CalcOpenly
हिन्दी

मॉड्यूलो कैलकुलेटर

फ़्लोर, काटने और यूक्लिड नियमों से a मॉड्यूलो n, बड़ी संख्याओं की मॉड्यूलर घात a^b mod m और मॉड्यूलर प्रतिलोम चरणों के साथ निकालें।

AI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 10

पूर्णांक, दशमलव या भिन्न।
आज़माएँ
परिणाम
परिणाम: 3
अधिकतम दशमलव स्थान: 12; निकटतम; बराबर दूरी पर शून्य से दूर
शून्य की ओर पूर्णांकित भागफल का शेषफल (a का चिह्न)
−2
यूक्लिडीय शेषफल (कभी ऋणात्मक नहीं)
3
नीचे की ओर पूर्णांकित भागफल ⌊a ÷ n⌋
−4

−17 ÷ 5 में भागफल को नीचे की ओर −4 तक पूर्णांकित करने पर 3 बचता है (Python, Excel MOD), लेकिन शून्य की ओर −3 तक पूर्णांकित करने पर −2 बचता है (C, JavaScript %)।

n के गुणजों के बीच a का स्थान

−20−15a = −17नीचे पूर्णांकित: r = 3शून्य की ओर: r = −2
गणना कैसे होती है S

  1. भाग दें

    an=−175=−175≈−3.4\frac{a}{n} = \frac{-17}{5} = -\frac{17}{5} \approx -3.4

  2. नीचे की ओर पूर्णांकित भागफल का शेषफल (भाजक का चिह्न)

    q=⌊−175⌋=−4,r=a−nq=−17−5⋅(−4)=3q = \left\lfloor -\frac{17}{5} \right\rfloor = -4,\quad r = a - n q = -17 - 5 \cdot \left(-4\right) = 3

    Python %, Excel MOD और अधिकांश गणितीय पुस्तकों में भागफल को नीचे की ओर पूर्णांकित करते हैं।

  3. शून्य की ओर पूर्णांकित भागफल का शेषफल (भाज्य का चिह्न)

    q=trunc⁡(−175)=−3,r=−17−5⋅(−3)=−2q = \operatorname{trunc}\left(-\frac{17}{5}\right) = -3,\quad r = -17 - 5 \cdot \left(-3\right) = -2

    C, Java और JavaScript का % भागफल को शून्य की ओर पूर्णांकित करता है।

  4. यूक्लिडीय शेषफल (कभी ऋणात्मक नहीं)

    r=a−∣n∣⌊a∣n∣⌋=3r = a - |n| \left\lfloor \frac{a}{|n|} \right\rfloor = 3

मॉड्यूलो कैलकुलेटर के बारे में

मॉड्यूलो संक्रिया a mod n, a को n से भाग देने पर बचा शेषफल देती है। धनात्मक संख्याओं में सभी परंपराएँ समान हैं (17 mod 5 = 2), लेकिन ऋणात्मक संख्याओं में अंतर होता है: नीचे की ओर पूर्णांकित भागफल वाला शेषफल r = a − n⌊a/n⌋ भाजक का चिह्न लेता है; शून्य की ओर पूर्णांकित भागफल वाला शेषफल भाज्य का चिह्न लेता है; यूक्लिडीय शेषफल कभी ऋणात्मक नहीं होता। यह कैलकुलेटर तीनों दिखाता है और बार-बार वर्ग तथा गुणा से मॉड्यूलर घात, तथा विस्तारित यूक्लिडीय कलनविधि से मॉड्यूलर प्रतिलोम भी निकालता है।

घड़ी और कैलेंडर की गणना, हैशिंग और चक्रीय बफ़र शेषफल का उपयोग करते हैं; कूटलेखन में मॉड्यूलर घात महत्वपूर्ण हैं। पहले से दिए −17 mod 5 का शेषफल नीचे की ओर पूर्णांकित भागफल पर 3 (Python %, Excel MOD), लेकिन शून्य की ओर पूर्णांकित भागफल पर −2 (C और JavaScript का %) है। पाठ्यपुस्तक के RSA उदाहरण में 65 का कूटलेखन 65^17 mod 3233 = 2790 है।

10^18 जैसी बड़ी घात में भी मॉड्यूलर गणना सटीक रहती है, क्योंकि हर वर्ग के बाद mod m लेते हैं। a⁻¹ mod m प्रतिलोम केवल तभी होता है जब gcd(a, m) = 1 हो।

भाग का शेष और उसका नियम चुनें

Floored नियम में a mod n = a − n⌊a/n⌋ है। 17 mod 5 = 2, लेकिन −17 mod 5 में quotient −4 और शेष 3 है। Truncated नियम quotient को शून्य की ओर काटता है: quotient −3 और शेष −2। दोनों में a = nq+r की जाँच सही है।

यूक्लिडीय नियम 0 ≤ r < |n| रखता है। नकारात्मक भाजक होने पर floored और Euclidean उत्तर भी अलग हो सकते हैं। % ऑपरेटर का अर्थ हर भाषा में एक जैसा न मानें; अपनी चुनी convention से तुलना करें।

ऋणात्मक और भिन्न मान

भाज्य aभाजक nनीचे गोल करने का शेषशून्य की ओर काटने का शेषयूक्लिडीय शेष
−1753−23
17−5−322
−17−5−2−23
7.521.51.51.5
1/31/52/152/152/15

मॉड्यूलर घात और व्युत्क्रम

Repeated squaring में हर चरण पर शेष लेने से बहुत बड़ी घात बनाए बिना काम होता है: 4¹³ mod 497 = 445। ऋणात्मक घात के लिए पहले modular inverse चाहिए। 3×4 ≡ 1 (mod 11), इसलिए 3⁻² mod 11 = 4² mod 11 = 5।

व्युत्क्रम तभी मौजूद है जब GCD(a,m)=1। 6 का mod 15 में inverse नहीं है, क्योंकि साझा भाजक 3 है। भाजक शून्य हो तो शेष अपरिभाषित है।

दशमलव शेष में बाइनरी floating point के अंतर से सावधान रहें; सटीक दशमलव 0.3 mod 0.1 का शेष शून्य है। साझा भाजक जाँचने के लिए GCD/LCM देखें।

हल किए गए उदाहरण

−17 mod 5

गणना करें
शेषफल a mod n
भाज्य a
-17
भाजक n
5
परिणाम
3
शून्य की ओर पूर्णांकित भागफल का शेषफल (a का चिह्न)
-2
यूक्लिडीय शेषफल (कभी ऋणात्मक नहीं)
3
नीचे की ओर पूर्णांकित भागफल ⌊a ÷ n⌋
-4

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

17 mod −5

गणना करें
शेषफल a mod n
भाज्य a
17
भाजक n
-5
परिणाम
-3
शून्य की ओर पूर्णांकित भागफल का शेषफल (a का चिह्न)
2
यूक्लिडीय शेषफल (कभी ऋणात्मक नहीं)
2

जाँच का स्रोत: यूक्लिडीय 17 − 5·⌊17/5⌋ = 2

7.5 mod 2

गणना करें
शेषफल a mod n
भाज्य a
7.5
भाजक n
2
परिणाम
1.5
शून्य की ओर पूर्णांकित भागफल का शेषफल (a का चिह्न)
1.5

जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना

4^13 mod 497

गणना करें
घात a^b mod m
आधार a
4
घातांक b
13
मॉड्यूलस m
497
परिणाम
445

जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: Wikipedia — मॉड्यूलर घात का हल किया उदाहरण

सवाल

a mod n कैसे निकालें?

भाग दें, भागफल को नीचे की ओर पूर्णांकित करें और घटाएँ: a mod n = a − n⌊a/n⌋। 17 mod 5 में 17 ÷ 5 = 3.4 को नीचे पूर्णांकित करने पर 3, और 17 − 5 × 3 = 2 मिलता है। −17 mod 5 में −3.4 नीचे पूर्णांकित होकर −4 बनता है और −17 − 5 × (−4) = 3। 12 घंटे की घड़ी पर 15:00 का अर्थ 15 mod 12 = 3 बजे है।

ऋणात्मक मॉड्यूलो में Python और JavaScript अलग उत्तर क्यों देते हैं?

वे भागफल को अलग तरीके से पूर्णांकित करते हैं। Python का % नीचे की ओर पूर्णांकित करता है, इसलिए −17 % 5 = 3 और चिह्न भाजक का है। JavaScript, C और Java शून्य की ओर पूर्णांकित करते हैं, इसलिए −17 % 5 = −2 और चिह्न भाज्य का है। दोनों में a = n × q + r सही है। Excel MOD का परिणाम Python जैसा है। JavaScript में धनात्मक n के लिए ((a % n) + n) % n नीचे की ओर पूर्णांकित भागफल वाला उत्तर देता है।

किसी संख्या के मॉड्यूलो में बड़ी घात कैसे निकालें?

वर्ग और गुणा की विधि अपनाएँ: घातांक को द्विआधारी में लिखें, बार-बार वर्ग करें और हर चरण के बाद mod m लें, ताकि संख्याएँ m² से आगे न बढ़ें। 4^13 mod 497 में 13 द्विआधारी रूप में 1101 है और उत्तर 445, जो Python pow(4, 13, 497) के बराबर है। पहले 4^13 = 67,108,864 निकालना यहाँ संभव है, लेकिन 10^18 जैसी घात में नहीं।

मॉड्यूलर प्रतिलोम क्या है?

मॉड्यूलो m में a का प्रतिलोम वह x है जिसके लिए a × x ≡ 1 (mod m)। 3⁻¹ mod 11 = 4 क्योंकि 3 × 4 = 12 = 11 + 1। यह केवल gcd(a, m) = 1 होने पर मौजूद है, इसलिए 2 का mod 10 में प्रतिलोम नहीं है। विस्तारित यूक्लिडीय कलनविधि इसे निकालती है; पाठ्यपुस्तक के RSA उदाहरण में निजी कुंजी 2753, mod 3120 में 17 का प्रतिलोम है, क्योंकि 17 × 2753 = 46,801 = 15 × 3120 + 1।

शेषफल और मॉड्यूलो में क्या अंतर है?

धनात्मक संख्याओं में दोनों समान हैं: 17 को 5 से भाग देने पर 2 बचता है। ऋणात्मक संख्याओं में C और JavaScript वाला शेषफल भाज्य का चिह्न लेता है (−17 rem 5 = −2), जबकि गणितीय मॉड्यूलो भाजक का चिह्न लेता है या कभी ऋणात्मक नहीं होता (−17 mod 5 = 3)। जब इनमें अंतर हो, वह ठीक |n| होता है।

इस कैलकुलेटर के बारे में

a mod n=a−n⌊an⌋ab mod ma a−1≡1(modm)\begin{gathered} a \bmod n = a - n\left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor \\[6pt] a^{b} \bmod m \\[6pt] a\,a^{-1} \equiv 1 \pmod m \end{gathered}

स्रोत

  1. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 1, §1.2.4 (mod) and Vol. 2, §4.6.3 (powers)
  2. Leijen (2001), Division and modulus for computer scientists
  3. Wikipedia — Modular exponentiation (4^13 mod 497 example)
  4. Microsoft Excel MOD function

संदर्भों से जाँच की गई

इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 10 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।

यह कैलकुलेटर अपनी वेबसाइट पर लगाएँ

जहाँ कैलकुलेटर दिखाना है, वहाँ इसे पेस्ट करें। इसका उपयोग मुफ़्त है, यहाँ किए गए सुधार इसमें अपने आप पहुँच जाते हैं, और उसके नीचे की श्रेय पंक्ति मूल पेज का लिंक देती है, जिससे आपके पाठक पूरा संस्करण देख सकते हैं।

ऊँचाई
एम्बेड का पूर्वावलोकन देखें

श्रेय पंक्ति बनी रहने दें। यही एकमात्र शर्त है, और इसी से ये कैलकुलेटर मुफ़्त रहते हैं।

संबंधित कैलकुलेटर