गुणनखंड कैलकुलेटर: 10¹⁸ तक की पूर्ण संख्या के सभी गुणनखंड और युग्म, अभाज्य गुणनखंडन, भाजकों की संख्या और योग तथा पूर्ण या बहुल संख्या की स्थिति पाएँ।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 10
48 = 2⁴ × 3 के 10 गुणनखंडों का योग 124 है। स्वयं 48 को छोड़ने पर योग 76 है, इसलिए 48 प्रचुर है।
| गुणनखंड d | जोड़ीदार n ÷ d | d का प्रकार |
|---|---|---|
| 1 | 48 | इकाई |
| 2 | 24 | अभाज्य |
| 3 | 16 | अभाज्य |
| 4 | 12 | भाज्य |
| 6 | 8 | भाज्य |
10,000 से छोटे अभाज्यों से क्रमिक भाग, फिर किसी बड़े सहगुणनखंड के लिए पोलार्ड की रो विधि।
हर गुणनखंड में प्रत्येक अभाज्य का घात 0 से लेकर गुणनखंडन में दिखाए गए उसके अधिकतम घात तक चुना जाता है।
केवल √48 ≈ 6 तक के भाजक जाँचने होते हैं; हर भाजक के साथ उसका जोड़ीदार मिलता है।
n का गुणनखंड वह पूर्णांक है जो n को बिना शेषफल विभाजित करता है। गुणनखंड d × (n ÷ d) की जोड़ियों में आते हैं। कैलकुलेटर पहले क्रमिक भाग और पोलार्ड की रो विधि से अभाज्य गुणनखंडन निकालता है, फिर उससे सभी गुणनखंड बनाता है। 48 = 2⁴ × 3 के किसी गुणनखंड में 2 का घात 0 से 4 और 3 का घात 0 या 1 हो सकता है, इसलिए (4 + 1)(1 + 1) = 10 गुणनखंड मिलते हैं।
इसी गुणनखंडन से सभी गुणनखंडों का योग मिलता है। उसमें से n घटाने पर उचित गुणनखंडों का योग बचता है। यूक्लिड और निकोमाखस से जुड़े इस वर्गीकरण में योग n के बराबर हो तो संख्या पूर्ण है (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14), अधिक हो तो प्रचुर (48 के लिए 76), और कम हो तो न्यून, जैसा हर अभाज्य संख्या के साथ होता है।
10¹⁸ तक की संख्याएँ स्वीकार की जाती हैं और सामान्यतः तेज़ी से गुणनखंडित होती हैं। अधिकतम 5,000 गुणनखंड पूरी सूची में दिए जाते हैं; उससे अधिक होने पर केवल उनकी संख्या और योग दिखते हैं। ऋणात्मक संख्या के गुणनखंड ± जोड़ियों में आते हैं।
1 से √n तक हर विभाजित करने वाला पूर्णांक d खोजें; उसका साथी n/d है। 60 में 1×60, 2×30, 3×20, 4×15, 5×12, 6×10 की छह जोड़ियाँ, यानी 12 धनात्मक गुणनखंड, हैं। वर्ग संख्या में बीच की समान जोड़ी दो बार नहीं गिनते।
उचित भाजकों में संख्या स्वयं शामिल नहीं होती। 6 के लिए 1+2+3 = 6, इसलिए वह पूर्ण संख्या है। 12 में यह योग 16 है, इसलिए अधिक; 16 में 15 है, इसलिए अपूर्ण। यह वर्गीकरण भाजकों के योग का गणितीय नाम है।
| पूर्णांक | धनात्मक गुणनखंड | संख्या | उचित भाजकों का योग | वर्गीकरण |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | अपूर्ण संख्या |
| 2 | 1, 2 | 2 | 1 | अपूर्ण संख्या |
| 6 | 1, 2, 3, 6 | 4 | 6 | पूर्ण संख्या |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 | 6 | 16 | अधिक संख्या |
| 16 | 1, 2, 4, 8, 16 | 5 | 15 | अपूर्ण संख्या |
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 | 8 | 36 | अधिक संख्या |
| 28 | 1, 2, 4, 7, 14, 28 | 6 | 28 | पूर्ण संख्या |
| 36 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 | 9 | 55 | अधिक संख्या |
| 48 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 | 10 | 76 | अधिक संख्या |
| 97 | 1, 97 | 2 | 1 | अपूर्ण संख्या |
| 100 | 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 | 9 | 117 | अधिक संख्या |
| 360 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360 | 24 | 810 | अधिक संख्या |
−12 के भाजक ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 और ±12 हैं; दिखाया गया factor count 6 धनात्मक भाजकों का है। शून्य के अनंत पूर्णांक भाजक हैं, इसलिए उसकी सीमित सूची नहीं मिलती। 1 का एक ही धनात्मक भाजक है और वह अभाज्य नहीं है।
उपकरण 10¹⁸ तक के परिमाण वाला पूर्णांक, जैसे 2^10, स्वीकार करता है। 5,000 से अधिक भाजक होने पर पूरी सूची की जगह संख्या और योग देखें। भाजक होना और अभाज्य होना अलग प्रश्न हैं: 6, 60 का भाजक है, पर अभाज्य नहीं।
केवल अभाज्य घटकों और उनकी घातों के लिए अभाज्य गुणनखंड कैलकुलेटर देखें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: Calculator Soup गुणनखंड कैलकुलेटर में 48 के 10 गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 हैं
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: Calculator Soup में 36 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 हैं
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: calculator.net गुणनखंड कैलकुलेटर में 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: OEIS A000396 (पूर्ण संख्याएँ: 6, 28, 496, 8128, …); 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
1 से वर्गमूल तक हर पूर्णांक से भाग जाँचें। हर भाजक d के साथ उसका जोड़ीदार n ÷ d मिलता है। 48 का वर्गमूल लगभग 6.9 है; 1, 2, 3, 4 और 6 इसे विभाजित करते हैं। इसलिए जोड़ियाँ 1 × 48, 2 × 24, 3 × 16, 4 × 12 और 6 × 8 हैं। कुल 10 गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 और 48। बड़ी संख्याओं के लिए पहले अभाज्य गुणनखंड निकालें और उनके संयोजन बनाएँ।
अभाज्य गुणनखंडन लिखें, हर घात में 1 जोड़ें और उनका गुणा करें। 48 = 2⁴ × 3¹ के (4 + 1)(1 + 1) = 10 गुणनखंड हैं। 10¹⁵ = 2¹⁵ × 5¹⁵ के 16 × 16 = 256 हैं। केवल पूर्ण वर्गों के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है, क्योंकि वर्गमूल खुद का जोड़ीदार होता है: 36 के 9 गुणनखंड हैं और बीच की जोड़ी 6 × 6 है।
वह संख्या जो अपने उचित गुणनखंडों, यानी स्वयं को छोड़कर बाकी गुणनखंडों, के योग के बराबर हो। पहली दो हैं 6 = 1 + 2 + 3 और 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; अगली हैं 496, 8,128 और 33,550,336। यूक्लिड ने दिखाया कि 2ᵖ − 1 अभाज्य होने पर 2ᵖ⁻¹(2ᵖ − 1) पूर्ण संख्या होती है। ऑयलर ने सिद्ध किया कि हर सम पूर्ण संख्या इसी रूप की है। कोई विषम पूर्ण संख्या मौजूद है या नहीं, यह अभी अज्ञात है।
उचित गुणनखंडों का योग संख्या से अधिक हो तो संख्या प्रचुर और कम हो तो न्यून होती है। 12 सबसे छोटी प्रचुर संख्या है, क्योंकि 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16। हर अभाज्य संख्या न्यून है, क्योंकि उसका एकमात्र उचित गुणनखंड 1 है। अधिकांश छोटी संख्याएँ न्यून होती हैं। सबसे छोटी विषम प्रचुर संख्या 945 है, जिसके उचित गुणनखंडों का योग 975 है।
गुणनखंड वे सभी संख्याएँ हैं जो n को विभाजित करती हैं। उनमें जो अभाज्य हैं वे अभाज्य गुणनखंड हैं; उनकी बहुलता सहित गुणा करने पर n मिलता है। 48 के 10 गुणनखंड हैं, पर अलग अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 3 हैं; उसका अभाज्य गुणनखंडन 2⁴ × 3 है। अंकगणित की मूल प्रमेय के अनुसार यह गुणनखंडन अद्वितीय है और हर गुणनखंड इन्हीं अभाज्य संख्याओं के कुछ घातों का गुणनफल है।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 10 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।