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अभाज्य गुणनखंड कैलकुलेटर

60 अंकों तक की पूर्ण संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करें; गुणनखंड वृक्ष, अभाज्य या भाज्य निर्णय, भाजक और निकटतम अभाज्य संख्याएँ देखें।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 6

अधिकतम 60 अंक। 2^67 − 1 जैसे व्यंजक भी चलेंगे।
आज़माएँ
अभाज्य गुणनखंडन
2³ × 3² × 5
अभाज्य गुणनखंडन: 2³ × 3² × 5
अभाज्य या भाज्य
भाज्य
भाजकों की संख्या
24
भाजकों का योग σ(n)
1,170
पिछली अभाज्य संख्या
359
अगली अभाज्य संख्या
367

360 = 2³ × 3² × 5, इसलिए यह भाज्य है। इसके 24 भाजक हैं, जिनका योग 1170 है। निकटतम अभाज्य संख्याएँ 359 और 367 हैं।

गुणनखंड वृक्ष

360218029024531535
भाजकों के जोड़े पंक्तियाँ: 12
भाजकजोड़ी का भाजक n ÷ d
1360
2180
3120
490
572
660
845
940
1036
1230
1524
1820
गणना कैसे होती है S

  1. छोटे अभाज्यों से परीक्षण विभाजन

    2, 3 से भाग लगता है।

    अगले अभाज्य पर जाने से पहले हर अभाज्य से जितनी बार भाग लग सके, उतनी बार भाग दिया जाता है।

  2. अभाज्य गुणनखंडन

    360=23×32×5360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5

  3. भाजकों की संख्या

    d(n)=(3+1)(2+1)(1+1)=24d(n) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24

  4. भाजकों का योग

    σ(n)=24−12−1⋅33−13−1⋅52−15−1=1,170\sigma(n) = \frac{2^{4} - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3 - 1} \cdot \frac{5^{2} - 1}{5 - 1} = 1{,}170

  5. निकटतम अभाज्य संख्याएँ

    359<360<367359 < 360 < 367

    संभावित संख्याओं को उसी मिलर–राबिन परीक्षण से जाँचा जाता है।

अभाज्य गुणनखंड कैलकुलेटर के बारे में

अंकगणित के मूल प्रमेय के अनुसार, 1 से बड़ा हर पूर्णांक क्रम को छोड़कर केवल एक तरीके से अभाज्यों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है: 360 = 2³ × 3² × 5। कैलकुलेटर परीक्षण भाग से 10,000 से छोटे अभाज्य निकालता है, ब्रेंट की पोलार्ड रो विधि से बड़े भाज्य गुणनखंड अलग करता है और पहले 13 अभाज्य आधारों पर मिलर–राबिन जाँच से हर गुणनखंड की अभाज्यता जाँचता है। यह जाँच 3.3 × 10²⁴ से नीचे निर्णायक है (Sorenson और Webster, 2015)।

भिन्नों और मूलों का सरलीकरण, समान हर निकालना और संख्या पहेलियाँ गुणनखंडन से शुरू होती हैं। घातांक भाजकों की संख्या भी बताते हैं: 360 के (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 भाजक हैं, जिनका योग 1,170 है। निकटतम अभाज्य संख्याएँ 359 और 367 हैं।

60 अंकों तक की संख्याएँ और 2^67 − 1 जैसे व्यंजक स्वीकार किए जाते हैं। 3317044064679887385961981 या उससे बड़े मान पर जाँच में सफल परिणाम को ‘संभावित अभाज्य’ कहा जाता है। यहाँ इस्तेमाल किए गए 20 तय आधार हर इनपुट के लिए त्रुटि-प्रायिकता की गारंटी नहीं देते।

संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें

सबसे छोटी विभाजित करने वाली अभाज्य संख्या से बार-बार भाग दें। 84 = 2² × 3 × 7 क्योंकि 84→42→21→7→1 में भाजक 2, 2, 3, 7 हैं। 1 से बड़ी प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक संख्या का यह विघटन, क्रम के अलावा, अद्वितीय है।

यदि n = p₁^a₁ … pₖ^aₖ हो, तो धनात्मक भाजकों की संख्या (a₁+1)…(aₖ+1) है। उदाहरण में 3×2×2 = 12 भाजक हैं। हर घात सम हो तो संख्या पूर्ण वर्ग है; 361 = 19² से √361 = 19 है।

विघटन और अभाज्यता के उदाहरण

पूर्णांकअभाज्य गुणनखंडभाजकों की संख्याभाजकों का योग
917 × 134112
3437³4400
36119²3381
52923²3553
29073² × 17 × 19124680
139155 × 11² × 231219152
163842¹⁴1532767
इनपुटनिष्कर्षअभाज्य गुणनखंडपिछली अभाज्य संख्याअगली अभाज्य संख्या
1न अभाज्य, न संयुक्त1—2
31अभाज्य312937
43अभाज्य434147
47अभाज्य474353
91संयुक्त7 × 138997

1 और बड़ी संख्याओं की सीमा

1 न अभाज्य है, न संयुक्त; उसका एक धनात्मक भाजक है। 91 देखने में अभाज्य लग सकता है, लेकिन 7×13 है। हाथ से अभाज्यता जाँचते समय वर्गमूल तक के अभाज्य भाजक पर्याप्त हैं।

बड़े मान के लिए यदि कोई संयुक्त घटक आगे न टूटे, परिणाम उसे असंपूर्ण विघटन बताता है। ऐसी चेतावनी के साथ सूची को पूरा अभाज्य विघटन या भाजक-संख्या का प्रमाण न मानें। पूर्ण वर्ग में बीच की जोड़ी एक बार गिनी जाती है: 361 के भाजक 1, 19, 361 हैं।

सभी भाजकों की सूची के लिए गुणनखंड कैलकुलेटर, और कई संख्याओं का साझा गुणनखंड जानने के लिए GCD/LCM इस्तेमाल करें।

हल किए गए उदाहरण

360

पूर्णांक
360
अभाज्य गुणनखंडन
2³ × 3² × 5
अभाज्य या भाज्य
भाज्य
भाजकों की संख्या
24
भाजकों का योग σ(n)
1,170
पिछली अभाज्य संख्या
359
अगली अभाज्य संख्या
367

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

प्रोजेक्ट ऑयलर प्रश्न 3

पूर्णांक
600851475143
अभाज्य गुणनखंडन
71 × 839 × 1471 × 6857
भाजकों की संख्या
16

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: प्रोजेक्ट ऑयलर #3 (सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड 6857)

कोल द्वारा 2^67 − 1 का गुणनखंडन

पूर्णांक
2^67-1
अभाज्य गुणनखंडन
193707721 × 761838257287
अभाज्य या भाज्य
भाज्य
भाजकों की संख्या
4

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: एफ़. एन. कोल, 1903 (Bull. AMS 10:134)

97 अभाज्य है

पूर्णांक
97
अभाज्य गुणनखंडन
97
अभाज्य या भाज्य
अभाज्य
भाजकों की संख्या
2
भाजकों का योग σ(n)
98
पिछली अभाज्य संख्या
89
अगली अभाज्य संख्या
101

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: अभाज्य संख्याओं की तालिका (OEIS A000040): 89, 97, 101

सवाल

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन कैसे करें?

सबसे छोटे ऐसे अभाज्य से भाग दें जो पूरी तरह भाग दे, फिर भागफल पर यह प्रक्रिया 1 तक दोहराएँ। 360 के लिए: 360 ÷ 2 = 180, ÷ 2 = 90, ÷ 2 = 45, ÷ 3 = 15, ÷ 3 = 5; और 5 अभाज्य है। इसलिए 360 = 2³ × 3² × 5। बची संख्या के वर्गमूल तक के अभाज्य ही जाँचने होते हैं; किसी से भाग न लगे तो बची संख्या अभाज्य है।

क्या 1 अभाज्य संख्या है?

नहीं। अभाज्य के ठीक दो भाजक होते हैं, 1 और स्वयं वह संख्या; 1 का केवल एक भाजक है। 1 को अलग रखने से गुणनखंडन अद्वितीय रहता है: 1 को अभाज्य मानें तो 6 को 2 × 3, 1 × 2 × 3, 1 × 1 × 2 × 3 आदि लिख सकते हैं। 1 न अभाज्य है, न भाज्य। 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या और एकमात्र सम अभाज्य है।

अभाज्य गुणनखंडन से भाजकों की संख्या कैसे निकालें?

हर घातांक में 1 जोड़कर गुणा करें। 360 = 2³ × 3² × 5¹, इसलिए इसके (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 भाजक हैं: हर भाजक में 0 से 3 दो, 0 से 2 तीन और 0 या 1 पाँच हो सकते हैं। भाजकों का योग भी गुणनफल से मिलता है: σ(360) = (2⁴ − 1)/1 × (3³ − 1)/2 × (5² − 1)/4 = 15 × 13 × 6 = 1,170।

बड़ी संख्या अभाज्य है या नहीं, कैसे जानें?

20 अंकों की संख्या के लिए √n तक परीक्षण विभाजन बहुत धीमा है, इसलिए मिलर–राबिन परीक्षण कुछ आधारों को जाँचता है। 3.3 × 10²⁴ से नीचे पहले 13 अभाज्य आधारों (2 से 41) पर सफल परीक्षण अभाज्यता सिद्ध करता है (सोरेन्सन और वेब्स्टर, 2015)। 2⁶¹ − 1 = 2,305,843,009,213,693,951 सफल होता है और अभाज्य है; 2⁶⁷ − 1 असफल होता है और 193,707,721 × 761,838,257,287 के बराबर है।

कूटलेखन में अभाज्य गुणनखंडन क्यों महत्वपूर्ण है?

RSA एन्क्रिप्शन इस बात पर निर्भर करता है कि दो बड़े अभाज्यों का गुणन तेज़ है, लेकिन उनके गुणनफल का गुणनखंडन व्यावहारिक रूप से बहुत धीमा है। NIST SP 800-57 के अनुसार 2048-बिट RSA मापांक, लगभग 617 दशमलव अंक, 112-बिट सुरक्षा देता है। यह यहाँ की 60-अंक सीमा से लगभग दस गुना है। इस सीमा के भीतर भी पोलार्ड रो तभी जल्दी गुणनखंड निकालता है जब कम-से-कम एक गुणनखंड अपेक्षाकृत छोटा हो।

इस कैलकुलेटर के बारे में

n=p1e1p2e2⋯pkekd(n)=∏(ei+1)σ(n)=∏piei+1−1pi−1\begin{gathered} n = p_1^{e_1} p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k} \\[6pt] d(n) = \prod (e_i + 1) \\[6pt] \sigma(n) = \prod \frac{p_i^{e_i+1} - 1}{p_i - 1} \end{gathered}

स्रोत

  1. Hardy & Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, §2.10 and §16.7 (divisor functions)
  2. Sorenson & Webster (2015), Strong pseudoprimes to twelve prime bases
  3. Brent (1980), An improved Monte Carlo factorization algorithm

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 6 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

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