Calculadora de raíces cuadradas: hasta 1000 decimales, radical simplificado (√72 = 6√2), comprobación de cuadrados perfectos y raíces cúbicas o enésimas.
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La raíz cuadrada de 72 es aproximadamente 8.48528137. Una forma radical exacta es 6√2. Está entre 8 y 9 porque 72 está entre 64 y 81.
8.4852813742 3857029281 0132345258
Truncada después de 30 decimales; el siguiente dígito es 1.
| Primo | Exponente | Grupos de 2 (salen) | Queda dentro |
|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 0 |
El exponente de cada primo se divide en grupos completos de 2 y un resto.
Ningún primo aparece 2 veces en 2, por lo que el radical está totalmente simplificado.
Calculado con aritmética entera exacta; el panel de dígitos muestra 30 decimales.
72 está estrictamente entre potencias enteras consecutivas de exponente 2, por lo que su raíz cuadrada está entre 8 y 9 y es irracional.
La raíz cuadrada de x es el número no negativo que, multiplicado por sí mismo, da x; la raíz enésima hace lo mismo con n factores iguales. La calculadora obtiene la raíz mediante aritmética entera exacta, de modo que todos los dígitos mostrados son correctos. Para simplificar el radical, descompone el número en potencias de primos: cada grupo completo de n factores primos iguales sale del radical como un solo factor y el resto queda dentro.
Para 72 = 2³ × 3², sale un factor 2 de la pareja de doses y un factor 3 de la pareja de treses: 2 × 3 = 6. Queda un 2 dentro, por lo que √72 = 6√2 ≈ 8.485281. Como 8² = 64 y 9² = 81, 72 no es un cuadrado perfecto. También se admiten fracciones y decimales: √0.72 = √(18/25) = 3√2/5.
Los dígitos se truncan, sin redondear, y se ofrecen hasta 1000 decimales. Una raíz de índice par de un número negativo no es real; las raíces de índice impar sí lo son: ∛(−54) = −3∛2.
La raíz cuadrada principal de un número no negativo es el valor no negativo que, elevado al cuadrado, produce ese número. Para 72, la calculadora muestra aproximadamente 8.48528137424 y, cuando puede simplificar el radical, la forma exacta 6√2. Ambas expresiones describen el mismo valor, pero el decimal mostrado tiene una cantidad finita de cifras y el radical conserva la exactitud.
Introduce el número y deja el índice de la raíz en 2 para una raíz cuadrada. Puedes utilizar un entero, un decimal o una fracción exacta. El campo de posiciones decimales controla un panel de expansión larga; no es el mismo control que determina la precisión de la lectura principal. Esta distinción resulta útil si necesitas estudiar cifras de una raíz sin cambiar la presentación principal de la respuesta.
No confundas √72 con todas las soluciones de x² = 72. El símbolo √ designa la raíz principal positiva; la ecuación tiene dos soluciones, +6√2 y −6√2. Elevar cualquiera de ellas al cuadrado da 72. La herramienta presenta por separado la raíz negativa cuando corresponde, pero eso no cambia el significado de la raíz principal.
Para simplificar √72, busca un cuadrado perfecto que divida a 72: 72 = 36 × 2. Como √36 = 6, queda √72 = 6√2. No se extrae el factor 2 porque no es un cuadrado. Otra ruta parte de 72 = 2^3 × 3^2: una pareja de doses y una pareja de treses salen del radical, dejando un 2 dentro.
En una fracción, trata numerador y denominador con la misma atención. Para √(18/25), el numerador es 9 × 2 y el denominador es 5², por lo que la raíz es 3√2/5. La comprobación consiste en elevar toda la expresión al cuadrado: 9 × 2 / 25 = 18/25. No basta con elevar solo el coeficiente situado delante del radical.
| Entrada | Forma exacta simplificada | Raíz principal aproximada |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | √2 | 1.41421356237 |
| 4 | 2 | 2 |
| 9 | 3 | 3 |
| 16 | 4 | 4 |
| 25 | 5 | 5 |
| 36 | 6 | 6 |
| 49 | 7 | 7 |
| 64 | 8 | 8 |
| 72 | 6√2 | 8.48528137424 |
| 100 | 10 | 10 |
| 144 | 12 | 12 |
| 0.25 | 1/2 | 0.5 |
| 18/25 | 3√2/5 | 0.848528137424 |
| 9/4 | 3/2 | 1.5 |
Los decimales de la tabla se redondean a doce cifras significativas, igual que la lectura principal. El punto facilita copiar las entradas al formulario. Una raíz racional, como 3/2, puede escribirse exactamente como decimal finito; una raíz irracional, como √2, no se vuelve exacta al mostrar doce, cien o mil cifras.
El panel largo elimina las cifras posteriores a la posición solicitada; no redondea la última cifra conservada. Para √2, pedir una posición decimal muestra 1.4; dos posiciones muestran 1.41; cinco, 1.41421. La lectura principal conserva su propia regla de doce cifras significativas, por lo que puede permanecer igual cuando cambias la longitud del panel.
La diferencia se aprecia con √72. Sus primeras cifras son 8.485281…; un panel truncado a dos decimales muestra 8.48. Redondeado al centésimo más cercano sería 8.49. Ninguna de las dos escrituras es el radical exacto 6√2: son aproximaciones creadas con reglas diferentes. Si un ejercicio pide redondear, aplica expresamente esa regla al resultado, por ejemplo con la calculadora de redondeo.
El cálculo de las cifras del panel utiliza aritmética entera para obtener los dígitos solicitados. Aun así, una expansión finita de una raíz irracional sigue siendo una aproximación. Tampoco permite deducir que una medida física de entrada se conozca con esa cantidad de decimales; la calculadora recibe un número, no una estimación de la incertidumbre de una medición.
El índice puede ser un entero entre 2 y 100. Con índice 3 se calcula una raíz cúbica: la de −8 es −2 porque (−2)^3 = −8. Los índices impares admiten entradas negativas y tienen una raíz real negativa. Los índices pares no tienen raíz real para una entrada negativa, así que esta calculadora las rechaza.
Para una entrada positiva y un índice par, la ecuación x^n = a tiene las soluciones reales positiva y negativa, mientras que el símbolo de raíz sigue nombrando la principal positiva. Con índice impar hay una sola solución real. Para cero, el resultado es cero y no hace falta presentar una segunda raíz con signo contrario: −0 representa la misma cantidad.
Cambiar el índice cambia la operación. La raíz cuarta de 16 es 2 y la raíz cuadrada de 16 es 4; no se trata de dos precisiones del mismo cálculo. Para resultados complejos o preguntas que necesitan salir del conjunto de números reales, consulta la calculadora de números complejos.
El número debe poder interpretarse como una cantidad racional exacta. Una fracción con denominador cero se rechaza, igual que una constante inexacta como pi en este campo. Si buscas la raíz de 1/3, escribe esa fracción; introducir 0.3333 cambia el número cuya raíz estás calculando. Las expresiones compatibles pueden servir, pero deben terminar en un racional exacto admitido.
La longitud combinada del numerador y el denominador tiene un límite de doscientas cifras. La simplificación simbólica tiene además un límite propio sobre el entero transformado que debe factorizarse. Por ello, una entrada puede tener un resultado decimal sin disponer de una forma radical completamente simplificada. Revisa los avisos en lugar de interpretar una salida simbólica ausente como prueba de que no existe una forma exacta.
El panel admite hasta mil posiciones decimales, sujeto a un límite conjunto de trabajo con el índice de la raíz. Un índice alto puede reducir la cantidad de posiciones efectivamente calculadas; el aviso explica ese ajuste. Del mismo modo, una factorización que no se complete puede dejar un radical parcialmente simplificado. Es importante distinguir esos límites del valor matemático que buscas.
Para una comprobación numérica, eleva el resultado aproximado al índice elegido y compara con la entrada, admitiendo la pequeña diferencia debida al redondeo. Para una comprobación exacta, eleva el radical o la fracción simplificada. La calculadora de factores ayuda a encontrar cuadrados dentro de un entero; la calculadora de potencias y raíces cubre otras operaciones con exponentes.
Conserva también las unidades apropiadas. Si un cuadrado tiene área 144 metros cuadrados, su lado mide √144 = 12 metros. La raíz cambia la dimensión de esa cantidad; no es una conversión ordinaria entre unidades de superficie. En un cálculo posterior, conservar 6√2 en lugar de una versión decimal corta evita añadir redondeos intermedios innecesarios.
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: OpenStax Elementary Algebra 2e, §9.2: √72 = 6√2
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: calculadora de raíces de calculator.net: √27 = 5.196 a 3 decimales; OpenStax, §9.2: √27 = 3√3
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: página de raíz cuadrada de Omni Calculator: √52 = 2√13
Fuente de comprobación: Comprobación del ejemplo: 54 = 2 × 3³
Descompón el número en primos, agrupa los factores iguales por parejas y saca uno de cada pareja. 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 contiene una pareja de doses y otra de treses: sale 2 × 3 = 6 y queda un 2 dentro; así, √72 = 6√2. También puedes separar el mayor factor que sea un cuadrado perfecto: 72 = 36 × 2 y √36 = 6. El radical está simplificado cuando el radicando no tiene ningún factor cuadrado mayor que 1 (OpenStax Elementary Algebra 2e, §9.2).
Un entero no negativo es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es entera; para un entero positivo, esto equivale a que todos los exponentes de su factorización prima sean pares. 144 = 2⁴ × 3² es 12², pero 72 = 2³ × 3² no lo es, porque el exponente de 2 es impar. Los cuadrados perfectos solo terminan en 0, 1, 4, 5, 6 o 9: un número que termina en 2, 3, 7 u 8, como 72, se descarta directamente.
√2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694, truncada después de 50 decimales. Sus dígitos no terminan ni se repiten periódicamente porque √2 es irracional: no es el cociente de dos enteros. Los formatos de papel ISO 216 se basan en esta proporción; las dimensiones redondeadas de una hoja A4 dan 297/210 ≈ 1.414.
La raíz enésima de x es el número que, usado n veces como factor, da x. Para simplificarla, extrae cada grupo completo de n factores primos iguales: 54 = 2 × 3³, de modo que ∛54 = 3∛2 ≈ 3.779763. Para obtener el valor decimal, calcula x elevado a 1/n; el ejemplo de calculator.net da 1.403 para la raíz octava de 15, redondeada a tres decimales.
Porque el producto de dos negativos es positivo: 8.485…² y (−8.485…)² dan 72. El signo √ representa la raíz principal, no negativa: √72 = 6√2, y la otra raíz es −6√2; juntas se escriben ±6√2. Resolver x² = 72 da, por tanto, dos soluciones. Las raíces de índice impar solo tienen un valor real, y ∛(−8) = −2.
Esta calculadora incluye 9 ejemplos resueltos con respuestas de fuentes independientes. Forman parte del conjunto de pruebas y también puedes ejecutarlos aquí.