∫₀¹ e^(−x²) dx
- சார்பு f(x)
- exp(-x^2)
- கீழ் எல்லை a
- 0
- மேல் எல்லை b
- 1
- தொகையீடு
- 0.746824132812
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: (√π/2)·erf(1); மெக்லாரின் தொடரால் 70 இலக்கங்களில் மதிப்பிடப்பட்டது
வரையறுத்த தொகையீட்டுக் கணிப்பான்
இரு எல்லைகளுக்கு இடையிலான f(x) இன் வரையறுத்த தொகையீட்டைத் தகவமைவு காஸ்–க்ரோன்ரோட் முறையில் கணக்கிடவும். சுமார் 20 பொருளுள்ள இலக்கங்களை இலக்காகக் கொண்டது; பகுதியும் நிழலிடப்படும்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 7
தொகையீடு
தொகையீடு: 0.746824132812
- மதிப்பிடப்பட்ட பிழை
- 1.1 × 10⁻²¹
- சார்பு மதிப்பீடுகள்
- 45
- பயன்படுத்திய துணை இடைவெளிகள்
- 2
0 முதல் 1 வரை f(x) இன் குறியுள்ள தொகையீடு 0.7468241328. x அச்சுக்குக் கீழுள்ள பரப்பு எதிர்மமாகக் கணக்கிடப்படும். 2 துணை இடைவெளிகளில் 45 மதிப்பீடுகள் தேவைப்பட்டன.
0 முதல் 1 வரை f(x) இன் கீழுள்ள பரப்பு
துணை இடைவெளிகள்
| இலிருந்து | இதற்கு | பங்களிப்பு | பிழை மதிப்பீடு |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.5 | 0.4613 | 3.2 × 10⁻²² |
| 0.5 | 1 | 0.2855 | 8 × 10⁻²² |
கணக்கிடும் முறை S
ஒவ்வொரு துணையையும் [−1, 1] க்கு அளவாக்கு
உட்பொதிந்த காஸ் 7 புள்ளி விதியுடன் க்ரோன்ரோட் 15 புள்ளி விதி
7 காஸ் புள்ளிகள் 15 புள்ளி விதியில் மீண்டும் பயன்படுவதால் பிழை மதிப்பீட்டிற்குக் கூடுதல் சார்பு மதிப்பீடுகள் தேவையில்லை. ρ என்பது துணையில் ∫|f − சராசரி| (QUADPACK அளவாக்கம்). புள்ளிகளும் எடைகளும் 52 இலக்கங்களில் சேமிக்கப்பட்டுள்ளன.
தகவமைவு இருகூறாக்கம்
அதிகப் பிழை மதிப்பீடுள்ள துணை இடைவெளியை மீண்டும் பிரித்தது: 2 துணை இடைவெளிகள், f இன் 45 மதிப்பீடுகள். மொத்த மதிப்பிடப்பட்ட பிழை அனுமதிக்கப்பட்ட வரம்புக்குள் உள்ளது.
முடிவு
வரையறுத்த தொகையீட்டுக் கணிப்பான் பற்றி
வரையறுத்த தொகையீடு ∫ₐᵇ f(x) dx என்பது a முதல் b வரையிலான குறியுள்ள பரப்பு; x அச்சுக்குக் கீழேயுள்ள பரப்பு எதிர்மமாகக் கணக்கிடப்படும். இக்கருவி QUADPACK இன் QK15 முறையைப் பயன்படுத்துகிறது: 15 புள்ளி க்ரோன்ரோட் விதியால் ஒவ்வொரு துணை இடைவெளியிலும் 15 புள்ளிகளில் f ஐக் கணக்கிட்டு, உட்பொதிந்த 7 புள்ளி காஸ் மதிப்பீட்டுடன் ஒப்பிட்டுப் பிழையை மதிப்பிடுகிறது. அதிகப் பிழையுள்ள துணை இரண்டாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. மொத்த மதிப்பிடப்பட்ட பிழை விடையின் 10⁻²⁰ பங்கைவிடக் குறைவதே இலக்கு; அருகிலுள்ள பூச்சிய விடைகளுக்கு முழுப் பிழை வரம்பும் பயன்படுகிறது. பிழை மதிப்பீடு நிரூபிக்கப்பட்ட எல்லையல்ல.
எளிய எதிர்வகைக்கெழு இல்லாத e^(−x²) போன்ற சார்புகளுக்கும் கைக்கணக்கைச் சரிபார்க்கவும் ஏற்றது. இயல்புநிலை ∫₀¹ e^(−x²) dx = (√π/2)·erf(1) ≈ 0.7468241328; இக்கணக்கில் 2 துணை இடைவெளிகளில் f இன் 45 மதிப்பீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
முக்கோணவியல் கோணங்கள் ரேடியனில்; எல்லைகளில் pi/2 போன்ற கோவைகளும் ஏற்கப்படும். காஸ்–க்ரோன்ரோட் புள்ளிகள் முனைகளைத் தொடாததால் 0 அருகிலுள்ள √x அல்லது ln x போன்ற தொகையிடத்தக்க முனை நடத்தைகளை கையாளலாம். எல்லைகளை மாற்றினால் விடையின் குறி மாறும்.
வரையறுத்த தொகையீட்டைக் கணக்கிடுவது
f(x) சார்பு, கீழ் எல்லை a, மேல் எல்லை b ஆகியவற்றை உள்ளிடவும். விடை ∫ₐᵇ f(x) dx; இது x அச்சுக்கு மேலுள்ள பரப்பிலிருந்து கீழுள்ள பரப்பைக் கழித்த மதிப்பு. எதிர்வகைக்கெழு F தெரிந்தால் F(b)−F(a) மூலம் சரிபார்க்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக f(x)=2x, a=10, b=13 எனில் 13²−10²=69.
இது ஒரு வரையறுத்த தொகையீட்டின் எண் மதிப்பைக் கணக்கிடும் கருவி; F(x)+C போன்ற பொதுவான எதிர்வகைக்கெழுச் சூத்திரத்தை உருவாக்காது. நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் தொடர்ச்சியான சார்புகளுக்கான F(b)−F(a) தொடர்பை விளக்குகிறது.
குறியுள்ள பரப்பைச் சரிபார்க்கும் எடுத்துக்காட்டுகள்
விடைகள் தேவையான இடங்களில் 12 தசம இடங்களுக்கு வட்டமிடப்பட்டுள்ளன. முக்கோணவியல் கோணங்கள் ரேடியனில் உள்ளன.
| சார்பு f(x) | a | b | தொகையீடு |
|---|---|---|---|
| 2*x | 10 | 13 | 69 |
| x^2 | 0 | 1 | 0.333333333333 |
| x^2 | 1 | 0 | -0.333333333333 |
| x | -1 | 1 | 0 |
| abs(x) | -1 | 1 | 1 |
| sin(x) | 0 | pi | 2 |
| 1/x | 1 | 2 | 0.693147180560 |
| sqrt(x) | 0 | 1 | 0.666666666667 |
| ln(x) | 0 | 1 | -1 |
| exp(-x^2) | 0 | 1 | 0.746824132812 |
| x^2 | 2 | 2 | 0 |
எல்லைகளை மாற்றினால் குறி மாறும்; சமமான எல்லைகளுக்கு இக்கருவி 0 தரும். சமமான எல்லைகள் என்பதனால் அப்புள்ளியில் சார்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று பொருளல்ல. x ஐ −1 முதல் 1 வரை தொகையிடும்போது இரு முக்கோணப் பரப்புகளும் ஒன்றையொன்று ஈடுசெய்கின்றன; முழுப் பரப்புக்கு abs(x) பயன்படுத்துவதால் 1 கிடைக்கிறது.
காஸ்–க்ரோன்ரோட் எண்முறை
ஒவ்வொரு துணை இடைவெளியிலும் 15 புள்ளி க்ரோன்ரோட் விதி பயன்படுத்தப்படுகிறது. உட்பொதிந்த 7 புள்ளி காஸ் விதி அதே மாதிரிகளில் சிலவற்றைப் பயன்படுத்துவதால் இரு மதிப்பீடுகளையும் கூடுதல் மாதிரியின்றி ஒப்பிடலாம். QUADPACK QK15 மூல நிரல் இந்த எடைகளையும் புள்ளிகளையும் பிழை அளவாக்கத்தையும் பதிவு செய்கிறது.
இக்கருவி அதிகப் பிழையுள்ள துணையை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது. மொத்த மதிப்பிடப்பட்ட பிழை max(10⁻⁴⁰, 10⁻²⁰ × |விடை|) வரம்பை அடையும் வரை தொடர முயல்கிறது. துணை எண்ணிக்கை அல்லது குறைந்த அகல வரம்பை அடைந்தால் எச்சரிக்கையுடன் நிற்கும். அட்டவணையில் துணை எல்லைகள், அவற்றின் பங்களிப்புகள், பிழை மதிப்பீடுகள் காட்டப்படும்.
இது சுமார் 20 பொருளுள்ள இலக்கங்களை இலக்காகக் கொள்கிறது; பிழை மதிப்பீடு உறுதியான மேல்வரம்பல்ல. மிகக் குறுகிய உச்சங்கள் அல்லது கடுமையாக அலைவுறும் சார்புகளை மாதிரிகள் தவறவிடலாம். முக்கியமான விடையை எதிர்வகைக்கெழு, வேறு முறை அல்லது இடைவெளியைப் பிரித்துக் கணக்கிடுதல் மூலம் சரிபார்க்கவும்.
முனைகள், ஒருமைகள் மற்றும் உள்ளீடு
எல்லைகள் முடிவுறு எண்களாக அல்லது pi/2 போன்ற கோவைகளாக இருக்கலாம்; முடிவிலி எல்லைகள் ஏற்கப்படாது. x மட்டுமே மாறி. x^2, x-2, 2*x ஆகியவை வேறு சார்புகள். exp(-2*x) இன் கழித்தல் குறியை விட வேண்டாம்.
கணக்கீட்டுப் புள்ளிகள் முனைகளைத் தொடாததால் ln x ஐ 0 முதல் 1 வரை தொகையிடலாம்; அதன் மதிப்பு −1. ஆனால் ஒவ்வொரு முனை ஒருமையும் தொகையிடத்தக்கது அல்ல. 1/x ஐ 0 முதல் 1 வரை தொகையிடுவது விரிவடையும்; நெருக்க எச்சரிக்கை வந்தால் காட்டப்பட்ட எண்ணை முடிவுறு தொகையீடாக ஏற்க வேண்டாம். 1/x ஐ −1 முதல் 1 வரை தொகையிடுவது சாதாரண வரையறையில் இல்லை; முதன்மை மதிப்பு என்ற வேறு கருத்துடன் குழப்ப வேண்டாம்.
வரைபட நிழல் ஓர் உதவிக் காட்சி; அதன் பிக்சல்களிலிருந்து தொகையீடு கணக்கிடப்படுவதில்லை. எதிர்வகைக்கெழுவைச் சரிபார்க்க வகைக்கெழுக் கருவியில் பல புள்ளிகளைச் சோதிக்கலாம்.
தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்
∫₀^π sin x dx
- சார்பு f(x)
- sin(x)
- கீழ் எல்லை a
- 0
- மேல் எல்லை b
- pi
- தொகையீடு
- 2
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: −cos π + cos 0 = 2 (எதிர்வகைக்கெழு)
∫₁² 1/x dx
- சார்பு f(x)
- 1/x
- கீழ் எல்லை a
- 1
- மேல் எல்லை b
- 2
- தொகையீடு
- 0.69314718056
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: ln 2, அதாவது 2 இன் இயல் மடக்கை
∫₀³ x⁵eˣ dx
- சார்பு f(x)
- x^5 * exp(x)
- கீழ் எல்லை a
- 0
- மேல் எல்லை b
- 3
- தொகையீடு
- 1,686.671880008638
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டுச் சரிபார்ப்பு: எதிர்வகைக்கெழு eˣ(x⁵ − 5x⁴ + 20x³ − 60x² + 120x − 120) இன் எல்லை மதிப்புகள்
கேள்விகள்
வரையறுத்த தொகையீடு எதைக் குறிக்கிறது?
ஒரு இடைவெளியில் வளைவுக்கும் x அச்சுக்கும் இடையிலான குறியுள்ள பரப்பு: மேலே நேர்மம், கீழே எதிர்மம். ∫₀^π sin x dx = 2; ஒரு வளைவுப் பகுதியின் பரப்பு 2. ∫₀^2π sin x dx = 0; இரண்டாம் பகுதியின் எதிர்மப் பரப்பு முதலாவதை ஈடுசெய்கிறது. காலத்தின் மீது வேகத்தின் பருமனைத் தொகையிட்டால் பயணித்த தொலைவு கிடைக்கும்.
வரையறுத்த தொகையீட்டைக் கையால் எவ்வாறு காண்பது?
F′ = f எனும் எதிர்வகைக்கெழு F ஐக் கண்டறிந்து ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) எனக் கழிக்கவும். இது நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம். ∫₁² 1/x dx க்கு F(x) = ln x; விடை ln 2 − ln 1 ≈ 0.693147. e^(−x²) போன்று தொடக்கநிலைச் சார்புகளால் எதிர்வகைக்கெழுவை எழுத முடியாதபோது எண்முறை உதவும்.
காஸ்–க்ரோன்ரோட் தொகையீட்டு முறை என்றால் என்ன?
தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் f இன் எடையிட்ட கூட்டுத்தொகையால் தொகையீடு மதிப்பிடப்படுகிறது. 7 புள்ளி காஸ் விதி படி 13 வரையிலான பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு கணிதரீதியாகச் சரியானது. க்ரோன்ரோட் நீட்டிப்பு மேலும் 8 புள்ளிகளைச் சேர்த்து முதல் 7 ஐ மீண்டும் பயன்படுத்துகிறது. இரு மதிப்பீடுகளின் வேறுபாட்டால் கூடுதல் சார்பு மதிப்பீடின்றிப் பிழையை மதிப்பிடலாம். இது எல்லாச் சார்புகளுக்கும் உறுதியான பிழை எல்லையல்ல. இங்குள்ள QUADPACK QK15 உடன் அதிகப் பிழையுள்ள துணை மீண்டும் பிரிக்கப்படுகிறது.
e^(−x²) இன் தொகையீடு என்ன?
தொடக்கநிலைச் சார்புகளால் அதன் எதிர்வகைக்கெழுவை எழுத முடியாது. பிழைச் சார்பைப் பயன்படுத்தி ∫₀ˣ e^(−t²) dt = (√π/2) erf(x) என எழுதலாம். 0 முதல் 1 வரை சுமார் 0.7468241328; முழு மெய்யெண் கோட்டில் √π ≈ 1.7724539. இந்த காஸியன் தொகையீடு இயல்நிலைப் பரவலின் மொத்த நிகழ்தகவை 1 ஆக்க உதவுகிறது.
வரையறுத்த தொகையீடு எதிர்மமாக இருக்க முடியுமா?
ஆம். அச்சுக்குக் கீழுள்ள பரப்பு அதிகமாக இருந்தாலோ எல்லைகள் தலைகீழாக இருந்தாலோ எதிர்மமாகும். ∫₁² (−x) dx = −1.5; x² ஐ 1 முதல் 0 வரை தொகையிட்டால் −1/3, இது ∫₀¹ x² dx = 1/3 இன் எதிர்மம். குறியைக் கணக்கிடாமல் முழுப் பரப்பைக் காண தனிமதிப்பைத் தொகையிடவும்: ∫₀^2π |sin x| dx = 4; உள்ளீடு abs(sin(x)).
இந்தக் கணிப்பான் பற்றி
ஆதாரங்கள்
ஆதாரங்களுடன் சரிபார்க்கப்பட்டது
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 7 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.