Calculadora de logaritmos

Calcular un logaritmo indicando su base

Un logaritmo responde a una pregunta sobre exponentes: log₂ 1024 = 10 porque 2¹⁰ = 1024. Selecciona el modo de logaritmo, escribe la base y el número, y lee el resultado principal. El ejemplo inicial utiliza base 2. Para un logaritmo decimal introduce base 10; para un logaritmo natural escribe e o pulsa el ajuste correspondiente. Identificar la base es el primer paso para reproducir un resultado.

La notación cambia según el contexto. Log₁₀ 10 vale 1; ln 10 vale aproximadamente 2.302585092994; log₂ 10 vale aproximadamente 3.321928094887. Una indicación que solo diga «log 10» puede estar usando una convención que debes averiguar. En muchos ejercicios escolares, log significa base diez; en algunos textos y lenguajes de programación puede significar logaritmo natural. Los campos separados de esta calculadora permiten especificar la interpretación sin adivinarla.

El número debe ser positivo y la base debe ser positiva y distinta de uno. Cuando se verifica un exponente racional, aparece además su valor exacto. Con base 4 y número 8, el resultado es 1.5 y el valor exacto es 3/2, pues 4^(3/2) = (√4)³ = 8. Una aproximación decimal larga, por sí sola, no demuestra que el resultado sea irracional: la comprobación de exactitud es una operación adicional.

Las salidas secundarias de logaritmo natural y de logaritmo decimal siempre se refieren al número introducido. No cambian la base del resultado principal. Sirven para revisar un cambio de base o para comparar convenciones. Al modificar una entrada se actualizan los pasos y resultados; el restablecimiento devuelve el ejemplo log₂ 1024. Si comparas dos capturas, comprueba que ambas usaban la misma base.

Resolver una ecuación exponencial

Selecciona Resolver bˣ = y para encontrar el exponente desconocido. Introduce la base b y el valor y del otro miembro. Por ejemplo, para 3ˣ = 20 se obtiene x = ln 20 / ln 3 ≈ 2.726833027861. No se divide entre 3, sino entre su logaritmo natural. Sustituir el exponente en 3ˣ permite comprobar que se recupera aproximadamente 20.

Este modo resuelve la forma concreta bˣ = y. No reorganiza cualquier ecuación escrita con letras ni expande automáticamente expresiones simbólicas. Para evaluar otra expresión numérica puedes utilizar la calculadora científica; para observar una función, la calculadora gráfica. Conserva la precisión de los resultados intermedios cuando el exponente continúe en otro cálculo.

Tabla de logaritmos decimales y naturales del 1 al 10

La tabla presenta valores calculados independientemente y redondeados a doce decimales, sin ceros finales innecesarios. Se usa el punto decimal para facilitar su comparación con las entradas. Elige base 10 para reproducir la segunda columna y base e para la tercera. La aproximación de una tabla es suficiente para comprobar el orden de magnitud, pero no sustituye a la precisión completa en un cálculo encadenado.

Para cualquier base admitida, log_b 1 = 0, porque b⁰ = 1. Si el número coincide con la base, el logaritmo vale uno. Así, log₂ 2 y log₁₀ 10 son ambos 1, aunque log₁₀ 2 sea aproximadamente 0.30103. «Logaritmo de dos» y «logaritmo en base dos» no designan la misma elección de entradas: una frase indica un argumento y la otra una base.

Con potencias de diez mayores, log₁₀ 100 = 2 y log₁₀ 1000000 = 6. Puedes introducir los enteros sin separadores de millares para evitar ambigüedades. Para la constante e, ln e = 1, pero log₁₀ e ≈ 0.434294481903 y log₂ e ≈ 1.442695040889. El argumento sigue siendo el mismo número; cambia la escala de exponentes con la que lo expresas.

Aplicar la fórmula de cambio de base

La relación log_b x = ln x / ln b permite usar una sola función logarítmica para obtener otras bases. También puede usarse log₁₀ en el numerador y en el denominador. Debes conservar la misma base en ambos. La relación general se recoge en la ecuación 4.2.8 del NIST; esta página trabaja con el dominio real positivo indicado en sus campos.

Para base 4 y argumento 8, ln 8 / ln 4 = 1.5. La comprobación inversa es elevar 4 a 1.5 y obtener 8. Las bases comprendidas entre cero y uno también son válidas. Con b = 0.5 y x = 8, el resultado es −3, pues 0.5⁻³ = 8. Otro caso de resultado negativo es log₁₀ 0.001 = −3. Un logaritmo negativo puede ser perfectamente real y válido.

Productos, cocientes y potencias

Para números positivos a y c, y una base permitida que se mantenga constante, se cumplen log_b(ac) = log_b a + log_b c, log_b(a/c) = log_b a − log_b c y log_b(aʳ) = r log_b a. Estas identidades proceden de las reglas de potencias. No se aplican del mismo modo a una suma: en general, log_b(a + c) no equivale a la suma de los dos logaritmos.

Por ejemplo, 385 = 5 × 7 × 11 permite escribir log₁₀ 385 como log₁₀ 5 + log₁₀ 7 + log₁₀ 11. El total es aproximadamente 2.585460729509. Para comprobarlo numéricamente, introduce base 10 y argumento 385. El cálculo proporciona el valor; la factorización explica la expansión escrita. Mantén los subíndices o paréntesis al copiar una expresión: log del producto a·b y log_a b representan preguntas diferentes.

Por qué no se admite el logaritmo de cero

Toda potencia real de una base positiva tiene resultado positivo. Ningún exponente real produce cero ni un número negativo, de modo que la calculadora rechaza esos argumentos. Cuando la base es mayor que uno, el logaritmo disminuye sin cota al acercarse el argumento positivo a cero. Ese comportamiento límite no asigna un valor finito a log 0. La base uno también queda excluida, ya que 1 elevado a cualquier exponente permanece igual a 1.

Si preparas una tabla que comienza en cero, esa entrada debe figurar como no definida en los reales. Los números positivos muy pequeños siguen siendo válidos; redondearlos prematuramente a cero cambia el problema. Para aplicaciones con medidas, identifica primero la razón adimensional que requiere la definición física. Esta herramienta calcula el logaritmo del número suministrado y no elige por sí misma una unidad o un nivel de referencia.