A तथा B (A and B)
- बूलियन व्यंजक
- A तथा B (A and B)
- मानक गुणनफलों का योग
- A·B
- मिनटर्म (1 वाली पंक्तियाँ)
- Σm(3)
- सत्य पंक्तियाँ
- 1
- वर्गीकरण
- आपातिक
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
सत्य सारणी बनाएँ
6 चरों तक के बूलियन व्यंजक की सत्यता सारणी बनाएँ। गुणनफलों का मानक योग, योगों का गुणनफल, मिनटर्म और मैक्सटर्म देखें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 8
मानक गुणनफलों का योग
A'·B'·C' + A'·B·C' + A·B'·C' + A·B·C' + A·B·C
मानक गुणनफलों का योग: A'·B'·C' + A'·B·C' + A·B'·C' + A·B·C' + A·B·C
- मानक योगों का गुणनफल
- (A + B + C')·(A + B' + C')·(A' + B + C')
- मिनटर्म (1 वाली पंक्तियाँ)
- Σm(0, 2, 4, 6, 7)
- मैक्सटर्म (0 वाली पंक्तियाँ)
- ΠM(1, 3, 5)
- सत्य पंक्तियाँ
- 5
- वर्गीकरण
- आपातिक
व्यंजक 8 में से 5 पंक्तियों में सत्य है (मिनटर्म 0, 2, 4, 6, 7), इसलिए इसका मान इनपुट पर निर्भर है।
सत्य सारणी के स्तंभ (पंक्ति 0 बाईं ओर)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
F
1
0
1
0
1
0
1
1
सत्य सारणी
| पंक्ति | A | B | C | F |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 |
गणना कैसे होती है S
संकारकों की प्राथमिकता के अनुसार पढ़ें
पहले not, फिर and/nand, xor, or/nor, implies (दाईं ओर से समूहित) और अंत में iff लागू होता है।
सभी 8 पंक्तियों का मान निकालें
हर पंक्ति A, B, C को 0 और 1 का एक संयोजन देती है। बाइनरी गिनती में A सबसे महत्वपूर्ण बिट है; पंक्ति संख्या मिनटर्म का सूचकांक है।
मिनटर्म और मैक्सटर्म
मानक गुणनफलों का योग
F = 1 वाली हर पंक्ति के लिए एक गुणनफल पद; ऊपर की रेखा बताती है कि उस पंक्ति में चर 0 है।
मानक योगों का गुणनफल
F = 0 वाली हर पंक्ति के लिए एक योग पद; हर पद केवल अपनी पंक्ति में 0 होता है।
सत्य सारणी बनाएँ के बारे में
सत्य सारणी बूलियन व्यंजक के हर संभावित इनपुट संयोजन का मान दिखाती है: n चरों के लिए 2ⁿ पंक्तियाँ, इसलिए A, B और C के लिए 8 पंक्तियाँ। जहाँ व्यंजक 1 है, उस पंक्ति के लिए एक मिनटर्म होता है; इन मिनटर्म का OR मानक गुणनफलों का योग है। जहाँ व्यंजक 0 है, वहाँ मैक्सटर्म होता है; मैक्सटर्म का AND मानक योगों का गुणनफल है। दोनों एक ही फलन बताते हैं।
डिजिटल लॉजिक और कंप्यूटर विज्ञान के विद्यार्थी इससे परिपथ डिज़ाइन जाँचते हैं, शर्तें सरल करते हैं और तर्क के नियम सत्यापित करते हैं। पहले से दिया (A and B) or not C, 8 में से 5 पंक्तियों में सत्य है: मिनटर्म 0, 2, 4, 6 और 7। पंक्तियों 1, 3 और 5 में यह असत्य है।
अधिकतम 6 चर (64 पंक्तियाँ) स्वीकार हैं। प्राथमिकता क्रम not, and/nand, xor, or/nor, implies (दाईं ओर से समूहित), फिर iff है; !, &, | और ^ जैसे चिह्न भी चलेंगे। हर पंक्ति में सत्य व्यंजक पुनरुक्ति है और हर पंक्ति में असत्य व्यंजक विरोधाभास है।
प्रत्येक इनपुट संयोजन पर कथन का मान देखें
n अलग चरों की सत्य सारणी में 2ⁿ पंक्तियाँ होती हैं। a and b तभी सत्य है जब दोनों सत्य हों; a or b में कम से कम एक पर्याप्त है। a xor b में ठीक एक सत्य होना चाहिए। not a मान उलटता है।
निहितार्थ a -> b केवल a सत्य और b असत्य होने पर असत्य है। a असत्य हो तो वह दोनों स्थितियों में सत्य है। a <-> b दोनों का मान समान होने पर सत्य है। रोज़मर्रा की कारण-परिणाम भाषा को इस तार्किक परिभाषा से अलग रखें।
अभिव्यक्तियाँ और वर्गीकरण
| अभिव्यक्ति | मिनटर्म | वर्गीकरण |
|---|---|---|
| A and B | Σm(3) | कभी सत्य, कभी असत्य |
| A xor B | Σm(1, 2) | कभी सत्य, कभी असत्य |
| A implies B | Σm(0, 1, 3) | कभी सत्य, कभी असत्य |
| A or not A | Σm(0, 1) | सदैव सत्य |
| A and not A | Σm() | सदैव असत्य |
| (A and B) or not C | Σm(0, 2, 4, 6, 7) | कभी सत्य, कभी असत्य |
इनपुट और canonical रूप
अंग्रेज़ी ऑपरेटर and, or, not, xor, implies, iff या समर्थित तार्किक चिह्न लिखें। यहाँ ^ XOR है, घात नहीं; + OR है, साधारण जोड़ नहीं। कोष्ठक से समूह साफ़ करें। चरों का क्रम वर्णानुक्रम में है और बड़े-छोटे अक्षर अलग हैं। अधिकतम 6 चरों पर 64 पंक्तियाँ बनेंगी। true, false, 1 और 0 नियत सत्य मान हैं।
हर पंक्ति में सत्य होने वाला कथन सर्वसत्य है; हर पंक्ति में असत्य वाला विरोधाभास है। बाकी कथन कुछ संयोजनों पर सत्य और कुछ पर असत्य होते हैं। दो कथन समतुल्य जाँचने के लिए उनके बीच <-> लगाएँ; उसकी पूरी सारणी सत्य होनी चाहिए।
SOP सत्य पंक्तियों के मिनटर्म और POS असत्य पंक्तियों के मैक्सटर्म से बनते हैं। ये canonical रूप हैं, हमेशा सबसे छोटे सरलीकृत सूत्र नहीं। चरों की संख्या और क्रम बदले बिना मिनटर्म सूचियों की तुलना करें। संबंधित सदस्यता नियम के लिए समुच्चय संक्रियाएँ देखें।
हल किए गए उदाहरण
A और B का XOR
- बूलियन व्यंजक
- A और B का XOR
- मानक गुणनफलों का योग
- A'·B + A·B'
- मिनटर्म (1 वाली पंक्तियाँ)
- Σm(1, 2)
- मानक योगों का गुणनफल
- (A + B)·(A' + B')
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
A से B का निहितार्थ (A implies B)
- बूलियन व्यंजक
- A -> B
- मिनटर्म (1 वाली पंक्तियाँ)
- Σm(0, 1, 3)
- मैक्सटर्म (0 वाली पंक्तियाँ)
- ΠM(2)
- मानक योगों का गुणनफल
- (A' + B)
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
पुनरुक्ति: A or not A (सीमांत स्थिति)
- बूलियन व्यंजक
- A or not A
- वर्गीकरण
- पुनरुक्ति
- मानक योगों का गुणनफल
- 1
- सत्य पंक्तियाँ
- 2
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: बहिष्कृत मध्य का नियम
सवाल
सत्य सारणी कैसे बनाएँ?
बाइनरी गिनती से इनपुट के सभी संयोजन लिखें: 2 चरों से 4 पंक्तियाँ, 3 से 8 और 6 से 64। फिर हर पंक्ति में सबसे अंदर की संक्रिया से बाहर की ओर व्यंजक का मान निकालें। (A and B) or not C में A = 1, B = 1, C = 1 पर (1 and 1) or 0 = 1 मिलता है; A = 0, B = 0, C = 1 पर 0 or 0 = 0।
मिनटर्म और मैक्सटर्म क्या हैं?
मिनटर्म हर चर या उसके निषेध का AND है, जो ठीक एक पंक्ति में 1 होता है। मैक्सटर्म हर चर का OR है, जो ठीक एक पंक्ति में 0 होता है। पंक्ति संख्याएँ उनके सूचकांक हैं: A, B और C के लिए मिनटर्म 6, A·B·C′ है और मैक्सटर्म 1, (A + B + C′) है। फलन अपने मिनटर्म का OR और समान रूप से अपने मैक्सटर्म का AND होता है।
गुणनफलों के योग और योगों के गुणनफल में क्या अंतर है?
गुणनफलों का योग (SOP), AND पदों को OR से जोड़ता है: फलन 1 वाली हर पंक्ति के लिए एक पद। योगों का गुणनफल (POS), OR पदों को AND से जोड़ता है: फलन 0 वाली हर पंक्ति के लिए एक पद। A xor B का SOP रूप A′·B + A·B′ और POS रूप (A + B)·(A′ + B′) है। दोनों पूर्ण हैं; कम पंक्तियाँ समेटने वाला रूप छोटा होगा।
तर्कशास्त्र में पुनरुक्ति क्या है?
ऐसा व्यंजक जो किसी भी इनपुट पर सत्य सारणी की हर पंक्ति में सत्य हो। सबसे सरल A or not A, बहिष्कृत मध्य का नियम है; (A → B) or (B → A) एक और उदाहरण है। इसके विपरीत, हर पंक्ति में असत्य व्यंजक विरोधाभास है, जैसे A and not A। कुछ पंक्तियों में सत्य और कुछ में असत्य व्यंजक आपातिक कहलाता है।
A implies B कब सत्य है?
A → B केवल तभी असत्य है जब A सत्य और B असत्य हो; बाकी तीन पंक्तियों में यह सत्य है। इसलिए इसकी सारणी में मिनटर्म 0, 1 और 3 तथा एक मैक्सटर्म 2 है। यह not A or B और अपने प्रतिधनात्मक रूप not B → not A के बराबर है। A → B → C जैसी शृंखला दाईं ओर से A → (B → C) के रूप में समूहित होती है।
इस कैलकुलेटर के बारे में
स्रोत
संदर्भों से जाँच की गई
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 8 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।