கூட்டுத் தொடர், பெருக்குத் தொடரின் n-ஆவது உறுப்பு, முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை, முடிவிலிக் கூட்டுத்தொகை மற்றும் துல்லியமான Fibonacci எண்களை அட்டவணையுடன் காணுங்கள்.
எழுதியவர்: Adminசெயற்கை நுண்ணறிவு எழுத்துக் கருவிகளால் வரைவு உருவாக்கப்பட்டதுபுதுப்பிக்கப்பட்டது சரிபார்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்: 7
3-இல் தொடங்கி ஒவ்வொரு முறையும் 4-ஐக் கூட்டினால் 10-ஆவது உறுப்பு 39; முதல் 10 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 210.
| k | உறுப்பு aₖ | தொடர் கூட்டுத்தொகை Sₖ |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 7 | 10 |
| 3 | 11 | 21 |
| 4 | 15 | 36 |
| 5 | 19 | 55 |
| 6 | 23 | 78 |
| 7 | 27 | 105 |
| 8 | 31 | 136 |
| 9 | 35 | 171 |
| 10 | 39 | 210 |
முதல், கடைசி உறுப்புகளை ஜோடி சேர்க்கவும்; ஒவ்வொரு ஜோடியின் கூட்டுத்தொகையும் ஒன்றே.
பூச்சியமற்ற உறுப்பு அல்லது வித்தியாசம் கொண்ட கூட்டுத் தொடருக்கு முடிவிலியில் முடிவுறு கூட்டுத்தொகை இல்லை.
கூட்டுத் தொடரில் ஒவ்வொரு படியிலும் மாறாத வித்தியாசம் d கூட்டப்படுகிறது: aₙ = a₁ + (n − 1)d; முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. பெருக்குத் தொடரில் மாறாத விகிதம் r-ஆல் பெருக்கப்படுகிறது: aₙ = a₁rⁿ⁻¹; Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). |r| < 1 எனில் முடிவிலிக் கூட்டுத்தொகை a₁/(1 − r). Fibonacci எண்கள் F₀ = 0, F₁ = 1 எனத் தொடங்கி முந்தைய இரண்டைக் கூட்டுகின்றன; ஒவ்வோர் இலக்கமும் துல்லியமாகக் கணக்கிடப்படுகிறது.
நிலையான தொகையாக அதிகரிக்கும் சேமிப்பு, கூட்டு வளர்ச்சி, தேர்வுக் கணக்குகள் ஆகியவற்றில் இவை பயன்படும். தொடக்கத் தொடரான 3, 7, 11, …-இல் 10-ஆவது உறுப்பு 39; அந்த 10 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 210. பாதியாகும் தொடர் 1 + 1/2 + 1/4 + …-இல் 10 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 1.998046875; அது 2-ஐ அணுகும்.
எல்லா உறுப்புகளும் 0 ஆக இருந்தாலன்றி |r| ≥ 1 கொண்ட பெருக்குத் தொடருக்கு முடிவிலியில் முடிவுறு கூட்டுத்தொகை இல்லை. கூட்டுத் தொடரின் எல்லா உறுப்புகளும் 0 ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே முடிவிலிக் கூட்டுத்தொகை முடிவுறும். Fibonacci கூட்டுத்தொகை F₁ + … + Fₙ = Fₙ₊₂ − 1.
கூட்டுத் தொடரில் ஒவ்வொரு முறையும் பொதுவித்தியாசம் d கூட்டப்படும். பெருக்குத் தொடரில் பொதுவிகிதம் r-ஆல் பெருக்கப்படும். Fibonacci தொடரில் முந்தைய இரண்டு உறுப்புகள் கூட்டப்படும். முதல் இரண்டு முறைகளில் எண்ணிக்கை a₁-இலிருந்து; Fibonacci-இல் F₀ = 0, F₁ = 1.
முதல் உறுப்பு, வித்தியாசம் அல்லது விகிதம், தேவையான இடம் n ஆகியவற்றை உள்ளிடவும். தமிழ் இலக்கங்களில் முதல் உறுப்பு ௩, வித்தியாசம் ௪, இடம் ௧௦ கொடுத்தால் உறுப்பு 39, கூட்டுத்தொகை 210. n என்பது முழு எண்; கூட்டுத் தொடர், பெருக்குத் தொடருக்கு குறைந்தது 1; Fibonacci-க்கு 0 அனுமதிக்கப்படுகிறது.
| வகை | முதல் உறுப்பு | வித்தியாசம் அல்லது விகிதம் | n | n-ஆவது உறுப்பு | முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை |
|---|---|---|---|---|---|
| கூட்டுத் தொடர் | 3 | d = 4 | 10 | 39 | 210 |
| கூட்டுத் தொடர் | 100 | d = −7.5 | 20 | −42.5 | 575 |
| பெருக்குத் தொடர் | 2 | r = 3 | 6 | 486 | 728 |
| பெருக்குத் தொடர் | 1 | r = 0.5 | 10 | 0.001953125 | 1.998046875 |
| பெருக்குத் தொடர் | 5 | r = 1 | 4 | 5 | 20 |
| Fibonacci | F₀ = 0, F₁ = 1 | முந்தைய இரண்டைக் கூட்டுதல் | 10 | 55 | 143 |
aₙ = a₁ + (n − 1)d. 3, 7, 11, …-இல் d = 4; பத்தாம் உறுப்பு 3 + 9 × 4 = 39. கூட்டுத்தொகை Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. முதல், கடைசி உறுப்புகளின் சராசரி 21; பத்து உறுப்புகளுக்கு 210. d எதிர்மமாகவோ பூச்சியமாகவோ இருக்கலாம். OpenStax கூட்டுத் தொடர் விளக்கம் இந்த நிலையான வித்தியாசத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.
aₙ = a₁rⁿ⁻¹. r ≠ 1 எனில் Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). r = 1 எனில் பூச்சியத்தால் வகுக்காமல் Sₙ = n·a₁ பயன்படுத்தப்படும். எதிர்ம r-இல் உறுப்புகளின் குறிகள் மாறிமாறி வரலாம்; r = 0-இல் முதல் உறுப்புக்குப் பின் அனைத்தும் பூச்சியம்.
பூச்சியமற்ற முதல் உறுப்பிற்கு |r| < 1 எனில் மட்டுமே முடிவிலிக் கூட்டுத்தொகை a₁/(1 − r) உண்டு. a₁ = 1, r = 0.5-க்கு அது 2; பத்து உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை இன்னும் 1.998046875 மட்டுமே. முடிவுறு கூட்டுத்தொகையையும் முடிவிலிக் கூட்டுத்தொகையையும் குழப்ப வேண்டாம். r = −1-இல் கூட்டுத்தொகை ஊசலாடும்; r = 1-இல் பூச்சியமற்ற நிலைத் தொடரும் ஒருங்காது. எல்லா உறுப்புகளும் பூச்சியமெனில் எந்த விகிதத்திற்கும் கூட்டுத்தொகை 0.
OEIS A000045 போல F₀ = 0, F₁ = 1 என எண்ணப்படுகிறது. F₁₀ = 55; F₁ முதல் F₁₀ வரை கூட்டுத்தொகை 143 = F₁₂ − 1. n = 0 எனில் வெற்றுக் கூட்டுத்தொகை 0. நீண்ட எண்ணிற்கு முதன்மைக் காட்சி முழுமைப்படுத்தப்படலாம்; எல்லா இலக்கங்களுக்கான தனிப் புலத்தைப் பார்க்கவும். F₁₀₀ = 354224848179261915075; 21 இலக்கங்கள்.
Fibonacci-க்கு அதிகபட்சம் n = 10000; மற்ற இரண்டிற்கும் 1000000. அட்டவணை முதல் 50 உறுப்புகளை மட்டுமே காட்டும்; Fibonacci-இல் F₀ முதல் F₅₀ வரை காட்டலாம். நீண்ட தொடர்களின் வரைபடம் மாதிரிப் புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தும்; அதில் ஒவ்வோர் உறுப்பும் தனியாகக் காட்டப்படாது. இவை நிர்ணயிக்கப்பட்ட தொடர்கள்; விருப்ப எண் பட்டியலிலிருந்து அடுத்த உறுப்பைக் கணிக்கும் கருவி அல்ல. வளர்ச்சி அடுக்குகளுக்கு அடுக்குகள் மற்றும் மூலங்கள் உதவும்.
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: பைதான் 3.8-இல் 3 + 4k என்பதை 10 உறுப்புகளுக்குக் கூட்டினால் 210; கடைசி உறுப்பு 39
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: பைதான் 3.8-இல் 20 உறுப்புகளுக்கான தசமக் கணக்கீடு
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: பைதான் 3.8-இல் 2·3⁵ = 486; Σ 2·3^k (k < 6) = 728
சரிபார்ப்பின் மூலம்: எடுத்துக்காட்டு சரிபார்ப்பு: துல்லியப் பின்னங்களால் k < 10-க்கு Σ (1/2)^k = 1023/512; முடிவிலிக் கூட்டுத்தொகை 1/(1 − 1/2) = 2
aₙ = a₁ + (n − 1)d பயன்படுத்தவும்: முதல் உறுப்புடன் பொதுவித்தியாசத்தை n − 1 முறை கூட்டவும். 3, 7, 11, …-க்கு வித்தியாசம் 4; 10-ஆவது உறுப்பு 3 + 9 × 4 = 39; 50-ஆவது உறுப்பு 3 + 49 × 4 = 199. இரு உறுப்புகளிலிருந்து d காண, அவற்றின் வித்தியாசத்தை இடங்களின் இடைவெளியால் வகுக்கவும்: (39 − 3)/(10 − 1) = 4.
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2; உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை முதல், கடைசி உறுப்புகளின் சராசரியால் பெருக்கவும். 10 உறுப்புகள் கொண்ட 3 + 7 + … + 39-க்கு S = 10 × (3 + 39)/2 = 210. இளமையில் Gauss இந்த ஜோடி முறையால் 1 முதல் 100 வரை 101 கொண்ட 50 ஜோடிகளாக்கி 5,050 கண்டதாக அடிக்கடி கூறப்படுகிறது.
r ≠ 1 எனில் n உறுப்புகளுக்கு Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). 6 உறுப்புகள் கொண்ட 2 + 6 + 18 + …-க்கு S = 2 × (1 − 3⁶)/(1 − 3) = 2 × (−728)/(−2) = 728. r = 1 எனில் ஒவ்வோர் உறுப்பும் a₁; Sₙ = n × a₁. எனவே 5 + 5 + 5 + 5 = 20.
முதல் உறுப்பு பூச்சியமற்றது எனில் பொதுவிகிதம் கண்டிப்பாக −1, 1 இவற்றுக்கு இடையில் இருக்க வேண்டும். எல்லா உறுப்புகளும் பூச்சியம் எனில் எந்த விகிதத்திற்கும் கூட்டுத்தொகை 0. |r| < 1-இல் rⁿ என்பது 0-ஐ அணுகும்; கூட்டுத்தொகை a₁/(1 − r)-ஐ அணுகும்: 1 + 1/2 + 1/4 + … = 1/(1 − 1/2) = 2. மேலும் 0.9 + 0.09 + 0.009 + … = 0.9/(1 − 0.1) = 1; எனவே 0.999… = 1. |r| ≥ 1-இல் உறுப்புகள் சுருங்காது; தொடர் எல்லையின்றி வளரும் அல்லது ஊசலாடும்.
OEIS A000045 போல F₀ = 0, F₁ = 1 என எண்ணினால் F₁₀₀ = 354,224,848,179,261,915,075; இது 21 இலக்க எண். அடுத்தடுத்த Fibonacci எண்களின் விகிதம் பொன் விகிதம் φ ≈ 1.618034-ஐ அணுகும். எனவே Fₙ என்பது φⁿ/√5-க்கு அருகில் இருக்கும்; ஒவ்வோர் உறுப்பிலும் இலக்க எண்ணிக்கை சுமார் 0.209 அதிகரிக்கும்.
இந்தக் கணிப்பானில் சுயாதீன ஆதாரங்களிலிருந்து பதில்கள் பெறப்பட்ட 7 தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. இவை சோதனைத் தொகுப்பில் இயங்குகின்றன; இங்கேயும் அவற்றை இயக்கலாம்.