Calculadora de sucesiones aritméticas, geométricas y de Fibonacci

Obtener un término y la suma de una sucesión

Selecciona una sucesión aritmética, geométrica o de Fibonacci. Para una aritmética necesitas el primer término a₁, la diferencia d y la posición n. Para una geométrica necesitas a₁, la razón r y n. Fibonacci utiliza únicamente la posición. El resultado principal es el término solicitado; la suma acumula los términos hasta esa posición. Una sucesión es una lista ordenada, mientras que una serie es la suma de los términos de una sucesión.

El ejemplo inicial es 3, 7, 11, 15, …. La diferencia es 4; el décimo término es 39 y los diez primeros suman 210. El número de término representa una posición. Introducir n = 10 no pregunta en qué lugar aparece el valor 10. La tabla y la gráfica se generan a partir de la familia y los parámetros que indiques: no intentan descubrir una regla única a partir de una lista arbitraria de números.

Sucesiones aritméticas: sumar una diferencia fija

Una sucesión es aritmética cuando el incremento entre términos consecutivos es constante. En el ejemplo, 7 − 3 = 4 y 11 − 7 = 4. Su término general es aₙ = a₁ + (n − 1)d. Se utiliza n − 1 porque el primer término ya ocupa la posición 1. Para llegar al décimo se hacen nueve incrementos, no diez. Este detalle evita uno de los errores de indexación más habituales.

La suma es Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Puede entenderse emparejando el primero y el último, el segundo y el penúltimo, y así sucesivamente: todos los pares tienen la misma suma. La media del primer y último término coincide con la media de toda la lista aritmética. Multiplicarla por n da el total. Comprueba estas dos salidas por separado para no confundir el último término con la suma acumulada.

Una diferencia negativa produce una sucesión decreciente que puede cruzar el cero. En la cuarta fila, el último término es negativo, pero el total es positivo porque los primeros términos positivos pesan más que los negativos posteriores. Con diferencia cero se repite el primer término. En esta modalidad, n debe ser un entero de al menos 1: la posición cero no se interpreta como un término adicional de la sucesión.

Sucesiones geométricas: multiplicar por una razón

En una sucesión geométrica, aₙ = a₁rⁿ⁻¹. Divide un término entre el anterior, cuando este no sea cero, para comprobar la razón. Si dos términos consecutivos son 6 y 54, entonces r = 54/6 = 9. Con a₁ = 6 y n = 2, el segundo término es 54 y la suma es 60. Si entre esos valores faltaban posiciones, esa división no bastaría para identificar la razón de cada paso.

Para r ≠ 1, la suma finita es Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Cuando r = 1, todos los términos son iguales a a₁ y la suma es n·a₁. Una razón negativa alterna los signos; una razón cero conserva el primer término y hace cero los siguientes. Puedes expresar la razón mediante un decimal o una fracción como 1/2. La tabla utiliza el punto como separador decimal.

Cuándo existe una suma infinita finita

Con primer término distinto de cero, una serie geométrica converge exactamente cuando |r| < 1. Entonces S∞ = a₁/(1 − r). La serie 1 + 1/2 + 1/4 + … tiene suma infinita 2, mientras que sus diez primeros términos suman 1.998046875. Una suma parcial y su límite responden a preguntas distintas, aunque al redondear puedan parecer iguales. El símbolo de infinito no indica que se hayan añadido físicamente infinitos términos en una tabla.

Las razones 1 y −1 no producen convergencia si el primer término no es cero: las sumas parciales crecen o alternan. Cuando a₁ = 0, todos los términos geométricos son cero y la suma es cero para cualquier razón. En el caso aritmético, solo la sucesión con primer término y diferencia ambos cero tiene una serie infinita convergente. La ausencia de una suma infinita no invalida los resultados de término y suma finita.

Fibonacci y la posición inicial

La convención es F₀ = 0, F₁ = 1, y cada término posterior suma los dos anteriores. La lista comienza 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. A diferencia de las otras modalidades, Fibonacci admite la posición cero. Con n = 10, la respuesta es 55. La suma corresponde a F₁ hasta Fₙ y puede verificarse con Fₙ₊₂ − 1. Añadir F₀ no alteraría ese total porque vale cero.

El límite de Fibonacci es n = 10000. Los números grandes pueden aparecer en notación científica en el resultado principal. La salida con todas las cifras conserva el entero completo cuando su longitud requiere esa vista adicional. El contador de cifras considera que el cero tiene una cifra. La tabla muestra como máximo las primeras cincuenta posiciones: su última fila visible no tiene por qué coincidir con el término que has pedido.

Elegir una regla e interpretar números grandes

Comprueba varias diferencias consecutivas antes de elegir una sucesión aritmética, o varios cocientes antes de elegir una geométrica. Una coincidencia aislada no identifica una familia. Muchas reglas distintas comparten los primeros términos de una lista finita; esta herramienta necesita que tú especifiques el modelo. Si la lista no sigue ninguna de las tres familias admitidas, sus valores iniciales no bastan para justificar una respuesta con este formulario.

Las posiciones aritméticas y geométricas llegan hasta 1000000. Los límites de recursos pueden hacer que un resultado geométrico use decimales de alta precisión en lugar de una fracción exacta. Una gráfica puede omitir valores que exceden su escala sin alterar la salida numérica. Para cálculos individuales consulta la calculadora de potencias y raíces o la calculadora de razones. Las fórmulas se desarrollan en los capítulos de sucesiones aritméticas y geométricas de OpenStax; la indexación de Fibonacci sigue OEIS A000045.