√72 (पहले से दिया)
- संख्या
- 72
- मूल
- 2
- दशमलव स्थान
- 30
- मूल
- 8.48528137424
- सरलतम मूलांक रूप
- 6√2
- पूर्ण घात?
- No: 8² = 64 < 72 < 81 = 9²
- ऋणात्मक मूल
- -8.48528137424
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: OpenStax Elementary Algebra 2e खंड 9.2 में √72 = 6√2
वर्गमूल कैलकुलेटर और करणी सरलीकरण
वर्गमूल कैलकुलेटर: 1,000 दशमलव स्थानों तक मूल, सरलतम करणी रूप (√72 = 6√2), पूर्ण वर्ग की जाँच और घनमूल या nवाँ मूल निकालें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 9
मूल
मूल: 8.48528137424
- सरलतम मूलांक रूप
- 6√2
- पूर्ण घात?
- नहीं: 8² = 64 < 72 < 81 = 9²
- ऋणात्मक मूल
- −8.48528137424
72 का वर्गमूल लगभग 8.48528137 है। एक सटीक मूलांक रूप 6√2 है। यह 8 और 9 के बीच है, क्योंकि 72, 64 और 81 के बीच है।
√72, 30 दशमलव स्थानों तक
8.4852813742 3857029281 0132345258
30 दशमलव स्थानों के बाद काटा गया; अगला अंक 1 है।
y = √x, घातांक 2 वाली क्रमागत पूर्णांक घातों के बीच
72 के अभाज्य गुणनखंड
| अभाज्य | घातांक | 2 के समूह (बाहर) | अंदर बचा |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 0 |
गणना कैसे होती है S
अभाज्य गुणनखंडन
हर अभाज्य के घात को 2 के पूरे समूहों और बचे हुए भाग में बाँटा जाता है।
2 के समूह बाहर निकालें
2 में कोई अभाज्य 2 बार नहीं आता, इसलिए मूलांक पूरी तरह सरल है।
दशमलव मान
सटीक पूर्णांक गणना से निकाला गया; अंक-पैनल में 30 दशमलव स्थान दिखते हैं।
क्या यह पूर्ण वर्ग है?
72, घातांक 2 वाली दो क्रमागत पूर्णांक घातों के ठीक बीच है। इसलिए इसका वर्गमूल, 8 और 9 के बीच है और अपरिमेय है।
वर्गमूल कैलकुलेटर और करणी सरलीकरण के बारे में
x का वर्गमूल वह अऋणात्मक संख्या है जिसका स्वयं से गुणा x देता है। nवाँ मूल यही संबंध n समान गुणनखंडों के साथ रखता है। कैलकुलेटर सटीक पूर्णांक गणना से मूल निकालता है, इसलिए अंक-पैनल के सभी अंक सही हैं। मूलांक को अभाज्य गुणनखंडन से सरल किया जाता है: संख्या को अभाज्य घातों के गुणनफल में लिखें, हर n समान अभाज्यों का पूरा समूह मूल-चिह्न से बाहर लें और बाकी अंदर रखें।
72 = 2³ × 3² में 2 की एक जोड़ी और 3 की एक जोड़ी बाहर आकर 2 × 3 = 6 देती हैं; एक 2 अंदर रहता है। इसलिए √72 = 6√2 ≈ 8.485281। 8² = 64 और 9² = 81 होने से 72 पूर्ण वर्ग नहीं है। भिन्न और दशमलव भी चलेंगे: √0.72 = √(18/25) = 3√2/5।
अंक काटकर दिखाए जाते हैं, राउंड नहीं किए जाते। अधिकतम 1,000 दशमलव स्थान उपलब्ध हैं। ऋणात्मक संख्या का सम क्रम का मूल वास्तविक नहीं होता, लेकिन विषम क्रम का मूल वास्तविक है, जैसे ∛(−54) = −3∛2।
मुख्य वर्गमूल और सरल करणी
√x वह गैर-ऋणात्मक मान है जिसका वर्ग x हो। √81=9; x²=81 के हल 9 और −9 हैं। वर्गमूल के चिह्न का अकेला मुख्य मान ±9 नहीं है।
बाहर निकालने योग्य पूर्ण वर्ग खोजें: 72=36×2, इसलिए √72=6√2। √(18/25)=√(9×2)/5=3√2/5। करणी सटीक है; 6√2 का सीमित दशमलव अनुमान है। π जैसे अपरिमेय इनपुट को दशमलव में देने से उसके मूल का सटीक प्रतीकात्मक प्रमाण नहीं बनता।
मूल और करणी के उदाहरण
| संख्या | सरलतम करणी रूप | मुख्य वर्गमूल |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | √2 | 1.41421356237 |
| 4 | 2 | 2 |
| 9 | 3 | 3 |
| 16 | 4 | 4 |
| 25 | 5 | 5 |
| 36 | 6 | 6 |
| 49 | 7 | 7 |
| 64 | 8 | 8 |
| 72 | 6√2 | 8.48528137424 |
| 100 | 10 | 10 |
| 144 | 12 | 12 |
| 0.25 | 1/2 | 0.5 |
| 18/25 | 3√2/5 | 0.848528137424 |
| 9/4 | 3/2 | 1.5 |
क्रम और अंकों का प्रदर्शन
मूल का क्रम 2–100 का पूर्णांक चुनें। विषम क्रम में ऋणात्मक संख्या का वास्तविक मूल है: ∛(−125)=−5। सम क्रम में ऋणात्मक संख्या का वास्तविक मूल नहीं; सम्मिश्र संख्या कैलकुलेटर उपयोग करें।
अंकों वाले विस्तृत प्रदर्शन में माँगे दशमलव स्थानों के बाद के अंक काटे जाते हैं, गोल नहीं होते। उदाहरण के लिए √2 के पाँच स्थान 1.41421 हैं। दूसरे परिणाम से अंतिम अंक अलग लगे तो पहले जाँचें कि वह rounding कर रहा है या truncation। उपकरण अधिकतम 1000 दशमलव स्थान दिखाता है; अधिक अंकों का अर्थ माप में उतनी ही वास्तविक शुद्धता नहीं है।
पूर्ण वर्ग का दावा मूल के पूर्णांक होने से जाँचें और वापस वर्ग करें। गुणनखंड कैसे बाहर निकले, यह देखने के लिए अभाज्य गुणनखंड, और सामान्य भिन्न घात के लिए घात और मूल देखें।
हल किए गए उदाहरण
√27 (calculator.net और OpenStax)
- संख्या
- 27
- मूल
- 2
- दशमलव स्थान
- 30
- मूल
- 5.196
- सरलतम मूलांक रूप
- 3√3
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: calculator.net मूल कैलकुलेटर में √27 तीन स्थानों तक 5.196 है; OpenStax खंड 9.2 में √27 = 3√3
√52 (Omni Calculator उदाहरण)
- संख्या
- 52
- मूल
- 2
- दशमलव स्थान
- 30
- मूल
- 7.2111
- सरलतम मूलांक रूप
- 2√13
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: Omni Calculator वर्गमूल पृष्ठ में √52 = 2√13 ≈ 7.22 दिया है
54 का घनमूल
- संख्या
- 54
- मूल
- 3
- दशमलव स्थान
- 30
- मूल
- 3.77976314968
- सरलतम मूलांक रूप
- 3∛2
- पूर्ण घात?
- No: 3³ = 27 < 54 < 64 = 4³
- ऋणात्मक मूल
- लागू नहीं
जाँच का स्रोत: उदाहरण जाँच: 54 = 2 × 3³
सवाल
वर्गमूल को सरल कैसे करें?
संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें, समान अभाज्यों की जोड़ियाँ बनाएँ और हर जोड़ी का एक अभाज्य बाहर निकालें। 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 में 2 और 3 की एक-एक जोड़ी है। इसलिए 2 × 3 = 6 बाहर और एक 2 अंदर रहता है: √72 = 6√2। इसी तरह सबसे बड़ा पूर्ण-वर्ग गुणनखंड अलग कर सकते हैं: 72 = 36 × 2 और √36 = 6। चिह्न के अंदर कोई अशून्य गैर-इकाई पूर्ण-वर्ग गुणनखंड न बचे तो मूल सरल है (OpenStax Elementary Algebra 2e, खंड 9.2)।
कैसे पहचानें कि संख्या पूर्ण वर्ग है?
पूर्णांक के अभाज्य गुणनखंडन में हर घात सम हो तो संख्या पूर्ण वर्ग है; इसी का समतुल्य नियम है कि उसका वर्गमूल पूर्णांक हो। 144 = 2⁴ × 3², यानी 12² है, लेकिन 72 = 2³ × 3² पूर्ण वर्ग नहीं, क्योंकि 2 का घात विषम है। पूर्ण वर्ग का अंतिम अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो सकता है। इसलिए 72 जैसी 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त संख्या तुरंत बाहर की जा सकती है।
2 का वर्गमूल 50 दशमलव स्थानों तक क्या है?
√2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694, जिसे 50 दशमलव स्थानों के बाद काटा गया है। इसके अंक न समाप्त होते हैं, न आवर्ती होते हैं, क्योंकि √2 अपरिमेय है: यह दो पूर्णांकों का अनुपात नहीं है। ISO 216 के कागज़ आकार इसी अनुपात पर आधारित हैं; A4 की भुजाओं का अनुपात 297/210 ≈ 1.414 है।
किसी संख्या का घनमूल या nवाँ मूल कैसे निकालें?
x का nवाँ मूल वह संख्या है जिसे n बार गुणनखंड के रूप में लेने पर x मिले। सरल करने के लिए n समान अभाज्यों का हर पूरा समूह बाहर निकालें: 54 = 2 × 3³, इसलिए ∛54 = 3∛2 ≈ 3.779763। दशमलव उत्तर के लिए x की घात 1/n लें। calculator.net के उदाहरण में 15 का आठवाँ मूल तीन दशमलव स्थानों तक 1.403 है।
धनात्मक संख्या के दो वर्गमूल क्यों होते हैं?
ऋणात्मक संख्या का ऋणात्मक से गुणा धनात्मक होता है। इसलिए 8.485…² और (−8.485…)² दोनों 72 हैं। √ चिह्न मुख्य अऋणात्मक मूल दर्शाता है, इसलिए √72 = 6√2 और दूसरा मूल −6√2 है। दोनों को साथ ±6√2 लिखते हैं। अतः x² = 72 के दो हल हैं। विषम क्रम के मूल का केवल एक वास्तविक मान है; ∛(−8) = −2।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 9 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।