 = 0,615.
Cohen (1988) propuso 0,01; 0,06 y 0,14 como efectos pequeño, mediano y grande, así que 0,615 es un efecto muy grande. En muestras pequeñas, η² sobrestima el efecto poblacional, y ω² corrige ese sesgo.
La prueba F supone observaciones independientes, una distribución aproximadamente normal en cada grupo y varianzas poblacionales iguales. Tolera desviaciones moderadas de la normalidad cuando los grupos tienen tamaños parecidos.
La regla práctica de Moore y McCabe acepta varianzas iguales cuando la mayor desviación estándar de grupo es menos del doble de la menor. El ejemplo la cumple: sus desviaciones estándar son 1,117; 1,103 y 1,378.
Cuando la regla no se cumple, la alternativa habitual es el ANOVA de Welch, y la prueba de Kruskal–Wallis conviene para datos claramente no normales. Las mediciones repetidas sobre los mismos sujetos necesitan un modelo de medidas repetidas, no grupos independientes.
Una F significativa indica que al menos una media difiere, pero no cuál. Para eso se usa una prueba posterior (post hoc). La HSD de Tukey compara todos los pares manteniendo la tasa de error del conjunto de comparaciones en α, y Bonferroni contrasta cada uno de los m pares con α/m, que es 0,05/3 = 0,0167 para tres grupos.
Hacer pruebas t separadas al 0,05 para cada par eleva la probabilidad de al menos un falso positivo hasta cerca de 1 − 0,95³ = 14 % con tres comparaciones.
Con exactamente dos grupos, el ANOVA de un factor coincide con la prueba t de dos muestras con varianza combinada: F = t². Los grupos 1, 2, 3 y 4, 5, 6 dan t = −3,674 y F = 13,5, con el mismo valor p, 0,0213. La prueba t de Welch no supone varianzas iguales, así que su resultado puede ser distinto.
| Escenario | Estadístico F | Valor p |
|---|---|---|
| Predeterminado | 9,591107 | 0,003248 |
| Grupos desiguales | 13,500000 | 0,001953 |
| Medias iguales | 0,000000 | 1,000000 |
| Dos grupos | 13,500000 | 0,021312 |
«Predeterminado» es el ejemplo de NIST. «Grupos desiguales» son 23, 25, 21, 22; 28, 30, 27, 26, 29; y 24, 26, 25, con η² = 0,75. «Dos grupos» son 1, 2, 3 y 4, 5, 6.
«Medias iguales» son 1, 2, 3; 0, 2, 4; y −1, 2, 5. Las dispersiones difieren, pero todas las medias valen 2, así que SCE, F y η² son 0 y p = 1.
Para consultar la cola de la F con otros grados de libertad, usa la calculadora de distribuciones t, chi-cuadrado y F. Para dos grupos sin suponer varianzas iguales, usa la prueba de Welch de la calculadora de pruebas t y z.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: tabla ANOVA del manual NIST/SEMATECH §7.4.3.3 (sumas de cuadrados 27,897 / 17,452; F = 9,59)
Fuente de comprobación: A&S 26.6.4 con d₁ = 2 da p = (9/(9 + 2F))^4.5 = 4^−4.5 = 1/512
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: F = t² para dos grupos
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: todas las medias de grupo son 2, así que la suma de cuadrados entre grupos es 0 y F = 0
Es la probabilidad de un estadístico F al menos tan grande como el observado si todas las medias poblacionales fueran iguales. Para los datos iniciales, p = 0,0032: con medias iguales se obtendría F ≥ 9,59 en unas 3 muestras de cada 1000. No es la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera, y un valor p pequeño no indica la magnitud de las diferencias; η² mide el tamaño del efecto.
F es el cuadrado medio entre grupos dividido entre el cuadrado medio dentro de los grupos. Con medias poblacionales iguales, se esperan valores alrededor de 1; valores mayores aportan evidencia de diferencias. El umbral depende de los grados de libertad: con 2 y 12, el valor crítico al 5 % es 3,885. Por eso, F = 9,59 es significativo con α = 0,05 y F = 3 no lo sería.
Observaciones independientes, distribución aproximadamente normal en cada grupo y varianzas poblacionales iguales. La prueba F tolera desviaciones moderadas de la normalidad cuando los grupos tienen tamaños similares. La regla orientativa de Moore y McCabe considera razonable la igualdad de varianzas si la mayor desviación estándar de grupo es menor que el doble de la menor. Si no, puede usarse ANOVA de Welch; ante datos claramente no normales puede considerarse Kruskal–Wallis, teniendo en cuenta sus propios supuestos y que contrasta distribuciones.
Con una comparación posterior o post hoc. La diferencia honestamente significativa de Tukey, HSD, compara todos los pares manteniendo la tasa de error familiar en α. Bonferroni contrasta cada uno de los m pares con α/m: 0,05/3 ≈ 0,0167 para tres grupos. Hacer pruebas t separadas al 0,05 aumenta la probabilidad de al menos un falso positivo; si tres comparaciones fueran independientes, sería 1 − 0,95³ ≈ 14 %.
η² es la suma de cuadrados entre grupos dividida entre la suma total: la proporción de variación explicada por la pertenencia a un grupo. Cohen (1988) propuso 0,01, 0,06 y 0,14 como referencias para efectos pequeños, medianos y grandes. Los datos iniciales dan 27,897/45,349 = 0,615, un efecto muy grande según esas referencias. En muestras pequeñas, η² sobreestima el efecto poblacional; ω² corrige ese sesgo.
Esta calculadora incluye 4 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.