Calculadora de factores: todos los divisores de un número

Qué son los factores o divisores de un entero

Un divisor de un entero es otro entero que lo divide sin dejar resto. Como 48 ÷ 6 = 8, tanto 6 como 8 son divisores de 48 y forman la pareja 6 × 8 = 48. La calculadora encuentra los divisores, los agrupa por parejas, cuenta los positivos y calcula su suma. También indica si el número es primo o compuesto y cómo se compara con la suma de sus divisores propios.

Los divisores positivos de 48 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48. Hay diez, aunque solo aparecen cinco parejas de productos. Esta diferencia es importante: contar parejas no equivale a contar divisores. Cada pareja contiene normalmente dos valores distintos, pero una pareja puede repetir la raíz cuadrada cuando el número es un cuadrado perfecto.

Introduce un entero distinto de cero cuya magnitud no supere 10^18. Puedes escribir expresiones enteras como 2^10, que representa 1024. No introduzcas un decimal aproximado si buscas los divisores de un entero exacto. Las fracciones no enteras se rechazan porque esta herramienta trabaja con divisibilidad entre enteros, no con todas las posibles descomposiciones de un número real.

Encontrar parejas sin repetir divisores

Para buscar los divisores a mano, prueba los enteros positivos hasta la raíz cuadrada. Si un número d divide a n, añade d y n/d. No es necesario seguir probando por encima de la raíz: cada divisor mayor ya tiene una pareja menor que habrá aparecido antes.

Con 36, las parejas son 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y 6 × 6. La lista ordenada es 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. El 6 se cuenta una sola vez, por lo que hay nueve divisores positivos. Un cuadrado perfecto tiene un número impar de divisores positivos: la pareja central repite la raíz y las demás aportan dos valores cada una.

Con 48, la raíz cuadrada está entre 6 y 7. Las pruebas hasta 6 encuentran todas las parejas, incluida 6 × 8. No encontrar un divisor entre 7 y 48 que no estuviera en la lista no requiere probarlos todos: la estructura de las parejas ya garantiza que están representados. El gráfico de parejas, cuando se muestra, ayuda a reconocer esa correspondencia.

Contar divisores mediante factores primos

La factorización prima de 48 es 2^4 × 3. Un divisor positivo puede contener desde cero hasta cuatro factores 2 y desde cero hasta un factor 3. Hay cinco posibilidades para el exponente de 2 y dos para el de 3: el total es (4 + 1)(1 + 1) = 10 divisores.

En general, si n = p^a × q^b × r^c, donde las bases son primos distintos, el número de divisores positivos es (a + 1)(b + 1)(c + 1). El exponente cero cuenta porque un divisor puede no incluir cierto primo. Olvidarlo daría un resultado demasiado pequeño. La calculadora de factorización prima muestra esa descomposición cuando te interesa conocer los primos y sus exponentes, en lugar de toda la lista de divisores.

La misma idea permite obtener la suma sin enumerar cada divisor: para 48, (1 + 2 + 4 + 8 + 16)(1 + 3) = 31 × 4 = 124. Al desarrollar el producto aparece una vez cada divisor positivo. Esta suma incluye el propio 48; la suma de divisores propios lo excluye, por lo que vale 124 − 48 = 76.

Números deficientes, perfectos y abundantes

Para clasificar un entero positivo de esta manera, compara la suma de sus divisores propios con el propio número. Si la suma es menor, es deficiente; si coincide, perfecto; si es mayor, abundante. Estas categorías no describen si el número es par o impar y tampoco sustituyen a la distinción entre primo y compuesto.

Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3; su suma es 6, así que es perfecto. Para 12, son 1, 2, 3, 4 y 6 y suman 16, por lo que es abundante. Para 16, suman 1 + 2 + 4 + 8 = 15: le falta una unidad para alcanzar al número y es deficiente.

En el caso de 1, el único divisor positivo es 1 y no hay divisores propios positivos que sumar: la suma es cero. El 1 no es primo ni compuesto. Un primo tiene exactamente dos divisores positivos distintos, 1 y él mismo; por ejemplo, 97. Tener pocos divisores no convierte automáticamente un número en primo: 16 tiene cinco y sigue siendo compuesto.

Cómo interpretar una entrada negativa

Para −12, los divisores enteros son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12. La cantidad de divisores positivos sigue siendo seis. La herramienta distingue esa cuenta de la lista con signos: no interpretes el número seis como el total de entradas positivas y negativas combinadas.

Las parejas que producen un número negativo necesitan signos opuestos, como −3 × 4 = −12 o 3 × (−4) = −12. Las sumas y la clasificación por abundancia se refieren a la magnitud positiva, 12. Sumar todos los divisores con ambos signos daría cero por cancelación y respondería a otra pregunta.

El cero se rechaza porque tiene infinitos divisores enteros distintos de cero: para cualquier d no nulo, 0 = d × 0. No existe una lista finita de todos ellos que esta calculadora pueda presentar. Un mensaje de entrada inválida para cero no significa que cero no sea divisible por otros enteros.

Límites de la lista y herramientas relacionadas

La herramienta enumera como máximo 5000 divisores positivos. Si se supera ese límite, puede mostrar la cantidad y las sumas exactas sin desplegar la lista completa. Una lista omitida por tamaño no equivale a una factorización incompleta. Si la búsqueda de factores alcanza su límite de trabajo, revisa el aviso correspondiente y prueba con un entero menor; aceptar una magnitud no garantiza resolver cualquier entrada con la misma rapidez.

Para comprobar un resultado pequeño, multiplica las parejas, comprueba que la lista esté ordenada y suma sus elementos. Si la lista incluye n, resta n antes de comparar la suma propia. Para dos o más números, la calculadora de MCD y mcm identifica los factores que comparten y sus múltiplos comunes. La calculadora de raíces ayuda a reconocer el punto central de las parejas cuando investigas cuadrados perfectos.