Calculadora de integrales definidas

Evaluar una integral con dos límites

Introduce la función f(x), el límite inferior a y el superior b. La salida principal es la integral definida con signo en ese intervalo. La estimación del error, el número de evaluaciones y los subintervalos describen el proceso numérico. Puedes usar expresiones como pi en los límites; las funciones trigonométricas trabajan en radianes. El ejemplo inicial integra exp(-x^2) de 0 a 1 y da aproximadamente 0.746824132812.

Una integral indefinida pide una primitiva, habitualmente F(x) + C. Este formulario requiere dos límites y devuelve un valor numérico definido. Las fórmulas de esta guía ofrecen primitivas de referencia, con la constante y las restricciones de dominio. Para contrastar una, elige un intervalo válido, calcula F(b) − F(a) y compara. La salida principal no presenta una fórmula simbólica general ni añade una constante arbitraria al número obtenido.

Primitivas y teorema fundamental

Si F′ = f en el intervalo y se cumplen las condiciones habituales de continuidad, el teorema fundamental del cálculo establece ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). La constante se cancela en esa resta. Para f(x) = 2x, una primitiva es x² y la integral entre 10 y 13 vale 169 − 100 = 69. Introduce 2*x, 10 y 13 para comprobar ese ejemplo.

La primitiva de x es x²/2 + C; la de 1 es x + C. Integrar cero da una constante C, mientras que su integral definida en cualquier intervalo finito vale cero. Para xⁿ se utiliza xⁿ⁺¹/(n+1) + C cuando n ≠ −1 y se respeta el dominio real. El caso 1/x requiere ln|x| + C en intervalos que no crucen cero. Una regla algebraica no elimina una singularidad del integrando.

Fórmulas comunes de integración

Estas expresiones incluyen la constante C y se aplican en intervalos donde la función y la primitiva real elegida están definidas. La presencia de un valor absoluto dentro del logaritmo no permite integrar atravesando un polo. Seno y coseno utilizan radianes. Conserva los nombres de función del analizador al introducir una fórmula, aunque los nombres matemáticos en el texto estén en español.

La regla de la cadena explica los factores de sin(2x), cos(2x) y cot(3x). Derivar −cos(2x)/2 devuelve sin(2x) porque el factor interior 2 cancela el denominador. La primitiva sin²x/2 + C de sin x cos x también puede escribirse −cos²x/2 + C ajustando la constante. Integrar por partes produce las fórmulas de x sin x, x cos x y x ln x.

El capítulo de fórmulas de integración de OpenStax relaciona las primitivas con el cambio neto acumulado. Dos respuestas algebraicamente equivalentes pueden tener aspectos diferentes. La comparación numérica de F(b) − F(a) permite detectar un signo o un factor perdido, aunque comprobar unos pocos intervalos no constituye por sí solo una demostración de identidad en todo el dominio.

Escribir explícitamente signos y potencias

x², x − 2 y 2x son funciones distintas. Se introducen como x^2, x-2 y 2*x. Sus primitivas son x³/3 + C, x²/2 − 2x + C y x² + C. Entre 0 y 1 sus integrales valen respectivamente 1/3, −3/2 y 1. Una transcripción abreviada como «x2» no basta para decidir cuál era el problema original.

Del mismo modo, e^(2x) integra a e^(2x)/2 + C, mientras que e^(−2x) integra a −e^(−2x)/2 + C. Escribe exp(2*x) o exp(-2*x). El signo procede de la función y no puede deducirse de una búsqueda incompleta. Antes de comparar respuestas, deja registrados tanto la expresión como sus dos límites; modificar cualquiera de ellos cambia la integral solicitada.

Integrales comprobadas y áreas con signo

Las regiones bajo el eje x contribuyen negativamente. Integrar x de −1 a 1 da cero porque las dos contribuciones se cancelan. Para el área geométrica de esas dos regiones, integrar abs(x) en el mismo intervalo da 1. El valor absoluto cambia el integrando y la pregunta. Los valores siguientes están redondeados; los límites escritos con pi se interpretan como expresiones numéricas compatibles.

Intercambiar los límites invierte el signo; límites iguales producen cero. La integral de sin x de 0 a π es 2, pero de 0 a 2π es cero porque las dos ondas se cancelan. Un intervalo finito no hace integrable cualquier función: 1/x a través de cero es singular. Un valor principal simétrico sería otra operación matemática y no una interpretación automática que deba asignarse a esta salida.

Método numérico y convergencia

Se utiliza cuadratura adaptativa de Gauss–Kronrod. El método estima la integral en subintervalos, compara reglas emparejadas y subdivide la región con mayor error estimado. La estimación aporta evidencia numérica útil, pero no una cota rigurosa para toda función. Oscilaciones rápidas, picos estrechos y discontinuidades requieren revisar cuidadosamente el intervalo. Una advertencia de convergencia exige comprobaciones adicionales y no se resuelve suponiendo correctas más cifras del resultado.

Los nodos de cuadratura están dentro de cada subintervalo. Esto permite tratar algunas singularidades integrables en extremos, como ln x en cero, o funciones cuya derivada es singular allí, como √x. No convierte una integral divergente en finita. Revisa el dominio, las advertencias y la gráfica sombreada. El dibujo proporciona contexto visual, pero su resolución no determina la precisión de la integral numérica.

Corregir y guardar un ejemplo

Utiliza x como única variable libre, punto decimal, nombres como sin, ln y exp, y paréntesis alrededor de los argumentos completos. Un valor interior indefinido, un límite inválido, una variable desconocida o una expresión mal formada produce un error de campo. Corrige la entrada o restablece el ejemplo inicial. Estos campos aceptan límites finitos; escribir infinito no solicita una transformación automática para integrar un intervalo no acotado.

Los enlaces guardados conservan la función y ambos límites para reproducir el problema. Si necesitas revisar una pendiente o comprobar la derivada de una primitiva propuesta en un punto, utiliza la calculadora de derivadas numéricas. Conserva suficiente precisión al comparar y evita redondear primero los valores de la primitiva cuando su resta pueda cancelar cifras significativas.