360
- Número entero
- 360
- Descomposición en factores primos
- 2³ × 3² × 5
- Primo o compuesto
- Compuesto
- Número de divisores
- 24
- Suma de divisores σ(n)
- 1 170
- Primo anterior
- 359
- Primo siguiente
- 367
Fuente de comprobación: Cálculo independiente
Calculadora de descomposición en factores primos
Descompón cualquier número entero de hasta 60 cifras en factores primos, con árbol de factores, clasificación como primo o compuesto, divisores y primos más cercanos.
Por AdminRedactado con herramientas de redacción con IAActualizado Ejemplos verificados: 6
Descomposición en factores primos
2³ × 3² × 5
Descomposición en factores primos: 2³ × 3² × 5
- Primo o compuesto
- Compuesto
- Número de divisores
- 24
- Suma de divisores σ(n)
- 1 170
- Primo anterior
- 359
- Primo siguiente
- 367
360 = 2³ × 3² × 5, por lo que es compuesto. Tiene 24 divisores que suman 1170. Los primos más cercanos son 359 y 367.
Árbol de factores
Parejas de divisores
| Divisor | Divisor complementario n ÷ d |
|---|---|
| 1 | 360 |
| 2 | 180 |
| 3 | 120 |
| 4 | 90 |
| 5 | 72 |
| 6 | 60 |
| 8 | 45 |
| 9 | 40 |
| 10 | 36 |
| 12 | 30 |
| 15 | 24 |
| 18 | 20 |
Cómo se calcula S
División por tanteo con primos pequeños
Se divide entre 2, 3.
Se divide entre cada primo tantas veces como sea posible antes de pasar al siguiente.
Descomposición en factores primos
Número de divisores
Suma de divisores
Primos más cercanos
Los candidatos se evalúan con la misma prueba de Miller–Rabin.
Acerca de Calculadora de descomposición en factores primos
Por el teorema fundamental de la aritmética, todo entero mayor que 1 es un producto de primos de una única manera, salvo por el orden: 360 = 2³ × 3² × 5. La calculadora elimina los primos menores que 10,000 por división de prueba, separa los factores compuestos mayores con la versión de Brent del método rho de Pollard y comprueba la primalidad de cada factor con Miller–Rabin sobre las primeras 13 bases primas, que es determinista por debajo de 3.3 × 10²⁴ (Sorenson y Webster, 2015).
Simplificar fracciones y radicales, buscar denominadores comunes y resolver acertijos numéricos suele empezar por una factorización. Los exponentes también permiten contar los divisores: 360 tiene (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores que suman 1170, y los primos más cercanos son 359 y 367.
Se admiten números de hasta 60 dígitos, incluidas expresiones como 2^67 − 1. A partir de 3317044064679887385961981, un resultado que pasa la prueba se etiqueta como «primo probable». Las 20 bases fijas usadas aquí no garantizan una probabilidad de error para cada entrada.
Qué significa descomponer un número en factores primos
Factorizar un entero positivo consiste en escribirlo como un producto de números primos. Un primo es mayor que 1 y tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Por ejemplo, 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2^3 × 3^2 × 5. Las dos expresiones representan la misma descomposición; los exponentes indican cuántas veces se repite cada primo.
La calculadora ofrece la descomposición, un árbol de factores, una indicación sobre primalidad y datos derivados como la cantidad y la suma de divisores cuando consigue completar la factorización. También busca primos cercanos. No confundas los factores primos de 360, que son 2, 3 y 5, con todos sus divisores: 4, 6, 8, 9 y muchos otros dividen a 360 sin ser primos.
Introduce un entero positivo menor que 10^60. Se admiten expresiones como 2^14, siempre que el resultado sea entero y esté dentro del límite. El número 1 es un caso especial admitido; cero y los negativos no pertenecen al dominio de esta herramienta. Para enumerar divisores con signos a partir de un entero negativo, utiliza la calculadora de factores.
Descomponer 360 paso a paso
Empieza por el primo más pequeño que divida al número. Como 360 es par, divide entre 2: queda 180. Divide de nuevo entre 2 y queda 90; una tercera división deja 45. Ya has extraído tres factores 2. El 45 es divisible entre 3: quedan 15 y, al dividir otra vez entre 3, queda 5. El último resto, 5, es primo.
Reúne los factores: 2^3 × 3^2 × 5. Para comprobarlos, calcula primero las potencias y después el producto: 8 × 9 × 5 = 360. La comprobación debe recuperar exactamente la entrada. Sumar los factores, 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 5, no comprueba una factorización: la operación que reconstruye el número es la multiplicación.
Puedes comenzar con una pareja compuesta, como 36 × 10, y seguir dividiendo cada rama hasta llegar a primos: 36 = 2^2 × 3^2 y 10 = 2 × 5. Al reunirlos aparece la misma descomposición. Los árboles pueden tener formas distintas según el orden elegido, pero los primos finales y sus exponentes deben coincidir.
Cuándo detener la división de prueba
Para comprobar por división que un entero mayor que 1 es primo, basta probar los primos hasta su raíz cuadrada. Si fuera compuesto, al menos uno de los dos factores de una pareja estaría como máximo en esa raíz. Para 43, la raíz está entre 6 y 7: basta probar 2, 3 y 5. Ninguno divide a 43, así que es primo.
Durante una descomposición, esta prueba se aplica a lo que queda, no necesariamente al número original. Después de extraer factores pequeños, el resto puede volverse primo y no requerir más divisiones. Esta observación hace manejables muchos cálculos a mano, aunque probar divisores uno por uno deja de ser práctico para enteros grandes. La herramienta utiliza métodos adicionales para esas entradas.
El 1 no es primo ni compuesto. Solo tiene un divisor positivo y no aporta un factor primo a una multiplicación. Si se permitiera insertar unos arbitrariamente, una misma descomposición podría escribirse con cualquier cantidad de factores 1. Para la entrada 1, la cantidad de divisores y su suma son ambas 1, pero eso no lo convierte en primo.
Tabla de factorizaciones y divisores
La suma de esta tabla incluye todos los divisores positivos, también el propio número. Para obtener la suma de divisores propios, resta la entrada. Los exponentes se escriben con el símbolo ^ para facilitar su lectura y reproducción en los campos.
| Número | Factorización prima | Cantidad de divisores | Suma de divisores |
|---|---|---|---|
| 1 | Sin factores primos | 1 | 1 |
| 91 | 7 × 13 | 4 | 112 |
| 343 | 7^3 | 4 | 400 |
| 360 | 2^3 × 3^2 × 5 | 24 | 1170 |
| 361 | 19^2 | 3 | 381 |
| 529 | 23^2 | 3 | 553 |
| 2907 | 3^2 × 17 × 19 | 12 | 4680 |
| 13915 | 5 × 11^2 × 23 | 12 | 19152 |
| 16384 | 2^14 | 15 | 32767 |
Un cuadrado de primo tiene exactamente tres divisores positivos: 1, el primo y su cuadrado. Por eso, 361 tiene los divisores 1, 19 y 361. Una potencia 2^14 tiene quince divisores: las potencias de 2 desde el exponente cero hasta el catorce. El número de divisores no coincide con la cantidad de factores escritos al expandir el producto.
Calcular la cantidad y la suma a partir de exponentes
Si n = p^a × q^b, cada divisor elige de cero a a copias de p y de cero a b copias de q. Por tanto, hay (a + 1)(b + 1) opciones. Para 360 se necesitan tres primos: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24. El orden de multiplicación no crea divisores nuevos.
La suma se obtiene multiplicando las sumas de potencias de cada primo. Para 360: (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 15 × 13 × 6 = 1170. La suma propia es 1170 − 360 = 810. Estas fórmulas requieren conocer la descomposición completa; aplicarlas a una rama compuesta que todavía no se ha separado puede dar una cuenta incorrecta.
Qué significan los primos anterior y siguiente
Los vecinos son estrictamente menores y mayores que la entrada. Si introduces 31, los vecinos son 29 y 37; no se devuelve 31 como su propio primo anterior o siguiente. Para 43, son 41 y 47. Para el compuesto 91, son 89 y 97. Esta información responde a una búsqueda en la recta numérica, no a cuáles son los factores del número.
En el extremo inferior puede no existir un primo anterior: no hay ninguno por debajo de 2. Una salida vacía en esa posición tiene sentido matemático. Para entradas grandes, revisa los avisos de búsqueda y no interpretes un vecino no encontrado dentro del trabajo disponible como una afirmación de que no existe ningún primo mayor.
Cómo leer un resultado parcial o un primo probable
El límite de sesenta cifras define las entradas admitidas, pero no garantiza que toda factorización termine dentro del tiempo de trabajo previsto. Algunos compuestos son mucho más difíciles de separar que otros de tamaño parecido. Si una rama queda identificada como compuesta sin descomponer, el resultado es parcial: todavía no tienes todos los primos necesarios para usar las fórmulas anteriores.
Para ciertos números grandes, la interfaz distingue «primo probable» de un veredicto determinista. Conserva esa distinción al copiar el resultado. Pasar una prueba de primalidad y disponer de una demostración aplicable al rango de la entrada son afirmaciones diferentes. Del mismo modo, el árbol puede abreviarse por espacio; consulta los datos y avisos para distinguir una visualización resumida de una búsqueda incompleta.
La factorización es útil para simplificar radicales, reducir fracciones y comparar divisibilidad. La calculadora de MCD y mcm combina varios enteros mediante factores compartidos o exponentes máximos. Para una revisión rápida, vuelve a multiplicar los factores y comprueba que los exponentes reconstruyan exactamente tu número antes de reutilizar la descomposición.
Ejemplos resueltos
Problema 3 de Project Euler
- Número entero
- 600851475143
- Descomposición en factores primos
- 71 × 839 × 1471 × 6857
- Número de divisores
- 16
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: problema 3 de Project Euler (mayor factor primo: 6857)
Factorización de Cole de 2^67 − 1
- Número entero
- 2^67-1
- Descomposición en factores primos
- 193707721 × 761838257287
- Primo o compuesto
- Compuesto
- Número de divisores
- 4
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: F. N. Cole, 1903 (Bull. AMS 10:134)
97 es primo
- Número entero
- 97
- Descomposición en factores primos
- 97
- Primo o compuesto
- Primo
- Número de divisores
- 2
- Suma de divisores σ(n)
- 98
- Primo anterior
- 89
- Primo siguiente
- 101
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: tabla de primos (OEIS A000040): 89, 97, 101
Preguntas
¿Cómo se descompone un número en factores primos?
Divide entre el menor primo que sea divisor y repite con el cociente hasta llegar a 1. Para 360: 360 ÷ 2 = 180, ÷ 2 = 90, ÷ 2 = 45, ÷ 3 = 15, ÷ 3 = 5; como 5 es primo, 360 = 2³ × 3² × 5. Solo hay que probar primos hasta la raíz cuadrada del número restante; si ninguno lo divide, ese número es primo.
¿Es 1 un número primo?
No. Un primo tiene exactamente dos divisores, 1 y él mismo, mientras que 1 solo tiene uno. Excluir el 1 mantiene la unicidad de la factorización: si fuera primo, 6 podría escribirse como 2 × 3, 1 × 2 × 3, 1 × 1 × 2 × 3, etc. El 1 no es primo ni compuesto; el 2 es el menor primo y el único par.
¿Cómo se calcula el número de divisores a partir de los factores primos?
Suma 1 a cada exponente y multiplica. 360 = 2³ × 3² × 5¹ tiene (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores, porque cada divisor usa de 0 a 3 factores 2, de 0 a 2 factores 3 y 0 o 1 factor 5. La suma de los divisores se obtiene con un producto similar: σ(360) = (2⁴ − 1)/1 × (3³ − 1)/2 × (5² − 1)/4 = 15 × 13 × 6 = 1170.
¿Cómo se sabe si un número grande es primo?
La división por tanteo hasta √n es demasiado lenta para números de 20 cifras, por lo que la prueba de Miller–Rabin utiliza unas pocas bases. Por debajo de 3.3 × 10²⁴, superar la prueba con los primeros 13 primos (del 2 al 41) como bases demuestra la primalidad (Sorenson y Webster, 2015). 2⁶¹ − 1 = 2 305 843 009 213 693 951 la supera y es primo; 2⁶⁷ − 1 no la supera y equivale a 193 707 721 × 761 838 257 287.
¿Por qué es importante la factorización en criptografía?
El cifrado RSA se basa en que multiplicar dos primos grandes es rápido, mientras que factorizar su producto requiere un tiempo prohibitivo. NIST SP 800-57 atribuye 112 bits de seguridad a un módulo RSA de 2048 bits, de unas 617 cifras decimales. Eso es unas diez veces el límite de 60 cifras de esta herramienta y, aun dentro de ese límite, el método rho de Pollard solo descompone un número rápidamente si alguno de sus factores es relativamente pequeño.
Acerca de esta calculadora
Fuentes
- Hardy & Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, §2.10 and §16.7 (divisor functions)
- Sorenson & Webster (2015), Strong pseudoprimes to twelve prime bases
- Brent (1980), An improved Monte Carlo factorization algorithm
Verificado con las referencias
Esta calculadora incluye 6 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.