दो घटनाओं के लिए P(A या B), P(A और B) तथा P(A | B) निकालें, या जाँच के परिणाम पर बेयस प्रमेय लागू करें। प्रायिकता वृक्ष और वेन आरेख भी देखें।
लेखक: AdminAI लेखन टूल से मसौदा तैयारअपडेट किया गया जाँचे गए उदाहरण: 6
B मिलने पर A की प्रायिकता 1% से 9.17% हो जाती है। प्राकृतिक आवृत्तियों में, 10,000 मामलों में लगभग 90 में A भी है और B भी मिलता है; 891 में A के बिना B मिलता है। B मिलने वाले कुल 981 मामलों में लगभग 90 में A है।
दो घटनाओं A और B के लिए योग नियम P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B) है। गुणन नियम P(A और B) = P(A) × P(B | A) और सशर्त प्रायिकता P(A | B) = P(A और B) / P(B) है। बेयस प्रमेय विकल्प में पूर्व प्रायिकता P(A) और साक्ष्य की दो दरों P(B | A) तथा P(B | A नहीं) से अद्यतन प्रायिकता P(A | B) निकाली जाती है।
बेयस का डिफ़ॉल्ट एक काल्पनिक स्क्रीनिंग जाँच है: स्थिति की व्यापकता 1%, संवेदनशीलता 90% और मिथ्या धनात्मक दर 9% है। धनात्मक परिणाम से प्रायिकता 1% से बढ़कर लगभग 9.17% होती है। कारण: 10,000 लोगों में 90 सही धनात्मक परिणामों की तुलना में 891 मिथ्या धनात्मक परिणाम होते हैं।
0 से 1 तक प्रायिकताएँ दर्ज करें; 1/6 जैसे भिन्न भी मान्य हैं। दो घटनाओं वाला विकल्प असंभव संयोजन अस्वीकार करता है, जैसे P(A और B) का P(A) या P(B) से अधिक होना।
P(A), P(B) और उनके संबंध का विकल्प दें। समान संभावित परिणामों में घटना की प्रायिकता अनुकूल गिनती/कुल गिनती है। हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच है। A या B, दोनों सहित, के लिए P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) है; साझा हिस्सा दो बार न गिनें।
दो-घटना वाले स्वतंत्र विकल्प में P(A) = 0.5 और P(B) = 0.4 पर दोनों की प्रायिकता 0.2, कम-से-कम एक की 0.7, किसी की नहीं 0.3 और ठीक एक की 0.5 है। विकल्प वास्तविक संबंध बताए, केवल कोई मनपसंद परिणाम पाने का तरीका नहीं।
स्वतंत्र घटनाओं में एक के होने से दूसरे की संभावना नहीं बदलती, इसलिए P(A∩B) = P(A)P(B)। एक ही उछाल में चित और पट परस्पर अपवर्जी हैं: दोनों साथ नहीं हो सकते, साझा संभावना शून्य है। दो धनात्मक घटनाएँ एक साथ स्वतंत्र और परस्पर अपवर्जी नहीं हो सकतीं।
| घटनाओं का संबंध | P(A) | P(B) | P(A तथा B) | P(A या B) | P(A, यदि B) |
|---|---|---|---|---|---|
| स्वतंत्र | 0.5 | 0.4 | 0.2 | 0.7 | 0.5 |
| परस्पर अपवर्जी | 0.3 | 0.45 | 0 | 0.75 | 0 |
| ज्ञात साझा प्रायिकता | 0.6 | 0.5 | 0.4 | 0.7 | 0.8 |
| ज्ञात सशर्त प्रायिकता | 0.6 | 0.5 | 0.3 | 0.8 | 0.6 |
ज्ञात साझा प्रायिकता चुनने पर उसे दोनों अलग प्रायिकताओं से बड़ा न दें। वह कम-से-कम max(0,P(A)+P(B)−1) होनी चाहिए। 0.6 और 0.5 के लिए मान्य साझा हिस्सा 0.1 से 0.5 के बीच है; 0.7 असंभव होगा।
P(A|B) = P(A∩B)/P(B), केवल P(B) > 0 पर परिभाषित है। 0.6 और 0.5 तथा साझा 0.4 होने पर P(A|B) = 0.8, जबकि P(B|A) ≈ 0.666667 है। शर्त उलटने से अलग हर और अलग सवाल बनता है।
ज्ञात शर्त वाला विकल्प P(B|A) लेता है। वह 0.5 और P(A) = 0.6 हो तो साझा हिस्सा 0.3 है। खानों का नाम पढ़े बिना P(A|B) भरना गलत दिशा दे सकता है। शून्य शर्त पर अपरिभाषित परिणाम को शून्य संभावना न कहें।
बेयस विधि में पूर्व P(A), घटना B की A के रहते संभावना और A न रहते संभावना दें। P(B) = P(B|A)P(A)+P(B|नहीं A)(1−P(A)), फिर P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) है।
मान लें 10,000 वस्तुओं में 1% दोषपूर्ण हैं। निरीक्षण दोषपूर्ण की 90% और अच्छी वस्तुओं की 9% को चिह्नित करता है। 100 दोषपूर्ण में 90, और 9,900 अच्छी में 891 चिह्नित होंगी। कुल 981 चिह्नित में 90 दोषपूर्ण: 90/981 = 10/109 ≈ 0.0917431193। निरीक्षण की 90% पकड़-दर उस चिह्नित वस्तु के दोषपूर्ण होने की संभावना नहीं है।
| पूर्व प्रायिकता P(A) | P(B, यदि A) | P(B, यदि A नहीं) | P(B) | अद्यतन P(A, यदि B) |
|---|---|---|---|---|
| 0.01 | 0.9 | 0.09 | 0.0981 | 0.0917431193 |
| 0.1 | 0.9 | 0.09 | 0.171 | 0.5263157895 |
| 0.5 | 0.8 | 0.2 | 0.5 | 0.8 |
| 0 | 0.9 | 0.09 | 0.09 | 0 |
पूर्व संभावना बदलने से वही निरीक्षण अलग अद्यतन संभावना दे सकता है; तालिका यही प्रभाव दिखाती है। काल्पनिक गुणवत्ता-नियंत्रण के ये अंक किसी वास्तविक निरीक्षण की मापी हुई गुणवत्ता नहीं हैं। बेयस की कुल साक्ष्य संभावना शून्य हो तो उससे भाग नहीं दिया जा सकता।
समान प्रकार के संभावित परिणाम, एक साझा नमूना-स्थान और संगत संबंध जरूरी हैं। गोल दिए गए अनुपात जोड़कर थोड़ा असंगत परिणाम आए तो मूल गिनतियों या अधिक अंकों से जाँचें। अनुकूल गिनतियाँ निकालने के लिए क्रमचय और संचय, गिनती के वितरण के लिए द्विपद-प्वासों और खेल के विशेष नियमों के लिए पासा, सिक्का और पत्ते उपयोग करें।
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: गिगेरेंज़र और अन्य (2007) का मैमोग्राफ़ी उदाहरण (लगभग 10 धनात्मक परिणामों में 1 में रोग)
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: P(A)P(B) = 0.2; योग नियम 0.5 + 0.4 − 0.2
जाँच का स्रोत: उदाहरण की जाँच: परिभाषा से P(A ∩ B) = 0; संघ की प्रायिकता साधारण योग है
जाँच का स्रोत: स्वतंत्र गणना
दोनों प्रायिकताएँ जोड़ें और साझा भाग घटाएँ: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)। स्वतंत्र घटनाओं में P(A) = 0.5 और P(B) = 0.4 हो तो साझा भाग 0.5 × 0.4 = 0.2 है, इसलिए P(A या B) = 0.7। परस्पर अपवर्जी घटनाओं में साझा भाग 0 होता है, इसलिए प्रायिकताएँ सीधे जुड़ती हैं: 0.3 + 0.45 = 0.75।
स्वतंत्र घटनाएँ एक-दूसरे की संभावना नहीं बदलतीं, इसलिए P(A और B) = P(A) × P(B)। परस्पर अपवर्जी घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं, इसलिए P(A और B) = 0। शून्य से अधिक प्रायिकता वाली दो घटनाएँ एक साथ दोनों प्रकार की नहीं हो सकतीं: यदि A होने से B असंभव हो जाता है, तो A होने की जानकारी से B की संभावना 0 हो जाती है। सिक्के की दो स्वतंत्र उछालें स्वतंत्र हैं; एक ही उछाल में चित और पट परस्पर अपवर्जी हैं।
क्योंकि बड़ी अप्रभावित आबादी के मिथ्या धनात्मक परिणाम छोटी प्रभावित आबादी के सही धनात्मक परिणामों से अधिक हो सकते हैं। 1% व्यापकता, 90% संवेदनशीलता और 9% मिथ्या धनात्मक दर पर केवल 9.17% धनात्मक परिणाम सही होते हैं। व्यापकता 10% हो तो वही जाँच 0.09 / (0.09 + 0.081) = 52.6% देती है। इसे धनात्मक पूर्वानुमान मान कहते हैं; यह जाँच की सटीकता के साथ स्थिति की व्यापकता पर भी निर्भर करता है।
कभी न होने की प्रायिकता को 1 से घटाएँ। प्रत्येक में p प्रायिकता वाले n स्वतंत्र प्रयासों के लिए P(कम-से-कम एक) = 1 − (1 − p)ⁿ। पासे की 4 फेंकों में कम-से-कम एक छक्का आने की प्रायिकता 1 − (5/6)⁴ = 671/1296, लगभग 0.5177 है, यानी 50% से थोड़ी अधिक। p = 0.01 पर प्रायिकता 50% पार करने के लिए 69 प्रयास चाहिए।
इस कैलकुलेटर में स्वतंत्र स्रोतों के उत्तरों वाले 6 हल किए गए उदाहरण शामिल हैं। ये परीक्षण समूह में चलते हैं और आप इन्हें यहाँ भी चला सकते हैं।